Vídeo: Adicionando e Subtraindo Expressões com Raízes (Irracionais)

Expressões com raízes, tais como a raiz quadrada de 5, são chamadas de irracionais. Vamos ver como simplificar expressões que envolvem termos irracionais juntando irracionais semelhantes e simplificar os fatores quadrados perfeitos de irracionais para obter irracionais semelhantes.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos algumas expressões que adicionam ou subtraem termos com raízes ou irracionais. Examinaremos expressões em que estes termos podem ser agrupados em termos semelhantes, para que as expressões possam ser simplificadas. Radicais ou irracionais, termos que não simplificam podem ser combinados ou agrupados em expressões algébricas da mesma maneira que reuniria termos com variáveis ​​como três 𝑥 e cinco 𝑥, ou dois 𝑦 e sete 𝑦 e assim por diante.

Observemos este exemplo, simplifique a raiz quadrada de sete mais a raiz quadrada de sete.

Agora, vamos imaginar que 𝑥 é igual a raiz sete. Então, poderíamos escrever a raiz de sete mais a raiz de sete de uma maneira diferente. Seria 𝑥 mais 𝑥. Agora, se viu 𝑥 mais 𝑥, juntaria alegremente estes termos semelhantes. Adicionaria um 𝑥 a outro 𝑥 e teria dois 𝑥. E como acabámos de dizer aqui que 𝑥 era igual à raiz quadrada de sete, dois 𝑥 significa duas vezes a raiz quadrada de sete, que escrevemos assim, dois raiz de sete.

Agora, é importante lembrar que um grande dois à frente significa que é dois vezes a raiz quadrada de sete. E deve ter cuidado para não confundir isto com esta expressão, que é o dois pequeno naquele sinal de raiz quadrada, o que significa a raiz quadrada de sete. Aqui está outro exemplo.

Simplifique a raiz cúbica de três mais dois vezes a raiz cúbica de três mais três vezes a raiz cúbica de três.

E este primeiro termo, apenas a raiz cúbica de três, significa que temos um deles. Então, poderíamos dizer que é uma vez a raiz do cubo de três. Então, temos uma das raízes cúbicas de três. Temos mais dois raiz cúbica de três. E depois, temos mais três, destas raízes cúbicas de três. Então, no total, um mais dois é três, mais três é seis. Temos seis delas, seis vezes a raiz cúbica de três. Então, esta é a nossa resposta.

Agora, precisamos de simplificar a raiz quadrada de oito mais três vezes a raiz quadrada de dois menos quatro vezes a raiz quadrada de dois.

Ora, estes segundos termos aqui são claramente termos semelhantes. Temos três vezes raiz quadrada de dois e, em seguida, retiramos quatro vezes raiz quadrada de dois. Então, se temos três destas e tirarmos quatro, ficaremos com menos uma delas, ou apenas escreveremos menos raiz de dois. Então, isto torna-se a raiz de oito menos a raiz de dois. Mas espere, oito tem um fator quadrado perfeito. Quatro é um quadrado perfeito e é um fator de oito; portanto, a raiz oito pode ser escrita como a raiz quadrada de quatro vezes dois. E isto pode ser escrito como a raiz quadrada de quatro vezes a raiz quadrada de dois.

Agora, a raiz quadrada de quatro é dois. Portanto, a raiz quadrada de quatro vezes a raiz quadrada de dois é dois vezes a raiz dois ou, como normalmente a escreveríamos, apenas dois raiz de dois. Portanto, a raiz de oito menos a raiz de dois pode ser reescrita como dois raiz de dois menos um raiz de dois. E dois raiz de dois menos um raiz de dois é apenas um raiz de dois. Embora, obviamente, não nos incomodaríamos em escrever o um à frente, então é apenas a raiz quadrada de dois.

Agora, temos uma expressão um pouco mais complicada que envolve a raiz de 11 e também apenas alguns números normais que não envolvem radicais ou irracionais. Então, seis e menos três são os números normais. E quatro raiz de 11 e dois raiz de 11 são termos semelhantes, porque ambos envolvem a raiz quadrada de 11. São radicais ou irracionais. Então, juntamos os termos semelhantes e agora podemos combiná-los. Seis menos três é três. E quatro raízes de 11 mais outras duas raízes de 11 me dá seis raízes de 11. Então, esta é a nossa resposta. Então, aqui está outro exemplo, desta vez com parênteses.

Simplifique dois mais seis raiz de cinco mais nove mais oito raiz de cinco.

Agora, aqui, os parênteses não estão realmente a ter efeito. Estão a dizer para fazer os cálculos numa ordem específica, mas as operações são todas adições. E devido à associatividade da adição, não fará diferença se as fizer numa ordem diferente. Portanto, removeremos os parênteses por já e juntamos os termos semelhantes. Bem, dois e nove são os números racionais, e seis raiz de cinco e oito raiz de cinco são os termos radicais ou irracionais.

Então, agora que juntámos os termos semelhantes, podemos combiná-los. E dois e nove fazem 11. E depois, seis raiz de cinco mais oito raiz de cinco dá-nos 14 raiz de cinco. Então, esta é a versão simplificada da nossa expressão original. Então, vejamos nosso último exemplo.

Simplifique a raiz de sete menos dois menos cinco menos três raiz de sete.

Agora, aqui, os parênteses são importantes. O primeiro conjunto não está realmente a ter um efeito porque o conjunto da raiz de sete menos dois já está efetivamente calculado, portanto, não pode simplificar mais. Mas o segundo conjunto de parênteses é muito importante. Portanto, podemos remover o primeiro conjunto de parênteses. Mas este sinal negativo, estamos a retirar cinco, e estamos a retirar menos três raiz de sete. Então, isto fica assim. Agora, se estamos a retirar menos três raiz de sete, é o mesmo que adicionar três raiz de sete.

Então, agora estamos numa situação em que podemos identificar os termos semelhantes. Então, estes são os que têm raízes, as raízes de sete, ou os irracionais. E estes são apenas os números racionais normais. Então, temos uma raiz de sete e mais três raízes de sete, dando-nos quatro raízes de sete. E temos menos dois menos outros cinco, que é menos sete. Então, esta é a versão simplificada da nossa expressão original.

Portanto, para resumir o que fizemos, pode tratar radicais ou irracionais como se fossem termos algébricos. Assim, por exemplo, se tivéssemos três raiz de sete mais cinco raiz de sete, poderíamos considerar 𝑥 igual a raiz de sete. E podemos pensar nisso como sendo três vezes 𝑥 mais cinco vezes 𝑥. Então, se tivermos três deles e cinco deles, serão oito. E então, podemos substituir a nossa raiz de sete em 𝑥, dando-nos oito raiz de sete.

E precisa de pensar cuidadosamente sobre parênteses. Como vimos às vezes, não estão realmente a ter efeito, e pode simplesmente removê-los. E outras vezes, estão a ter um grande efeito, e precisa ter muito, muito cuidado. E preste atenção aos sinais, especialmente.

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