Vídeo: O Que eles Não te Ensinam em Cálculo

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

O Que eles Não te Ensinam em Cálculo

14:41

Transcrição do vídeo

Imagine-se como um aluno de cálculo adiantado para começar seu primeiro curso. Os meses à sua frente têm muito trabalho duro, alguns exemplos legais, outros não tão legais. Belas conexões com a física, pilhas de fórmulas não tão bonitas para memorizar. Muitos momentos de ficar preso e bater com a cabeça na parede, alguns bons momentos de «Aha» também se espalharam. E alguma intuição gráfica genuinamente adorável para ajudar a guiá-lo através de tudo.

Mas se o curso à sua frente é algo como minha primeira introdução ao cálculo ou qualquer um dos primeiros cursos que vi nos anos desde então. Há um tópico que você não verá, mas acredito que poderá acelerar muito o seu aprendizado. Veja bem, quase todas as intuições visuais daquele primeiro ano são baseadas em gráficos. A derivada é a inclinação de um gráfico. A integral é uma determinada área abaixo desse gráfico. Mas como você generaliza o cálculo além das funções cujas entradas e saídas são simplesmente números, nem sempre é possível representar graficamente a função que você está analisando. Existem várias maneiras diferentes de visualizar essas coisas.

Portanto, se todas as suas intuições para as ideias fundamentais, como derivadas, estiverem enraizadas rigidamente nos gráficos. Isso pode criar um obstáculo conceitual muito alto e praticamente desnecessário entre você e os tópicos mais avançados, entre aspas e citados, como cálculo multivariável e análise complexa, geometria diferencial. Agora, o que quero compartilhar com você é uma maneira de pensar sobre derivadas, à qual me referirei como a visão transformacional, que generaliza de maneira mais transparente em alguns desses contextos mais gerais em que o cálculo surge. E então usaremos essa visualização alternativa para analisar um certo quebra-cabeça divertido sobre frações repetidas.

Mas, primeiro, eu só quero ter certeza de que estamos todos na mesma página sobre qual é o visual padrão. Se você representar graficamente uma função, que simplesmente aceita números reais como entradas e saídas. Uma das primeiras coisas que você aprende em um curso de cálculo é que a derivada fornece a inclinação deste gráfico. Onde o que queremos dizer com isso é que a derivada da função é uma nova função que para cada entrada 𝑥 retorna essa inclinação. Agora, encorajo você a não pensar nessa ideia de derivada como inclinação como a definição de derivada. Em vez disso, pense nisso como sendo mais fundamental sobre a sensibilidade da função a pequenas cutucadas em torno da entrada. E a inclinação é apenas uma maneira de pensar sobre essa sensibilidade relevante apenas para essa maneira específica de visualizar as funções. Não tenho apenas mais um vídeo, mas uma série completa sobre esse tópico, se é algo que você deseja aprender mais.

Agora, a ideia básica por trás do visual alternativo para a derivada é pensar nessa função como transformando todos os pontos de entrada na reta numérica para suas saídas correspondentes em uma reta numérica diferente. Nesse contexto, o que a derivada fornece é uma medida de quanto o espaço de entrada é esticado ou esmagado em várias regiões. Ou seja, se você aproximasse uma entrada específica e observasse alguns pontos uniformemente espaçados ao redor dela, a derivada da função dessa entrada mostrará como os pontos dispersos ou contraídos se tornam após a transformação.

Aqui, um exemplo específico ajuda. Pegue a função 𝑥 ao quadrado. Ela transforma um para um e dois para quatro, três para nove e assim por diante. E você também pode ver como ela age em todos os pontos intermediários. E se você aproximar um pequeno agrupamento de pontos ao redor da entrada e depois ver onde eles ficam ao redor da saída relevante, que também é uma dessas funções para essa função. Você notaria que eles tendem a se esticar. De fato, parece mais ou menos esticar por um fator de dois. E quanto mais perto você aumenta o zoom, mais esse comportamento local se parece com a multiplicação por um fator de dois. Isto é o que significa que a derivada de 𝑥 ao quadrado na entrada 𝑥 é igual a um para ser dois. É assim que esse fato se parece no contexto de transformações.

Se você observasse uma vizinhança de pontos ao redor da entrada três, eles seriam esticados aproximadamente por um fator de seis. É isso que significa que a derivada dessa função na entrada três é igual a seis. Em torno da entrada um quarto, uma pequena região realmente tende a ser contraída, especificamente por um fator de um meio. E é assim que parece que uma derivada é menor que um. Agora, a entrada zero é interessante. Aumentar o zoom em um fator de 10, não parece realmente uma constante de alongamento ou esmagamento. Por um lado, todas as saídas acabam no lado direito positivo. E à medida que você aumenta o zoom cada vez mais a 100𝑥 ou 1000𝑥, ele se parece cada vez mais com uma pequena vizinhança de pontos em torno de zero, apenas entra em colapso no próprio zero.

E é assim que parece que a derivada é zero. O comportamento local parece cada vez mais multiplicar a reta numérica inteira por zero. Não é necessário colapsar tudo completamente até um ponto em um nível de zoom específico. Em vez disso, é uma questão de qual é o comportamento limitador à medida que você aumenta o zoom cada vez mais. Também é instrutivo dar uma olhada nas entradas negativas aqui. As coisas começam a parecer um pouco limitadas, uma vez que colidem com aonde vão todos os valores de entrada positivos. E essa é uma das desvantagens de pensar em funções como transformações. Mas para derivadas, nós realmente nos importamos com o comportamento local de qualquer maneira, o que acontece em um pequeno intervalo em torno de uma determinada entrada.

Aqui, observe que as entradas em uma pequena vizinhança em torno de, digamos, dois negativos. Elas não são apenas esticadas. Elas também são invertidas. Especificamente, a ação em uma vizinhança desse tipo se parece cada vez mais com a multiplicação por quatro negativos, quanto mais você aproxima o zoom. É assim que a derivada de uma função é negativa. E acho que você entendeu o ponto. Tudo está bem, mas vamos ver como isso é realmente útil na solução de um problema. Um amigo meu recentemente me fez uma pergunta bem divertida sobre a fração infinita um mais um dividida por um mais um dividida por um mais um dividida por um, e assim por diante. E claramente, você assiste vídeos de matemática online. Então, talvez você já tenha visto isso antes.

Mas a pergunta do meu amigo na verdade se refere a algo que você talvez não tenha pensado antes, relevante para a visão das derivadas que estamos vendo aqui. A maneira típica de calcular uma expressão como essa é defini-la igual a 𝑥 e, em seguida, observe que há uma cópia da fração completa dentro de si. Assim, você pode substituir essa cópia por outro 𝑥 e depois resolver por 𝑥. Ou seja, o que você deseja é encontrar um ponto fixo da função um mais um dividido por 𝑥. Mas aqui está a coisa. Na verdade, existem duas soluções para 𝑥, dois números especiais em que um mais um dividido por esse número devolve a mesma coisa. Uma é a proporção áurea 𝜑, em torno de 1.618. E o outro é menos 0.618, que acontece sendo menos um dividido por 𝜑. Eu gosto de ligar para o irmãozinho desse outro número 𝜑. Como praticamente qualquer propriedade que 𝜑 possui, esse número também possui.

E isso levanta a questão, seria válido dizer que essa fração infinita que vimos também é de alguma forma igual ao irmão caçula 𝜑, de menos 0.618? Talvez você diga inicialmente: «Obviamente não! Tudo no lado esquerdo é positivo. Então, como poderia ser igual a um número negativo?» Bem, primeiro devemos esclarecer o que realmente queremos dizer com uma expressão como essa. Uma maneira de você pensar sobre isso — e não é a única; há liberdade de escolha aqui — é imaginar começando com alguma constante como um e aplicando repetidamente a função um mais um dividido por 𝑥. E então perguntando qual é essa abordagem, enquanto você continua. E certamente, simbolicamente, o que você obtém se parece cada vez mais com a nossa fração infinita. Então, se você quiser igualar um número, pergunte o que essa série de números aborda.

E se essa é a sua visão das coisas, talvez você comece com um número negativo. Portanto, não é tão louco para toda a expressão acabar negativa. Afinal, se você começar com menos um dividido por 𝜑 e, em seguida, aplicando esta função um mais um sobre 𝑥, você recupera o mesmo número, menos um dividido por 𝜑. Portanto, não importa quantas vezes você o aplique, você permanecerá fixo nesse valor. Mas, mesmo assim, há uma razão pela qual você provavelmente deve ver 𝜑 como o irmão favorito deste par.

Aqui, tente isso. Puxe uma calculadora de algum tipo e comece com qualquer número aleatório. E então conecte-o a esta função, um mais um dividido por 𝑥. E então substitui esse número em um mais um sobre 𝑥. E então novamente e novamente e novamente e novamente e novamente. Não importa com que constante você comece, você acaba em 1.618. Mesmo se você começar com um número negativo, mesmo que seja realmente muito próximo do irmãozinho 𝜑. Eventualmente, ele evita esse valor e volta para 𝜑. Então o que está acontecendo aqui? Por que um desses pontos fixos é favorecido acima do outro? Talvez você já possa ver como a compreensão transformacional das derivadas será útil para entender essa configuração. Mas, para ter um ponto de contraste, quero mostrar como um problema como esse é frequentemente ensinado usando gráficos.

Se você inserir alguma entrada aleatória nessa função, o valor 𝑦 indica a saída correspondente, certo? Então, para pensar em substituir novamente essa saída de volta à função, você pode primeiro mover-se horizontalmente até atingir a reta 𝑦 igual 𝑥. E isso lhe dará uma posição em que o valor 𝑥 corresponde ao seu valor 𝑦 anterior, certo? Então, a partir daí, você pode se mover verticalmente para ver qual saída esse novo valor 𝑥 possui. E então você repete. Você move horizontalmente para a reta 𝑦 igual a 𝑥 para encontrar um ponto cujo valor 𝑥 é igual ao resultado que você acabou de obter. E então você move verticalmente para aplicar a função novamente.

Agora, pessoalmente, acho que essa é uma maneira estranha de pensar em aplicar repetidamente uma função, não é? Quero dizer, faz sentido, mas você meio que faz uma pausa e pensa sobre isso para lembrar de que maneira desenhar as linhas. E você pode, se quiser, pensar em quais condições tornam esse processo de teia de aranha mais estreito em um ponto fixo do que se propagar para longe dele. E, de fato, vá em frente! Faça uma pausa agora e tente pensar nisso como um exercício. Tem a ver com inclinações. Ou se você quiser pular o exercício para algo que eu acho que dá uma compreensão muito mais satisfatória, pense em como essa função atua como uma transformação.

Então, eu vou adiante e começo aqui desenhando um monte de setas para indicar onde os vários pontos de entrada mostrados irão. E nota lateral, você não acha que isso fornece um padrão emergente realmente elegante? Eu não esperava isso, mas foi legal vê-lo aparecer durante a animação. Eu acho que a ação de um dividido por 𝑥 dá esse belo círculo emergente. E então estamos apenas mudando as coisas por um. De qualquer forma, quero que você pense sobre o que significa aplicar repetidamente alguma função, como um mais um sobre 𝑥, neste contexto. Bem, depois de deixar transformar todas as entradas para as saídas, você pode considerá-las como as novas entradas. E então apenas aplique o mesmo processo novamente e novamente. E faça quantas vezes quiser.

Observe que, ao animar isso com alguns pontos representando os pontos de amostra, não são necessárias muitas iterações para que todos esses pontos se agrupem em torno de 1.618. Agora lembre-se, sabemos que 1.618, e seu irmão mais novo, menos 0.618, permanecem fixos durante cada iteração desse processo. Mas amplie uma vizinhança em torno de 𝜑. Durante a transformação, os pontos nessa região são contraídos em torno de 𝜑. Significando que a função um mais um sobre 𝑥 tem uma derivada com uma magnitude menor que um nesta entrada. De fato, essa derivada funciona em torno de menos 0.38. Então, o que isso significa é que cada aplicação repetida percorre a vizinhança em torno desse número cada vez menor, como uma atração gravitacional em direção a 𝜑. Então agora, diga-me o que você acha que acontece na vizinhança do irmão mais novo 𝜑.

Por lá, a derivada realmente tem uma magnitude maior que um. Portanto, pontos próximos ao ponto fixo são repelidos para longe dele. E quando você trabalha nisso, pode ver que eles são ampliados por mais de um fator de dois em cada iteração. Eles também são invertidos porque a derivada é negativa aqui. Mas o fato marcante em prol da estabilidade é exatamente a magnitude. Os matemáticos chamariam esse valor certo de ponto fixo estável, e o da esquerda é um ponto fixo instável. Algo é considerado estável se, quando você o perturba um pouco, tende a voltar para onde começou, em vez de se afastar. Então, o que estamos vendo é um pequeno fato muito útil: a estabilidade de um ponto fixo é determinada pela magnitude ou não de sua derivada, maior ou menor que um.

E isso explica por que 𝜑 sempre aparece no jogo numérico em que você apenas pressiona a tecla enter na sua calculadora várias vezes, mas o irmão mais novo 𝜑 nunca aparece. Agora, se você deseja ou não considerar o irmão mais novo 𝜑 um valor válido da fração infinita, bem, isso depende de você. Tudo o que mostramos sugere que, se você pensar nessa expressão como um processo limitador. Então, como todo valor possível de 𝜑 que não seja o irmão mais novo oferece uma série de conversões para 𝜑, é meio bobo colocá-los em pé de igualdade. Mas talvez você não pense nisso como um limite. Talvez o tipo de matemática que você está fazendo se presta a tratar isso como um objeto puramente algébrico, como as soluções de um polinômio que simplesmente possui vários valores. Enfim, isso não vem ao caso.

E meu argumento aqui não é que ver derivadas como essa mudança na densidade seja de alguma forma melhor do que a intuição gráfica em geral. De fato, imaginar uma função inteira dessa maneira pode ser meio desajeitado e impraticável quando comparado aos gráficos. Meu argumento é que ela merece mais menção na maioria dos cursos introdutórios de cálculo. Porque isso pode ajudar a tornar a compreensão do aluno sobre a derivada um pouco mais flexível. Como mencionei, a verdadeira razão pela qual recomendo que você leve essa perspectiva ao aprender novos tópicos não é tanto o que ela faz com a sua compreensão do cálculo de variável única, é o que vem depois.

Existem muitos tópicos normalmente ensinados em um departamento de matemática da faculdade que — como devo colocar isso levemente? Não tem exatamente a reputação de ser super acessível. Então, no próximo vídeo, mostrarei como algumas ideias desses assuntos com nomes sonoros sofisticados, como funções holomórficas e o determinante jacobiano, são realmente apenas extensões da ideia mostrada aqui. São realmente algumas ideias bonitas, que eu acho que podem ser apreciadas em uma ampla variedade de contextos matemáticos. E são relevantes para um número surpreendente de ideias aparentemente não relacionadas. Portanto, fique atento a isso.

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