Vídeo: Fórmula de Euler para Identidades Trigonométricas

Neste vídeo, aprenderemos como usar a fórmula de Euler para provar identidades trigonométricas como ângulo duplo e meio ângulo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, exploraremos a derivação de várias identidades trigonométricas usando a fórmula de Euler. Há uma boa chance de você já ter trabalhado com algumas dessas identidades extensivamente, mas talvez não tenha certeza de onde elas vêm. Então, nesta aula, veremos como a fórmula de Euler vincula-se às fórmulas de ângulo duplo, fórmulas de múltiplos ângulos adicionais e as fórmulas do produto para somar.

Começamos lembrando a fórmula de Euler, às vezes chamada de relação de Euler. Isto indica que para um número real 𝜃, 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 é igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃. Aqui, 𝑖 é a unidade imaginária denotada como a solução para a equação 𝑥 ao quadrado é igual a menos um e 𝜃 deve ser um número real dado em radianos. Como podemos ver, a fórmula fornece uma conexão poderosa entre análise complexa e trigonometria. Mas também tem muitas aplicações em física, engenharia e mecânica quântica. Em nosso primeiro exemplo, veremos como derivar uma identidade trigonométrica bem usada, considerando as propriedades da função exponencial e a fórmula de Euler.

1) Use a fórmula de Euler para expressar 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 em termos de seno e cosseno. 2) Dado que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 vezes 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 é igual a um, que identidade trigonométrica pode ser derivada expandindo-se o exponencial em termos de funções trigonométricas?

Para a primeira parte, começaremos reescrevendo 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. É o mesmo que 𝑒 elevado a 𝑖 vezes menos 𝜃. Agora podemos aplicar a fórmula de Euler. Como a fórmula de Euler diz que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 é igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, podemos ver que 𝑒 elevado a 𝑖 menos 𝜃 é igual a cos de menos 𝜃 mais 𝑖 sen de menos 𝜃. E então, recordamos as propriedades das funções cosseno e seno. cos é uma função par. Então cos de menos 𝜃 é igual a cos de 𝜃. sen, no entanto, é uma função ímpar. Então, sen de menos 𝜃 é o mesmo que menos sen 𝜃. E podemos, portanto, reescrever nossa expressão. E vemos que 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 é o mesmo que cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃.

Agora, vamos considerar a parte dois desta questão. Vamos usar a resposta que recebemos da primeira parte. Quando fazemos, podemos ver que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 vezes 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 é o mesmo que cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 vezes cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃. Vamos distribuir esses parênteses, talvez percebendo que essa é uma expressão fatorada usando a diferença de dois quadrados. cos 𝜃 vezes cos 𝜃 é cos quadrado 𝜃. cos 𝜃 vezes menos 𝑖 sen 𝜃 é menos 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃. Então, obtemos mais 𝑖 sen 𝜃 cos 𝜃 e 𝑖 sen 𝜃 vezes menos 𝑖 sen 𝜃 é menos 𝑖 ao quadrado sen ao quadrado 𝜃. Nós temos então menos 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃 mais 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃 é zero. E, claro, sabemos que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um.

Então podemos simplificar isso um pouco. E vemos que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 vezes 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 é cos ao quadrado 𝜃 mais sen ao quadrado 𝜃. Foi-nos dito, no entanto, que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 vezes 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 era igual a um. Então você pode ver que nós derivamos a fórmula sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um. Esta é uma derivação bastante sucinta da identidade trigonométrica sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 igual a um. Podemos realizar um processo semelhante para nos ajudar a derivar as fórmulas de ângulo duplo. Vamos ver como isso pode parecer.

Use a fórmula de Euler para direcionar uma fórmula para cos dois 𝜃 e sen dois 𝜃 em termos de sen 𝜃 e cos 𝜃.

Na verdade, existem dois métodos que podemos usar para derivar as fórmulas para cos dois 𝜃 e sen dois 𝜃. O primeiro é considerar essa expressão; é 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais 𝜙. Sabemos que isso deve ser o mesmo que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 vezes 𝑒 elevado a 𝑖𝜙. Vamos aplicar a fórmula de Euler às duas partes dessa equação. No lado esquerdo, podemos ver que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais 𝜙 é igual a cos 𝜃 mais 𝜙 mais 𝑖 sen de 𝜃 mais 𝜙. E à direita, temos cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 vezes cos 𝜙 mais 𝑖 sen 𝜙. Vamos distribuir os parênteses do lado direito. E quando fazemos, obtemos a expressão dada. Lembre-se que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. E podemos simplificar e temos cos 𝜃 cos 𝜙 menos sen 𝜃 sen 𝜙 mais 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜙 mais 𝑖 cos 𝜙 sen 𝜃.

Nosso próximo passo é equacionar as partes real e imaginária da equação. No lado esquerdo, a parte real é cos 𝜃 mais 𝜙 e à direita é cos 𝜃 cos 𝜙 menos sen 𝜃 sen 𝜙. E assim, vemos que cos 𝜃 mais 𝜙 é igual a cos 𝜃 cos 𝜙 menos sen 𝜃 sen 𝜙. Em seguida, equacionamos as partes imaginárias. No lado esquerdo, temos sen 𝜃 mais 𝜙. E à direita, temos cos 𝜃 sen 𝜙 mais cos 𝜙 sen 𝜃. E podemos ver então que o sen 𝜃 mais 𝜙 é igual a cos 𝜃 sen 𝜙 mais cos 𝜙 sen 𝜃.

Agora, essas duas fórmulas são úteis por si mesmas. Mas o que realmente podemos fazer é substituir 𝜙 por 𝜃 e obtemos as fórmulas de ângulo duplo. No primeiro, obtemos cos dois 𝜃 é igual a cos ao quadrado 𝜃 menos sen ao quadrado 𝜃. E com a nossa segunda identidade, obtemos sen dois 𝜃 igual a dois cos 𝜃 sen 𝜃. E há uma abordagem alternativa que poderíamos ter usado. Desta vez, poderíamos ter ido direto para as fórmulas de ângulo duplo, escolhendo a expressão 𝑒 elevado a dois 𝑖𝜃 e depois escrevendo isso como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 ao quadrado. Desta vez, quando aplicamos a fórmula de Euler, no lado esquerdo, obtemos cos dois 𝜃 mais 𝑖 sen dois 𝜃. E do lado direito, temos cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 tudo ao quadrado.

Então, distribuindo estes parênteses, vemos que o lado direito se torna cos ao quadrado 𝜃 mais dois 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃 mais 𝑖 ao quadrado sen ao quadrado 𝜃. E mais uma vez, 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Assim, podemos reescrever o lado direito como cos ao quadrado 𝜃 menos sen ao quadrado 𝜃 mais dois 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃. Desta vez, quando comparamos as partes reais, vemos que cos dois 𝜃 é igual a cos ao quadrado 𝜃 menos sen ao quadrado 𝜃. E quando comparamos as partes imaginárias, vemos que sen dois 𝜃 é igual a dois cos 𝜃 sen 𝜃.

Agora, você provavelmente notou que não há muita diferença nesses dois métodos. Este último é um pouco mais sucinto. No entanto, o primeiro tem o benefício de derivar essas identidades extras para cosseno e seno. Também é útil saber que podemos incorporar o teorema binomial para derivar fórmulas de múltiplos ângulos em seno e cosseno.

O teorema binomial diz que para valores inteiros de 𝑛, podemos escrever 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛 como 𝑎 elevado a 𝑛 mais 𝑛 tomado um a um 𝑎 elevado a 𝑛 menos um 𝑏. E continuamos esse padrão com expoentes decrescentes de 𝑎 e expoentes crescentes de 𝑏 todo o caminho até 𝑏 elevado a 𝑛. Nosso próximo exemplo vai usar o teorema binomial para nos ajudar a calcular múltiplos ângulos em termos de potências de funções trigonométricas.

1) Use a fórmula de Euler para derivar uma fórmula para cos de quatro 𝜃 em termos de cos 𝜃. 2) Use a fórmula de Euler para dirigir uma fórmula para o sen de quatro 𝜃 em termos de cos 𝜃 e sen 𝜃.

Para a primeira parte, usaremos as propriedades da função exponencial. E vamos escrever 𝑒 elevado a quatro 𝑖𝜃 como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 elevado a quatro. E agora podemos usar a fórmula de Euler. E escrevemos o lado esquerdo como cos de quatro 𝜃 mais 𝑖 sen de quatro 𝜃. E do lado direito, podemos dizer que isso é igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 tudo elevado a quatro. Agora, vamos aplicar o teorema binomial para distribuir cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 elevado a quatro.

Em nossa equação, 𝑎 é igual a cos de 𝜃, 𝑏 é igual a 𝑖 sen de 𝜃 e 𝑛 é o expoente; que é quatro. E isso significa que podemos dizer que cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 elevado a quatro é o mesmo que cos 𝜃 elevado a quatro mais quatro tomados um a um cos ao cubo 𝜃 vezes 𝑖 sen 𝜃 e assim por diante. Sabemos que quatro tomados um a um são quatro, quatro tomados dois a dois são seis e quatro tomados três a três também é quatro. Sabemos também que 𝑖 ao quadrado é menos um, 𝑖 ao cubo é menos 𝑖 e 𝑖 elevado a quatro é um. E podemos ainda reescrever nossa equação como mostrado.

Agora, vamos equacionar as partes reais dessa equação. E isso nos dará uma fórmula para cos de quatro 𝜃 em termos de cos 𝜃 e sen 𝜃. Vamos limpar algum espaço. A parte real do lado esquerdo é cos de quatro 𝜃. E então do lado direito, temos cos 𝜃 elevado a quatro. Temos menos cos ao quadrado 𝜃 sen ao quadrado 𝜃. E nós temos sen 𝜃 elevado a quatro. Então, nós igualamos isso. Mas ainda não acabamos. Fomos solicitados a derivar uma fórmula para cos quatro 𝜃 em termos de cos 𝜃 apenas.

Então, aqui, usamos a identidade cos ao quadrado 𝜃 mais sen quadrado 𝜃 é igual a um. E nós reorganizamos isso. E dizemos que bem, isso significa que sen ao quadrado 𝜃 deve ser igual a um menos cos ao quadrado 𝜃. E podemos reescrever isso como cos 𝜃 elevado a quatro mais seis cos ao quadrado 𝜃 vezes um menos cos ao quadrado 𝜃 mais um menos cos ao quadrado 𝜃 ao quadrado. Nós distribuímos os parênteses. E o nosso passo final é agrupar termos semelhantes. E vemos que derivamos a fórmula para cos de quatro 𝜃 em termos de cos 𝜃. cos de quatro 𝜃 é igual a oito cos 𝜃 elevado a quatro menos oito cos ao quadrado 𝜃 mais um.

Para a parte dois, podemos repetir esse processo igualando as partes imaginárias. Elas são sen de quatro 𝜃 à esquerda. E então, à direita, temos quatro cos ao cubo 𝜃 sen 𝜃, menos quatro cos 𝜃 sen ao cubo 𝜃. E vemos que esse sen quatro 𝜃 deve ser igual a quatro cos ao cubo 𝜃 sen 𝜃 menos quatro cos 𝜃 sen ao cubo 𝜃. E poderíamos — se assim o desejarmos — fatorar quatro cos 𝜃 sen 𝜃. E ficaremos com quatro cos 𝜃 sen 𝜃 vezes cos ao quadrado 𝜃 menos sen ao quadrado 𝜃. E por último, nos pediram para derivar uma fórmula para sen quatro 𝜃 em termos de cos 𝜃 e sen 𝜃. Agora você pode ver um link entre o sen quatro 𝜃 e as fórmulas de ângulo duplo.

Agora, uma aplicação interessante da fórmula de Euler é que podemos usá-la para derivar uma expressão para sen 𝜃 e cos 𝜃 em termos de 𝑒 elevado a 𝑖𝜃. Já vimos que podemos escrever 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 como cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃. E como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 é igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, podemos dizer que a soma de 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 e 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 é cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 mais cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃. Bem, esta expressão do lado direito simplifica para dois cos 𝜃. E nós podemos isolar cos 𝜃 dividindo por dois. E vemos que temos uma expressão para cos 𝜃 em termos de potências de 𝑒 elevado a 𝑖𝜃. É um meio 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃.

Da mesma forma, podemos encontrar a diferença. E temos cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 menos cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃. Isso simplifica para dois 𝑖 sen 𝜃. Desta vez, nos dividimos por dois 𝑖. E podemos ver que o sen 𝜃 é igual a um sobre dois 𝑖 vezes 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Nestas duas fórmulas tem muitas aplicações por direito próprio. Mas, para os propósitos deste vídeo, veremos um exemplo final. E vamos ver como elas podem ser usadas ​​para derivar outras identidades trigonométricas.

Use a fórmula de Euler para expressar sen ao cubo 𝜃 cos ao quadrado 𝜃 na forma 𝑎 sen 𝜃 mais 𝑏 sen três 𝜃 mais 𝑐 sen cinco 𝜃, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes a serem encontradas. Portanto, encontre as soluções de sen cinco 𝜃 menos sen três 𝜃 igual a zero no intervalo 𝜃 é maior ou igual a zero e menor que 𝜋. Dê sua resposta na forma exata.

Começamos por recordar que sen 𝜃 é igual a um sobre dois 𝑖 vezes 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. E cos 𝜃 é igual a um meio vezes 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Isto significa que podemos encontrar o produto de sen ao cubo 𝜃 e cos ao quadrado 𝜃. Podemos escrevê-lo como um sobre dois 𝑖 vezes 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 ao cubo vezes um meio vezes 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 ao quadrado. Um sobre dois 𝑖 ao cubo é menos um sobre oito 𝑖. E um meio ao quadrado é um quarto. Então podemos reescrever nossa expressão um pouco mais. Encontramos o produto de menos um sobre oito 𝑖 e um quarto. E temos menos um sobre 32𝑖. E podemos reescrever o resto da nossa expressão como mostrado.

Agora vamos usar o teorema binomial para expandir cada um dos conjuntos de parênteses. A primeira parte se torna 𝑒 elevado a três 𝑖𝜃 mais três tomados um a um 𝑒 elevado a dois 𝑖𝜃 vezes menos 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 e assim por diante. E isso simplifica para 𝑒 elevado a três 𝑖𝜃 menos três 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais três 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos três 𝑖𝜃. Vamos repetir este processo para 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 ao quadrado. Quando o fazemos, obtemos 𝑒 elevado a dois 𝑖𝜃 mais dois 𝑒 elevado a zero, que é apenas dois mais 𝑒 elevado a menos dois 𝑖𝜃.

Precisamos encontrar o produto dessas duas expressões. Precisamos fazer isso com muito cuidado. Precisamos garantir que cada termo na primeira expressão seja multiplicado por cada termo na segunda expressão. E nós podemos escrever sen ao cubo 𝜃 cos ao quadrado 𝜃 como mostrado. Agora, há muita coisa acontecendo aqui. Então você pode querer pausar o vídeo e checar sua resposta contra a minha. Vamos juntar as potências correspondentes de 𝑒 juntas.

Vamos juntar 𝑒 elevado a cinco 𝑖𝜃 e 𝑒 elevado a menos cinco 𝑖𝜃. Nós agrupamos 𝑒 elevado a mais e menos três 𝑖𝜃. E vamos juntar 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 e o 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Vamos arrumar as coisas um pouco. Nós terminamos com menos um sobre 32𝑖 vezes 𝑒 elevado a cinco 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos cinco 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a três 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos três 𝑖𝜃 menos dois vezes 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. E agora, você pode descobrir por que escolhemos fazer isso. Podemos agora voltar às fórmulas dadas. Vamos abrir algum espaço para o próximo passo.

Nós meio que desfizemos a fatoração um pouco. E podemos reescrever sen ao cubo 𝜃 cos ao quadrado 𝜃 como mostrado. E podemos, portanto, substituir 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 pelo sen 𝜃 e assim por diante. E nós podemos ver que sen ao cubo 𝜃 cos ao quadrado 𝜃 é igual a um 16 avos vezes dois sen 𝜃 mais sen três 𝜃 menos sen cinco 𝜃. Como 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes a serem encontradas, podemos dizer que 𝑎, o coeficiente de sen 𝜃, é um oitavo. 𝑏, o coeficiente de sen três 𝜃, é um 16 avos. E 𝑐, o coeficiente sen cinco 𝜃, é menos um 16 avos.

Vamos agora considerar a parte dois desta questão. Começamos usando nossa resposta para a primeira parte e multiplicando ambos os lados por 16. Subtraímos dois sen 𝜃 de ambos os lados e multiplicamos por menos um. E agora podemos ver que temos uma equação em sen cinco 𝜃 menos sen três 𝜃. Disseram-nos que o sen cinco 𝜃 menos sen três 𝜃 é igual a zero. Então nós deixamos dois sen 𝜃 menos 16 sen ao cubo 𝜃 cos ao quadrado 𝜃 serem iguais a zero. E então, nós fatoramos por dois sen 𝜃. Como o produto desses dois termos é igual a zero, isso significa que qualquer um desses termos deve ser igual a zero. Então, ou dois sen 𝜃 é igual a zero e dividindo por dois, podemos ver que sen 𝜃 é igual a zero ou um menos oito sen ao quadrado 𝜃 cos ao quadrado 𝜃 é igual a zero. Dado que o intervalo 𝜃 é maior ou igual a zero e menor que 𝜋, podemos ver que uma de nossas soluções é quando 𝜃 é igual a zero.

Vamos reescrever nossas outras equações de alguma forma. Sabemos que sen dois 𝜃 é igual a dois sen 𝜃 cos 𝜃. Elevando isso ao quadrado, temos sen ao quadrado de dois 𝜃 é igual a quatro sen ao quadrado 𝜃 cos ao quadrado 𝜃. E isso, por sua vez, significa que nossa equação é um menos dois sen ao quadrado dois 𝜃 igual a zero. Reorganizando para isolar sen dois 𝜃, vemos que sen dois 𝜃 é igual a mais ou menos um sobre a raiz dois. Começando com a raiz quadrada positiva para 𝜃 no intervalo dado, sabemos que sen dois 𝜃 é igual a um sobre a raiz de dois quando 𝜃 é igual a 𝜋 sobre oito ou três 𝜋 sobre oito. Da mesma forma, podemos resolver pela raiz quadrada negativa. E temos cinco 𝜋 sobre oito e sete 𝜋 sobre oito. E existem, portanto, cinco soluções para a equação sen cinco 𝜃 menos sen três 𝜃 igual a zero no intervalo 𝜃 é maior ou igual a zero e menor que 𝜋. Elas são zero, 𝜋 sobre oito, três 𝜋 sobre oito, cinco 𝜋 sobre oito e sete 𝜋 sobre oito.

Neste vídeo, vimos que podemos usar a fórmula de Euler em conjunto com as propriedades das funções exponenciais. E podemos derivar muitas identidades trigonométricas, como a identidade pitagórica e fórmulas de múltiplos ângulos. Também vimos que podemos usar o teorema para expressar seno e cosseno em termos da função exponencial complexa, como mostrado. Também vimos que podemos usar as identidades derivadas da fórmula de Euler para nos ajudar a simplificar as expressões. E estas, por sua vez, podem nos ajudar a resolver equações trigonométricas.

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