Video Transcript
Neste vídeo, estamos falando sobre o princípio de Pascal. Este é um princípio relacionado a como a pressão se comporta em um fluido incompressível. Agora, quando falamos sobre um fluido incompressível, sabemos que um fluido é uma substância que flui. Tanto os gases quanto os líquidos são fluidos.
Mas então, vamos considerar o que significa um fluido ser incompressível. Digamos que temos uma caixa, esta aqui. E o enchemos com um pouco de gás. Dentro desse recipiente fechado, o gás se expandirá naturalmente para preencher todo esse volume. Então, podemos dizer que o volume desse gás é igual ao volume interior da nossa caixa. Mas então, e se o volume da nossa caixa for ajustável? Digamos que seja possível, por exemplo, que a face superior da caixa seja empurrada para baixo.
Com o nosso gás no interior, é possível empurrar para baixo esta face superior e diminuir o volume da caixa. Se fizermos isso, esta caixa em laranja nos mostra o volume que foi perdido para o interior da caixa. Isso é o quanto a caixa foi compactada. E, portanto, é quanto o gás dentro da caixa foi comprimido também. Tudo isso nos mostra que esse gás não é um fluido incompressível, porque podemos comprimi-lo. Conseguimos fazer com que alguma quantidade ocupasse um volume menor.
Mas então, digamos que fazemos isso. Tomamos água. E enchemos um grande recipiente quase até o topo. E então, bem na superfície da água, presa às laterais do recipiente, fixamos uma membrana de borracha. Esta membrana, se olhássemos de cima para baixo, ficaria assim. É uma folha contínua de borracha, exceto por dois pequenos orifícios. E esses orifícios são projetados para caber confortavelmente em torno dos tornozelos de uma pessoa. Então, a ideia é esta. Se uma pessoa subisse até o topo desse recipiente com água e colocasse os pés diretamente nesses dois pequenos orifícios da membrana de borracha, a água que seus pés pressionavam não teria para onde escapar desse recipiente. Seria lacrado.
Portanto, essa pessoa, se conseguisse se equilibrar em pé, seria capaz de ter todo o seu peso suportado pela água em que está. E isso porque, ao contrário do gás que vimos antes, essa água é incompressível. Uma vez que ocupa um determinado volume, mesmo que o pressionemos para tentar diminuir esse volume, não conseguiremos. Portanto, a água é um exemplo de fluido incompressível. E como dissemos, são esses fluidos que o princípio de Pascal aborda especificamente.
Sabendo disso, vamos dar uma olhada mais de perto neste tanque de água. Mesmo antes da pessoa subir e colocar os pés nos orifícios da folha de borracha, existem algumas coisas interessantes que podemos dizer sobre a pressão da água neste tanque. Em primeiro lugar, sabemos que a pressão não é a mesma em todos os lugares para a água deste tanque. Isso ocorre porque a pressão é criada pelo peso da água sobre ela mesma, o que significa que a água no fundo do tanque, aqui em baixo, está sob mais pressão do que a água no topo. E isso porque a água no fundo tem essa altura de água empurrando para baixo, enquanto a água no topo tem apenas essa profundidade de água empurrando para baixo.
Poderíamos dizer que a coluna de água empurrando para baixo neste ponto superior é muito mais curta do que a coluna de água empurrando para baixo neste ponto inferior. Isso significa que há muito mais peso de água empurrando para baixo no ponto inferior, o que significa que a pressão é maior. E, de fato, se chamarmos a profundidade de um fluido abaixo de seu nível de superfície ℎ, então há até mesmo uma relação matemática nos dizendo qual será a pressão desse fluido em termos de ℎ, a aceleração devido à gravidade 𝑔, e 𝜌, a densidade do fluido. Na verdade, se multiplicarmos essas três quantidades juntas, então seu produto é igual à pressão do fluido em alguma profundidade, nós a chamamos de ℎ.
Indo para o lado esquerdo do nosso tanque, se chamarmos essa profundidade menor ℎ um e a profundidade maior ℎ dois. Podemos ver que nossa equação para a pressão do fluido devido ao peso do fluido nos mostra que a diferença de pressão entre essas duas elevações em nosso fluido, chamaremos essa diferença de pressão 𝛥𝑝. É igual à densidade do fluido, vamos chamar isso de 𝜌, multiplicado pela aceleração devido à gravidade multiplicada pela diferença de altura entre ℎ um e ℎ dois. Tudo isso nos mostra que, de fato, a pressão em várias profundidades em um fluido não é a mesma. Em vez disso, varia com essa profundidade.
E vale a pena ressaltar que esta equação que usamos aqui assume que a densidade do nosso fluido é constante. Em outras palavras, essa densidade não muda conforme a profundidade de nosso fluido muda. Isso significa que estamos assumindo que o fluido é incompressível. Não importa quanto do fluido empilhemos sobre si mesmo, sua densidade nunca aumenta. Portanto, se tivéssemos que modelar a pressão que atua nas laterais desse tanque conforme a profundidade aumenta, essa pressão poderia ter esta aparência. Pressão leve em direção ao topo do recipiente. Mas então, conforme descemos, a pressão aumenta.
Outro fato interessante sobre a pressão neste tanque é que ele não empurra apenas contra as paredes ou o fundo do recipiente. Se tivéssemos que escolher um ponto ao acaso em nosso tanque de água, digamos que escolhemos este ponto aqui. Se tivéssemos que desenhar na direção em que a pressão atua naquele ponto, poderíamos naturalmente desenhar uma seta para baixo a partir desse ponto. Como sabemos o peso da água acima, esse ponto a pressiona. E isso é verdade. A pressão age dessa forma neste ou em qualquer outro ponto. Mas, curiosamente, também atua na direção oposta. Isso pode parecer estranho, pois estamos dizendo que a pressão, devido ao peso da água acima deste ponto, é capaz de agir a partir daquele ponto. Mas é verdade.
E para ver se é assim, poderíamos colocar um artigo pequeno e leve, como um pouco de serragem, naquele ponto do nosso tanque. Se a água do tanque estiver parada e colocarmos alguns grãos de serragem neste ponto, a poeira ficará efetivamente no lugar. O que significa que a força que empurra para baixo, a partir da pressão devida à coluna de água, é a mesma que a força que empurra para cima. Portanto, neste ponto, ou em qualquer outro ponto do nosso tanque, a pressão atua tanto para baixo quanto para cima. E também atua para a esquerda e para a direita e em todas as direções igualmente a partir deste ponto que escolhemos. E lembre-se de que escolhemos esse ponto aleatoriamente. Qualquer ponto que tivéssemos escolhido mostraria a mesma coisa. Digamos, por exemplo, que pegamos um ponto aqui em cima, mais perto da superfície.
Nesse segundo ponto mais alto, a pressão atuaria novamente em todas as direções a partir desse ponto. Mas seria apenas menor em magnitude do que a pressão no ponto mais baixo que escolhemos primeiro. Então, essa é a condição da pressão da água em nosso tanque antes que a pessoa fique em cima dela. Então, digamos que eles escalem, enfiem os pés nos buracos do tapete de borracha e consigam ficar de pé na água. O que vai acontecer? Bem, nós sabíamos que os pés dessa pessoa criarão uma pressão de ação para baixo nos pontos em que ela entra em contato com a água. E verifica-se que essa pressão adicionada, devido ao peso da pessoa sobre a água, é transmitida por todo o resto da água neste tanque. Em outras palavras, essas setas, indicando as forças criadas pela pressão da água, ficam um pouco mais longas.
Esta ideia de que a pressão contribuída em um ponto em um fluido incompressível é transmitida por todo o fluido é conhecida como princípio de Pascal. Podemos escrever este princípio da seguinte maneira. Uma mudança de pressão em qualquer ponto de um fluido confinado e incompressível, e é isso que temos aqui, no caso da água em nosso tanque, é transmitida por todo o fluido. Portanto, a mesma mudança ocorre em todos os lugares. Ou seja, o aumento de pressão criado por nossa pessoa em pé em cima da água foi transmitido por todo esse fluido, de modo que todas as pressões aumentaram na mesma quantidade.
Quando pensamos em uma equação matemática para pressão, sabemos que, em geral, a pressão 𝑃 é igual a uma força 𝐹 espalhada por uma área 𝐴. E, em parte, em homenagem ao desenvolvimento desse princípio, a unidade básica de pressão do S.I. recebeu o nome de Blaise Pascal. Essa unidade é o Pascal. Agora, digamos que quando essa pessoa ficou em cima da água, por causa de seu peso, ela adicionou uma pressão de 7500 Pascais. Se aplicarmos o princípio de Pascal à água neste tanque, isso nos dirá que todas as pressões em todos os outros pontos também aumentaram na mesma quantidade, 7500 Pascal. Isso ocorre porque essa mudança de pressão é transmitida por todo o fluido. Portanto, a mesma mudança ocorre em todos os lugares. Cada pressão em cada ponto do tanque aumenta na mesma proporção.
É possível usar o princípio de Pascal para exercer forças muito fortes. Este princípio, lembre-se, tem a ver com pressões. Mas as pressões estão relacionadas a forças e áreas. Para ver como o princípio de Pascal pode nos ajudar a entender como exercer uma força forte, vamos mudar a forma do nosso recipiente de água. Digamos que nossa água esteja agora em um recipiente lacrado parecido com este. Essas linhas verdes que desenhamos no topo são pistões que podem se mover para cima ou para baixo dentro das paredes do container. Podemos ver, porém, que os pistões não são do mesmo tamanho. O da esquerda é claramente menor do que o da direita.
Agora, vamos chamar a área do pistão à esquerda de 𝐴. E diremos que a área do pistão à direita é 100 vezes isso, 100𝐴. Em outras palavras, este pistão da direita é 100 vezes maior em área do que o pistão da esquerda. E digamos ainda que uma pessoa com uma massa de 75 quilogramas fica no pistão à esquerda. Como essa pessoa tem uma massa que está em um campo gravitacional, sabemos que ela criará uma força de peso atuando para baixo. E esse peso 𝑊 será igual a sua massa multiplicada pela aceleração da gravidade 𝑔.
Agora, esse peso 𝑊 é uma força. É medido em unidades de newtons. E podemos ver que essa força de peso está sendo exercida sobre uma área, uma área que chamamos de 𝐴. Portanto, por nossa equação para pressão, sabemos que essa força espalhada por essa área adiciona pressão ao nosso líquido. Essa pressão, e podemos chamá-la de 𝑃, é igual à massa da pessoa vezes 𝑔 dividida pela área 𝐴.
E, neste ponto, vamos lembrar que o princípio de Pascal nos diz que, como essa pressão está sendo adicionada a um fluido incompressível fechado, essa quantidade de pressão é adicionada a todos os pontos dentro desse fluido. E digamos que nos concentremos especificamente na pressão que é adicionada ao pistão à direita, o muito maior. O resultado dessa pressão adicional é empurrar o pistão para cima. E o princípio de Pascal nos diz que a pressão empurrando para cima no pistão é a mesma que a pressão que adicionamos estando no pistão esquerdo menor.
Mas então, vamos considerar o lado direito desta equação. Esses valores, a força do peso criada pela pessoa e a área do pistão menor, são específicos do lado esquerdo do nosso sistema. Do lado direito, sabemos que temos um pistão muito maior, com uma área 100 vezes maior. E temos alguma força espalhada por todo o pistão agindo. Se chamarmos essa força ascendente total agindo no pistão mais à direita 𝐹 sub up, então sabemos que a pressão adicionada ao nosso sistema é igual a essa força dividida pela área do segundo pistão, 100𝐴. Portanto, aqui temos a força e a área do pistão à direita, em comparação com a força e a área do pistão à esquerda. E essas relações de força para área são iguais à mesma pressão.
E agora, observe o que acontece se resolvermos para 𝐹 sub up. Podemos fazer isso multiplicando ambos os lados pela área do pistão mais à direita, 100𝐴. Isso faz com que 100𝐴 seja cancelado do numerador e denominador à direita. E também faz com que a área 𝐴 seja cancelada do numerador e denominador à esquerda. O que descobrimos é que a força atuando no pistão mais à direita é 100 vezes a força atuando para baixo devido ao peso da força da pessoa no pistão esquerdo. O que criamos então é essencialmente um multiplicador de força de 100𝑥. E fizemos isso tornando a área do pistão maior 100 vezes a área do menor.
Veja como podemos escrever isso de uma maneira geral. Por causa do princípio de Pascal, onde a pressão adicionada a um sistema é adicionada igualmente em todo o sistema, desde que seja um fluido incompressível fechado. Isso significa que a força adicional sobre a área em um local, que sabemos ser a pressão adicional naquele local, é igual à força adicional sobre a área em outro local, onde a força e a área podem ser diferentes das primeiras. Ao tornar essas áreas 𝐴 um e 𝐴 dois muito diferentes, vimos que podemos criar multiplicadores de força poderosos, onde usamos uma força relativamente pequena, neste caso, o peso de uma pessoa, para criar uma força relativamente grande. E isso é possível porque a pressão é transmitida sem diminuir em um fluido incompressível fechado.
Vamos parar um momento agora para resumir o que aprendemos sobre o princípio de Pascal. Começando, vimos que os gases são fluidos compressíveis enquanto os líquidos são principalmente incompressíveis. Aprendemos mais que a pressão varia em um fluido incompressível de acordo com a profundidade do fluido, bem como sua densidade. Em uma determinada profundidade abaixo de seu nível de superfície ℎ, a pressão de um fluido é igual a essa profundidade vezes a aceleração devido à gravidade multiplicada pela densidade do fluido 𝜌.
Vimos que, em qualquer ponto de um fluido, a pressão é a mesma em todas as direções. E isso nos levou a aprender o princípio de Pascal, que nos diz que uma mudança de pressão em qualquer ponto de um fluido confinado e incompressível é transmitida por todo o fluido. Portanto, a mesma mudança ocorre em todos os lugares. E, por fim, quando combinamos a equação, essa pressão é igual à força dividida pela área, com o princípio de Pascal. Descobrimos que isso nos permite pegar a força dividida por uma área de alguma parte de nosso fluido incompressível e igualar isso a uma força diferente sobre outra área do mesmo fluido. E configurando as áreas 𝐴 um e 𝐴 dois, vimos que era possível criar múltiplos de força usando este método.
