Transcrição do vídeo
Neste vídeo, aprenderemos como encontrar as médias aritméticas para quaisquer dois termos não consecutivos em uma progressão aritmética.
Vamos começar definindo a média aritmética. Uma média aritmética é a soma de um conjunto de valores dividido pelo número de valores no conjunto. Se tivermos dois números três e nove e quisermos encontrar sua média aritmética, os somamos, três mais nove, e depois dividimos por dois, porque temos um conjunto de dois números. E isso é igual a seis. O que estamos mostrando aqui é que a distância de três a seis é igual à distância de seis a nove. Vamos chamar essa distância de 𝑑. Podemos ver que de três a seis estamos adicionando três e de seis a nove estamos adicionando três.
Se continuarmos com esse padrão, nove mais três são 12 e 12 mais três são 15. Poderíamos chamar esse conjunto de valores de progressão aritmética. Isso ocorre porque em uma progressão aritmética, a diferença entre dois valores consecutivos será igual. Mas queremos nos concentrar neste vídeo principalmente nas médias aritméticas. E nesta progressão, há mais de uma média aritmética. Mostramos como seis é a média aritmética entre três e nove. Mas nove também é uma média aritmética nesta progressão. Se pegarmos os valores de ambos os lados, podemos dizer seis mais 12 dividido por dois igual a nove. E isso faz com que nove seja a segunda média nesta sequência, o que faria com que 12 fosse a terceira média. E isso significa que podemos dizer que existem três médias aritméticas entre três e 15.
Usando nosso conhecimento sobre o comportamento das progressões aritméticas e o que sabemos sobre as médias aritméticas dentro das progressões aritméticas, vamos ver alguns exemplos de perguntas.
Encontre cinco médias aritméticas entre sete e 19.
Temos dois valores, sete e 19. E nos disseram que existem cinco médias aritméticas entre elas, que poderíamos marcar 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒. Nossa primeira média é 𝑎. E sabemos que se 𝑎 é a primeira média, a distância de sete a 𝑎 deve ser igual à distância de 𝑎 a 𝑏. E assim podemos dizer que se sete mais 𝑥 é igual a 𝑎, então 𝑎 mais 𝑥 deve ser igual a 𝑏. Seguindo em frente, 𝑏 é a segunda média, o que significa que a distância de 𝑎 a 𝑏 deve ser igual à distância de 𝑏 a 𝑐. Se 𝑎 mais 𝑥 é igual a 𝑏, então 𝑏 mais 𝑥 deve ser igual a 𝑐. Isso deve ser verdade para todas as nossas cinco médias aritméticas entre sete e 19. Eles devem ter uma diferença comum. E estamos chamando essa diferença comum de 𝑥.
Se houver uma diferença comum de 𝑥 entre todas essas cinco médias aritméticas, também haverá uma diferença comum de 𝑥 entre a última média 𝑒 e o final de nossa progressão 19. Podemos usar essas informações para configurar uma equação. Podemos criar uma relação entre sete e 19 usando as diferenças comuns. Para ir de sete a 19, se houver cinco médias aritméticas entre elas, você precisará adicionar seis 𝑥. Então, estamos dizendo que sete mais seis 𝑥 devem ser iguais a 19. Essa equação nos permitirá resolver essa diferença comum.
Subtraímos sete de ambos os lados da nossa equação e encontramos seis 𝑥 igual a 12, o que significa que 𝑥 é igual a dois. E se 𝑥 é igual a dois, 𝑎 é igual a nove, 𝑏 é igual a 11, 𝑐 é igual a 13, 𝑑 é igual a 15 e 𝑒 é igual a 17. E as cinco médias aritméticas entre sete e 19 são nove, 11, 13, 15 e 17.
Em nosso próximo exemplo, veremos o que fazer se recebermos a soma das diferentes médias em uma progressão aritmética.
Se a soma da segunda média e da quarta média de uma progressão aritmética for igual a 16 e a sétima média for maior que a terceira média em oito, a progressão estará em branco.
Digamos que temos alguma sequência com o primeiro termo 𝑎. Poderíamos dizer que o segundo termo é 𝑏, o terceiro termo é 𝑐 e continuar assim. Temos que lembrar que se o primeiro termo é 𝑎, a primeira média é na verdade o segundo termo na progressão. Se o segundo termo é a primeira média, o terceiro termo é a segunda média e o quinto termo é a quarta média. No entanto, essa progressão de variáveis não é muito útil para nós. Seria mais útil escrever essas variáveis em termos de nosso primeiro valor na progressão.
Então vamos voltar. Se deixarmos nosso primeiro valor na progressão ser 𝑎, sabemos que nosso segundo termo será igual ao nosso primeiro termo mais uma diferença comum. E essa é uma maneira muito melhor de escrever esses valores. Nosso segundo termo seria igual a 𝑎 mais a diferença comum 𝑑. E nosso terceiro termo seria igual a 𝑎 mais 𝑑 mais 𝑑. Podemos chamar isso de 𝑎 mais dois 𝑑. Nosso quarto termo seria igual a 𝑎 mais três 𝑑. E precisamos pensar sobre os valores em que estamos interessados. Temos informações sobre a segunda média, a quarta média, a sétima média e a terceira média.
Já dissemos que essa segunda média seria igual ao terceiro termo e a quarta média seria igual ao quinto termo. Podemos notar algo interessante aqui. A segunda média tem duas unidades da diferença comum 𝑑 sendo adicionadas ao primeiro termo. E a quarta média tem quatro diferenças comuns sendo adicionadas ao primeiro termo 𝑎. Nós vemos isso com a terceira média. Três diferenças comuns estão sendo adicionadas. E podemos usar isso para dizer que a sétima média seria o primeiro termo mais sete 𝑑.
Usando esses valores, podemos configurar alguns sistemas de equações para resolver a progressão. Sabemos que a segunda média mais a quarta média são iguais a 16. Isso significa que 𝑎 mais dois 𝑑 mais 𝑎 mais quatro 𝑑 é igual a 16. Também sabemos que a terceira média mais oito é igual à sétima média. Então escrevemos 𝑎 mais três 𝑑, que é a terceira média, mais oito é igual a 𝑎 mais sete 𝑑, a sétima média. À esquerda, podemos simplificar para dois 𝑎 mais seis 𝑑 igual a 16. E para a nossa outra equação, se subtrairmos 𝑎 de ambos os lados, temos 𝑎 menos 𝑎 em ambos os lados.
Acabamos com três 𝑑 mais oito é igual a sete 𝑑. Ao subtrair três 𝑑 de ambos os lados, podemos ver que oito é igual a quatro 𝑑. E dividindo ambos os lados por quatro, descobrimos que dois é igual a 𝑑 ou 𝑑 é igual a dois. E então nós queremos pegar esse dois para o nosso valor 𝑑 e inseri-lo em nossa segunda equação para que tenhamos dois 𝑎 mais seis vezes dois é igual a 16. Dois 𝑎 mais 12 é igual a 16. Ao subtrair 12 de ambos os lados, obtemos dois 𝑎 que é igual a quatro. E uma vez que dividimos por dois, vemos que 𝑎 é igual a dois.
Lembre-se de que 𝑎 representou o primeiro termo em nossa progressão e nossa diferença comum aqui, nosso valor de 𝑑, é dois. Isso significa que nosso segundo termo será quatro, nosso terceiro termo será seis e o padrão continuará. A progressão aritmética descrita aqui é a sequência com o primeiro termo de dois e uma diferença comum de dois.
Nosso próximo exemplo é um pouco diferente. Queremos encontrar o número de médias entre dois valores dados, se tivermos informações sobre algumas das médias aritméticas entre os dois valores.
Encontre o número de médias aritméticas inseridas entre oito e 238, dada a soma da segunda e da sexta médias é 96.
Vamos pensar no que sabemos. Recebemos oito e 238. E estamos tentando descobrir quantas médias aritméticas estão entre esses dois valores, dada a soma da segunda e da sexta médias é 96. Não sabemos nada sobre os termos entre oito e 238 além disso, mas sabemos que todos os termos consecutivos terão uma diferença comum. Nossa segunda média está a duas diferenças comuns de oito. A segunda média é o terceiro termo. Então vamos deixar 𝑎 ser igual à nossa segunda média.
Se 𝑎 for igual à nossa segunda média, será igual a oito mais duas vezes a diferença comum 𝑑. Para ir da nossa segunda média para a nossa sexta média, precisamos adicionar essa diferença comum mais quatro vezes. Então, vamos deixar a sexta média ser igual a 𝑏. Podemos escrever 𝑏 em termos de nosso primeiro termo e nossa diferença comum. 𝑏 seria igual a oito mais seis 𝑑. Se você começar em oito e tentar chegar a 𝑏, precisará adicionar a diferença comum seis vezes. Sabemos que a soma da segunda e da sexta médias é 96. 𝑎 mais 𝑏 deve ser igual a 96. Podemos substituir oito mais dois 𝑑 para 𝑎 e oito mais seis 𝑑 para 𝑏.
Quando combinamos termos semelhantes, descobrimos que 16 mais oito 𝑑 é igual a 96. Subtraindo 16 de ambos os lados nos dá oito 𝑑 é igual a 80. E dividindo ambos os lados por oito, obtemos que 𝑑 é igual a 10. Isso não está nos dizendo quantas médias aritméticas estão entre oito e 238. Está apenas dizendo que a diferença comum nesta progressão é 10.
Agora, precisamos pensar em uma maneira de ir de oito para 238 com uma diferença comum de 10. Queremos saber se começarmos com oito, quantos conjuntos de 10 precisamos adicionar a oito para terminar em 238? Subtraímos oito de ambos os lados e obtemos 𝑥 vezes 10 igual a 230. Se dividirmos ambos os lados por 10, obtemos que 𝑥 é igual a 23. Isso significa que estamos dizendo que oito mais 23 vezes a diferença comum é igual a 238. E isso faz sentido. A diferença comum é 10, então oito mais 230 é igual a 238. Mas é aqui que temos que ter muito cuidado. Isso nos leva do primeiro ao último termo, mas nossa pergunta quer saber o número de médias aritméticas entre 238 e oito. E isso significa que precisamos ir um para a esquerda de 238.
Para ir de 238 à média final, subtraímos 𝑑. Se deixarmos 𝑐 ser igual à média final entre oito e 238, ela está localizada em oito mais 23𝑑 menos 𝑑. Seria igual a oito mais 22𝑑. E esse 22 torna a 22ª média, o que significa que há 22 médias inseridas entre oito e 238.
Em nosso exemplo final, tentaremos novamente encontrar o número de médias aritméticas inseridas entre dois valores. Mas desta vez, recebemos a razão entre dois conjuntos diferentes de médias.
Encontre o número de médias aritméticas inseridas entre dois e 254, dada a razão entre a soma das duas primeiras médias e a soma das duas últimas médias é 11 sobre 245.
Vamos pensar no que sabemos. Temos alguma progressão em que o primeiro termo é dois e o último termo é 254. Em progressões como essa, o segundo termo é igual à primeira média e o terceiro termo é igual à segunda média. Vamos deixar 𝑎 ser a nossa primeira média e 𝑏 ser a nossa segunda média. Sabemos que para ir do primeiro para o segundo termo, deve haver uma diferença comum de 𝑑. A mesma coisa é verdade. Para ir do nosso segundo termo para o nosso terceiro termo, precisamos adicionar uma diferença comum de 𝑑. Mas como devemos rotular nossos dois últimos meios?
Se começarmos em nosso termo final 254, a última média será menos 𝑑 do último termo. Podemos deixar 𝑒 ser a nossa última média. E se pegarmos a última média e subtrairmos a diferença comum de 𝑑, obtemos uma penúltima média. Vamos escrever nossas duas primeiras médias em relação ao primeiro termo. 𝑎 será igual a dois mais 𝑑. E 𝑏 seria igual a dois mais dois 𝑑. E então podemos escrever 𝑒 e 𝑓 em termos de nosso último valor 254. 𝑒 será igual a 254 menos 𝑑. E 𝑓, o penúltimo termo, seria igual a 254 menos dois 𝑑.
Agora, nossa razão é a soma dos dois primeiros sobre a soma dos dois segundos. E isso significa que queremos adicionar 𝑎 e 𝑏 e adicionar 𝑒 e 𝑓. Para as duas primeiras médias, elas somam quatro mais três 𝑑. E para as duas últimas médias, eles somam 508 menos três 𝑑. Vamos pegar essas duas expressões e defini-las como iguais à nossa razão de 11 sobre 245. Temos a soma das duas primeiras médias, quatro mais três 𝑑, sobre a soma das duas últimas médias, 508 menos três 𝑑, que deve ser igual a 11 sobre 245.
Quando multiplicamos em cruz, obtemos 245 vezes quatro mais três 𝑑 é igual a 11 vezes 508 menos três 𝑑. Então, nós distribuímos, o que nos dá 980 mais 735𝑑 à esquerda e 5588 menos 33𝑑 à direita. Em seguida, adicionamos 33𝑑 a ambos os lados da equação. E então precisamos subtrair 980 de ambos os lados para obter 768𝑑 é igual a 4608. Quando dividimos ambos os lados da equação por 768, descobrimos que 𝑑 é igual a seis. Agora sabemos que a diferença comum é seis. E precisaremos usar isso para descobrir quantas médias estão entre dois e 254. Isso significa que precisaremos descobrir como passamos de dois para 254 em incrementos de seis.
Algebricamente, podemos escrever que dois mais 𝑥 vezes seis é igual a 254 e depois resolver para 𝑥. Quando fazemos isso, descobrimos que 𝑥 é igual a 42. Isso significa que estamos pegando 42𝑑 e adicionando-o ao nosso primeiro termo de dois para chegar a 254. Mas para chegar à última média, precisamos apenas adicionar 41𝑑. Como dois mais 41𝑑 é igual à última média, existem 41 médias entre dois e 254.
Antes de terminarmos, vamos revisar nossos pontos principais. Os termos entre dois termos não consecutivos em uma progressão aritmética são conhecidos como médias aritméticas. Para calcular a média aritmética, pegue a soma de um grupo de valores e divida pelo número de valores. Usando essas propriedades, você pode resolver o número de médias aritméticas entre dois valores arbitrários.
