Vídeo: Transformações Lineares e Matrizes

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Transformações Lineares e Matrizes

10:58

Transcrição do vídeo

Olá pessoal! Se eu tivesse que escolher apenas um tópico que faz com que todos os outros em álgebra linear comecem a perceber-se e que com demasiada frequência não sejam aprendidos na primeira vez em que um aluno faz álgebra linear, seria este: a ideia de uma transformação linear e a sua relação com matrizes.

Neste vídeo, vou focar apenas no que essas transformações são no caso das duas dimensões e como se relacionam com a ideia de multiplicação de uma matriz e um vetor. Em particular, quero mostrar-lhe uma maneira de pensar sobre a multiplicação de vetores e matriz que não dependa da memorização. Para começar, vamos apenas analisar este termo “transformação linear”. ”Transformação” é essencialmente uma palavra chique para “função”. É algo que recebe objetos e devolve uma imagem para cada um.

Especificamente, no contexto da álgebra linear, gostamos de pensar em transformações que envolvem algum vetor e devolve outro vetor. Então, porquê utilizar a palavra “transformação” em vez de “função” se significam a mesma coisa? Bem, é para ser sugestiva uma certa forma visualizar essa relação objeto-imagem. Veja, uma ótima forma de entender as funções de vetores é utilizar o movimento. Se uma transformação transforma um vetor como objeto para um vetor como imagem, imaginamos que o vetor de entrada se move para o vetor de saída. Então, para entender a transformação como um todo, podemos imaginar que todos os possíveis vetores de entrada se movem para o seu vetor de saída correspondente.

Fica muito complicado pensar em todos os vetores de uma só vez, cada um é uma seta. Então, como mencionei no último vídeo, um bom truque é conceptualizar cada vetor, não como uma seta, mas como um único ponto: o ponto onde está a seta. Dessa forma, para pensar numa transformação que leva todos os vetores como objeto possíveis para algum vetor como imagem, observamos cada ponto no espaço mover-se para algum outro ponto. No caso de transformações em duas dimensões, para ter uma ideia melhor da “forma” da transformação, eu gosto de fazer isso com todos os pontos numa grelha infinita. Às vezes, também gosto de manter uma cópia da grelha em segundo plano, apenas para ajudar a acompanhar onde tudo termina em relação ao início.

O efeito de várias transformações, movendo-se em torno de todos os pontos no espaço, é, tem que admitir, bonito. Dá a sensação de espalmar e transformar o próprio espaço. Como pode imaginar, embora transformações arbitrárias possam parecer bastante complicadas, mas felizmente a álgebra linear limita-se a um tipo especial de transformação, aquelas que são mais fáceis de entender, chamadas transformações “lineares”. Visualmente falando, uma transformação é linear se tiver duas propriedades: todas as retas devem permanecer retas, sem se curvarem, e a origem deve permanecer fixa no lugar.

Por exemplo, isto aqui não seria uma transformação linear, já que as retas ficam todas curvas. E este aqui, embora mantenha as retas, não é uma transformação linear porque move a origem. Esta aqui fixa a origem e pode parecer que mantém a reta, mas isso é apenas porque eu estou a mostrar as retas da grelha horizontais e verticais. Quando vê o que faz a uma reta diagonal, fica claro que não é de todo linear, já que a reta fica toda curvada.

Em geral, deve pensar em transformações lineares como aquelas que mantêm as retas da grelha paralelas e uniformemente espaçadas. Algumas transformações lineares são simples de se pensar, como rotações em torno da origem. Outras são um pouco mais complicadas de descrever por palavras. Então, como acha que poderia descrever essas transformações numericamente? Se fosse, digamos, programar algumas animações para fazer um vídeo que ensina o tópico, que fórmula daria ao computador para que, se desse as coordenadas de um vetor, este possa dar-lhe as coordenadas de onde o vetor está? Acontece que só precisa de registar onde os dois vetores da base, 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu, aterram. E tudo mais seguirá.

Por exemplo, considere o vetor 𝐯 com coordenadas menos um, dois, significando que é igual a menos um 𝑖-chapéu mais duas vezes 𝑗-chapéu. Se aplicarmos uma transformação e verificarmos para onde estes três vetores vão, a propriedade de que as retas da grelha permaneçam paralelas e uniformemente espaçadas tem uma consequência realmente importante: o lugar onde 𝐯 aterra será menos um vezes o vetor onde 𝑖-chapéu aterrou mais dois vezes o vetor onde 𝑗-chapéu aterrou. Por outras palavras, começou como uma certa combinação linear de 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu, e termina sendo a mesma combinação linear de onde estes dois vetores aterraram. Isto significa que pode deduzir onde 𝐯 deve aterrar com base apenas no local onde 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu aterram. É por isso que gosto de manter uma cópia da grelha original no fundo; para a transformação apresentada aqui, podemos ler que 𝑖-chapéu aterra nas coordenadas um, menos dois e 𝑗-chapéu aterra no eixo O𝑥 nas coordenadas três, zero. Isto significa que o vetor representado por menos um 𝑖-chapéu mais duas vezes 𝑗-chapéu aterra em menos vezes o vetor um, menos dois mais duas vezes o vetor três, zero. Somando tudo isto, pode deduzir que tem que aterrar no vetor cinco, dois.

Este é um bom ponto para se fazer uma pausa e ponderar porque é muito importante. Agora, considerando que estou realmente a mostrar-lhe toda a transformação, poderia ter apenas olhado para ver que 𝐯 tem as coordenadas cinco, dois. Mas a parte espetacular aqui é que isto nos dá uma técnica para deduzir onde os vetores aterram, desde que tenhamos um registo de onde 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu aterram, sem precisar de observar a transformação em si. Escreva o vetor com coordenadas mais gerais 𝑥 e 𝑦, e irá aterrar em 𝑥 vezes o vetor onde 𝑖-chapéu aterra — um, menos dois — mais 𝑦 vezes o vetor onde 𝑗-chapéu aterra — três, zero. Realizando essa soma, vê que aterra em um 𝑥 mais três 𝑦, menos dois 𝑥 mais zero 𝑦. Eu dou-lhe qualquer vetor, e pode dizer-me onde o vetor aterra utilizando esta fórmula.

O que tudo isto está a dizer é que uma transformação linear em duas dimensões é completamente descrita por apenas quatro números: as duas coordenadas para onde 𝑖-chapéu aterra e as duas coordenadas para onde 𝑗-chapéu aterra. Não é fantástico?! É comum encaixar estas coordenadas numa grade de números dois por dois, chamada matriz dois por dois, na qual pode interpretar as colunas como os dois vetores especiais onde 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu aterram. Se lhe derem uma matriz dois por dois a descrever uma transformação linear e um vetor específico e desejar saber para onde essa transformação linear leva o vetor, poderá obter as coordenadas do vetor e multiplicá-las pelas colunas correspondentes da matriz, em seguida some o que obtiver. Isto corresponde à ideia de adicionar as versões redimensionadas dos nossos novos vetores da base.

Vejamos como isto é no caso mais geral, onde a sua matriz tem entradas 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. E lembre-se, esta matriz é apenas uma maneira de encaixar as informações necessárias para descrever uma transformação linear. Lembre-se sempre de interpretar a primeira coluna — 𝑎, 𝑐 — como o local onde o primeiro vetor da base aterra e a segunda coluna — 𝑏, 𝑑 — como o local onde o segundo vetor da base aterra. Quando aplicamos essa transformação a algum vetor — 𝑥, 𝑦 — o que obtém? Bem, vai ser 𝑥 vezes 𝑎, 𝑐 mais 𝑦 vezes 𝑏, 𝑑. Juntando isto, obtém um vetor 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 mais 𝑑𝑦. Pode até mesmo definir isto como uma multiplicação de um vetor e uma matriz quando coloca a matriz à esquerda do vetor como se fosse uma função. A seguir, pode fazer com que os alunos do ensino secundário a memorizem, sem lhe mostrar a parte crucial que faz com que pareça intuitivo. Mas, não é mais divertido pensar nestas colunas como as versões transformadas de seus vetores base e pensar nos resultados como uma combinação linear adequada destes vetores?

Vamos praticar a descrição de algumas transformações lineares como matrizes. Por exemplo, se rodarmos todo o espaço 90 graus em sentido anti-horário, então 𝑖-chapéu aterra nas coordenadas zero, um. E 𝑗-chapéu aterra nas coordenadas menos um, zero. Então a matriz fica com colunas zero, um; menos um, zero. Para descobrir o que acontece com qualquer vetor depois de uma rotação de 90 graus, pode simplesmente multiplicar as suas coordenadas por essa matriz.

Aqui está uma transformação divertida com um nome especial, chamada de “cisalhamento”. Nela, 𝑖-chapéu permanece fixo, de modo que a primeira coluna da matriz é um, zero, mas 𝑗-chapéu move-se para as coordenadas um, um, que se tornam a segunda coluna da matriz. E, correndo o risco de ser redundante aqui, descobrir como um cisalhamento transforma um determinado vetor resume-se a multiplicar essa matriz por esse vetor.

Digamos que queremos fazer o inverso, começando com a matriz, digamos, com colunas um, dois e três, um. E queremos deduzir como é a sua transformação. Faça uma pausa e tire um momento para ver se consegue imaginar. Uma maneira de fazer isto é primeiro mover 𝑖-chapéu para um, dois. A seguir, mova 𝑗-chapéu para três, um. Move sempre o resto do espaço de tal forma que mantém as retas da grelha paralelas e uniformemente espaçadas. Se os vetores em que 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu aterram forem linearmente dependentes que, se se recorda do último vídeo, significa que um é uma versão redimensionada do outro, significa que a transformação linear espalma todo o espaço 2D na reta onde esses dois vetores se encontram, também conhecidos como span unidimensional desses dois vetores linearmente dependentes.

Em suma, as transformações lineares são uma maneira de mover-se pelo espaço, de modo que as retas da grelha permaneçam paralelas e uniformemente espaçadas e de tal forma que a origem permaneça fixa. Deliciosamente, estas transformações podem ser descritas utilizando apenas um punhado de números. As coordenadas onde cada vetor da base aterra. As matrizes dão-nos uma linguagem para descrever estas transformações onde as colunas representam essas coordenadas e a multiplicação de uma matriz por um vetor é apenas uma forma de calcular o que esta transformação faz para um determinado vetor.

O importante aqui é que, sempre que vê uma matriz, pode interpretá-la como uma certa transformação do espaço. Depois de realmente digerir esta ideia, está em ótima posição para entender aprofundadamente a álgebra linear. Quase todos os tópicos que se seguem, da multiplicação de matrizes a determinantes, mudança de base, valores próprios, tudo isto se tornará mais fácil de entender quando começar a pensar em matrizes como transformações do espaço. Mais imediatamente, no próximo vídeo, vou falar sobre a multiplicação de duas matrizes. Até lá!

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