Lesson Video: Derivação de Funções Logarítmicas

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Neste vídeo, aprenderemos como determinar a derivada de funções logarítmicas de base natural. Começaremos por recordar as propriedades dos logaritmos que utilizaremos neste vídeo antes de ver como estas propriedades nos podem ajudar a determinar a derivada de funções logarítmicas simples. Depois, consideraremos como podemos aplicar estes processos em conjunto com as regras das derivadas para determinar a derivada de funções logarítmicas mais complicadas. Vamos começar por lembrar uma das principais propriedades dos logaritmos que utilizaremos ao longo deste vídeo. Ou seja, log de base 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑦 é igual a 𝑦 vezes log de base 𝑎 de 𝑥.

Como o logaritmo natural é apenas o logaritmo de base 𝑒, podemos dizer que o logaritmo natural de 𝑥 elevado a 𝑦 é o mesmo que 𝑦 vezes o logaritmo natural de 𝑥. Também nos basearemos fortemente no uso da regra em cadeia, a regra do produto e a regra do quociente. A regra em cadeia diz que se 𝑦 é uma função de 𝑢 e 𝑢 em si é uma função de 𝑥, então d𝑦 sobre d𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝑢 vezes d𝑢 sobre d𝑥. A regra do produto diz que, para duas funções deriváveis ​​𝑢 e 𝑣, a derivada do seu produto 𝑢𝑣 é igual a 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥. E, finalmente, lembramos a regra do quociente. Esta diz que a derivada do quociente de duas funções deriváveis ​​𝑢 e 𝑣 é 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado.

Se 𝑦 é igual ao logaritmo natural de 𝑥? O que é d𝑦 sobre d𝑥?

Existem duas maneiras pelas quais podemos determinar a derivada do logaritmo natural de 𝑥. O primeiro é utilizar a derivada por definição. Como alternativa, podemos lembrar os seguintes factos sobre funções que são inversas uma da outra. Se 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 são inversas uma da outra, então podemos dizer que 𝑔 linha de 𝑥, a derivada da nossa função 𝑔, é igual a um sobre 𝑓 linha de 𝑔 de 𝑥. Isso é realmente útil, pois sabemos que a função exponencial 𝑒 elevado a 𝑥 e a função logarítmica de base natural são inversas uma da outra. Também podemos citar o resultado geral de que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 é simplesmente 𝑒 elevado a 𝑥. Então, seja 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 seja igual ao logaritmo natural de 𝑥, então 𝑔 linha de 𝑥 é igual a um sobre 𝑓 linha 𝑔 de 𝑥.

Vimos que 𝑓 linha de 𝑥 era igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Portanto, isso significa que 𝑓 linha de 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a 𝑔 de 𝑥, que é igual a 𝑒 elevado ao logaritmo natural de 𝑥. Bem, 𝑒 elevado ao logaritmo natural de 𝑥 é simplesmente 𝑥. Portanto, obtemos 𝑔 linha de 𝑥 igual a um sobre 𝑥. Isso significa que a derivada do logaritmo natural de 𝑥 é um sobre 𝑥 onde 𝑥 é maior que zero. Agora, este requisito em 𝑥 é necessário por dois motivos. Primeiro, 𝑥 deve ser maior que zero para o logaritmo natural de 𝑥. Portanto, o mesmo deve ser verdade para a sua derivada. Mas também sabemos que se 𝑥 é igual a zero, a nossa derivada é um sobre zero, que não está definido. Poderíamos realmente redefinir isto e dizer que a derivada dos logaritmos naturais do módulo de 𝑥 é um sobre 𝑥 quando 𝑥 não é igual a zero. Citaremos este resultado geral ao longo deste vídeo.

Determine d𝑦 sobre d𝑥, dado que 𝑦 é igual ao logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete ao cubo.

Nesta questão, temos a função de uma função, ou seja, uma função composta. Podemos utilizar a regra em cadeia para determinar a derivada de uma função composta, embora, como estamos a trabalhar com o logaritmo natural, seja sensato considerar primeiro se há algo que possamos fazer para manipular a nossa expressão antes de derivar. Recordamos o resultado geral do logaritmo natural de uma potência. O logaritmo natural de 𝑥 elevado a 𝑦 é 𝑦 vezes o logaritmo natural de 𝑥. E vemos que agora podemos reescrever a nossa equação como 𝑦 igual a três vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete. Isto é ótimo porque sabemos que a derivada de um múltiplo constante de uma expressão em 𝑥 é igual ao múltiplo da derivada dessa expressão. Por outras palavras, a derivada de três vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete é igual a três vezes a derivada do logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete.

Mas como derivamos o logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete? Vamos citar o resultado geral da derivada do logaritmo natural e utilizaremos a regra em cadeia. A regra em cadeia diz que se 𝑦 é uma função em 𝑢 e 𝑢 em si é uma função em 𝑥, então a derivada de 𝑦 em ordem a 𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝑢 vezes d𝑢 sobre d𝑥. E também sabemos que a derivada do logaritmo natural de 𝑥 é simplesmente um sobre 𝑥. Então, seja 𝑢 igual a dois 𝑥 mais sete, de modo que 𝑦 seja igual ao logaritmo natural de 𝑢. Sabemos que d𝑢 sobre d𝑥 é dois e d𝑦 sobre d𝑢 é um sobre 𝑢. A derivada então do logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete é o produto destes. É duas vezes um vezes 𝑢. Mas substituímos 𝑢 por dois 𝑥 mais sete.

E vemos que a derivada do logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete é dois sobre dois 𝑥 mais sete. Recordamos que dissemos que a derivada de três vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete é três vezes a derivada do logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete. Portanto, a derivada é três vezes dois sobre dois 𝑥 mais sete, que é simplesmente seis sobre dois 𝑥 mais sete.

Agora, na verdade, há um resultado adicional que podemos extrair deste exemplo. Ou seja, se 𝑦 é igual ao logaritmo natural de alguma função em 𝑥, então d𝑦 sobre d𝑥 é igual a 𝑓 linha de 𝑥, a derivada desta função, sobre a própria função, 𝑓 de 𝑥. Se voltarmos ao nosso exemplo, estávamos a tentar determinar a derivada do logaritmo natural de dois 𝑥 mais sete. Obtivemos isso como sendo dois sobre dois 𝑥 mais sete. Esta é a derivada de dois 𝑥 mais sete sobre dois 𝑥 mais sete. Vamos considerar outro exemplo.

Se 𝑓 de 𝑥 é igual a três vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 mais quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥, determine 𝑓 linha de um.

Aqui, temos uma função composta. E isso significa que podemos utilizar a regra em cadeia para determinar 𝑓 linha de 𝑥, a derivada da função. Como alternativa, há um resultado geral que podemos citar. Ou seja, se 𝑓 de 𝑥 é o logaritmo natural de uma outra função 𝑔 de 𝑥, então a derivada 𝑓 linha de 𝑥 é igual a 𝑔 linha de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥. Agora, podemos esquecer o três por um momento. Sabemos que a derivada de três vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 mais quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 será igual a três vezes a derivada dessa função do logaritmo natural. Então, seja 𝑔 de 𝑥 igual a dois 𝑥 mais quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥. Então sabemos que a derivada 𝑔 ​​linha de 𝑥 é igual a dois mais quatro vezes um sobre 𝑥. E isso porque a derivada do logaritmo natural de 𝑥 é simplesmente um sobre 𝑥.

Podemos simplificar isto e vemos que 𝑔 linha de 𝑥, a derivada de dois 𝑥 mais quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 é dois mais quatro sobre 𝑥. 𝑓 linha de 𝑥, a derivada da nossa função, é, portanto, três vezes 𝑔 linha de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥. Isso é três vezes dois mais quatro sobre 𝑥 sobre dois vezes mais quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥. Agora, geralmente procuramos simplificar um pouco esta expressão. Mas aqui estão a solicitar-nos determinar o valor de 𝑓 linha de um. Portanto, substituímos 𝑥 igual a um na nossa expressão da derivada. E obtemos três vezes dois mais quatro sobre um sobre dois vezes um mais quatro vezes o logaritmo natural de um. Bem, sabemos que o log natural de um é zero. Portanto, quatro vezes o logaritmo natural de um também é zero. E vemos que 𝑓 linha de um se torna três vezes seis sobre dois, que é nove. 𝑓 linha de um é igual a nove.

Nos próximos exemplos, consideraremos como podemos utilizar outras regras de derivação para calcular a derivada de funções logarítmicas de base natural.

Determine d𝑦 sobre d𝑥, dado que 𝑦 é igual a quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 mais três sobre quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 menos sete.

Nesta questão, temos uma fração ou um quociente. Isto diz-nos que podemos utilizar a regra do quociente para determinar a derivada d𝑦 sobre d𝑥. Esta diz que a derivada do quociente de duas funções diferenciáveis ​​𝑢 e 𝑣 é 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Seja 𝑢 igual a quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 mais três. E 𝑣 é igual ao denominador da nossa fração. Isso é quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 menos sete. Em seguida, citamos o resultado geral para a derivada do logaritmo natural de 𝑥; que é um sobre 𝑥. E como a derivada de uma constante é zero, vemos que d𝑢 sobre d𝑥 é igual a quatro lotes de um sobre 𝑥, que é simplesmente quatro sobre 𝑥. E da mesma forma d𝑣 sobre d𝑥 também é quatro sobre 𝑥. d𝑦 sobre d𝑥 é igual a 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado.

Vamos multiplicar o numerador e o denominador desta fração por 𝑥 para simplificar. Quando o fazemos, vemos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a quatro vezes quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 menos sete menos quatro vezes quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 mais três tudo sobre 𝑥 vezes quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 menos sete ao quadrado. Distribuímos os parênteses no nosso numerador. E vemos que temos 16 vezes o logaritmo natural de 𝑥 menos 16 vezes o logaritmo natural de 𝑥 o que nos dá zero. E determinamos a derivada do nosso quociente. É menos 40 sobre 𝑥 vezes quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 menos sete ao quadrado.

Determine a primeira derivada da função 𝑦 igual a menos sete 𝑥 elevado a quatro vezes o logaritmo natural de seis 𝑥 elevado a quatro.

Aqui, temos o produto de duas funções deriváveis. O primeiro é menos sete 𝑥 elevado a quatro e o segundo é o logaritmo natural de seis 𝑥 elevado a quatro. Podemos, portanto, determinar a primeira derivada da nossa função utilizando a regra do produto. Isto diz que a derivada do produto de duas funções deriváveis, 𝑢 e 𝑣, é 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Se 𝑢 for igual a menos sete 𝑥 elevado a quatro, d𝑢 sobre d𝑥 será igual a quatro vezes menos sete 𝑥 ao cubo. Isso é menos 28𝑥 ao cubo. Seja então 𝑣 igual ao logaritmo natural de seis 𝑥 elevado a quatro.

Então, como obtemos d𝑣 sobre d𝑥? Bem, podemos fazer uma de duas coisas. Poderíamos descobrir que temos uma função composta e utilizar a regra em cadeia para determinar a sua derivada. Como alternativa, podemos citar o resultado geral para a derivada do logaritmo de alguma função 𝑓 de 𝑥. Isto diz que se 𝑦 é igual ao logaritmo natural desta função 𝑓 de 𝑥, então d𝑦 sobre d𝑥 é igual a 𝑓 linha de 𝑥, a derivada dessa função, dividida pela função original 𝑓 de 𝑥. Neste caso, 𝑓 de 𝑥 é igual a seis 𝑥 elevado a quatro. Então 𝑓 linha de 𝑥, a derivada disto, é quatro vezes seis 𝑥 ao cubo, o que é 24𝑥 ao cubo. d𝑣 sobre d𝑥 é, portanto, 24𝑥 ao cubo, dividido pela função original, seis 𝑥 elevado a quatro.

Bem, isso simplifica bastante bem para quatro sobre 𝑥. E agora podemos substituir tudo o que temos na fórmula pela regra do produto. d𝑦 sobre d𝑥 é 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥. Isso é menos sete 𝑥 elevado a quatro vezes quatro sobre 𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Este é o logaritmo natural de seis 𝑥 elevado a quatro vezes menos 28𝑥 ao cubo. Simplificamos e depois fatorizamos menos 28𝑥 ao cubo. E obtivemos d𝑦 sobre d𝑥 como menos 28𝑥 ao cubo vezes o logaritmo natural seis 𝑥 elevado a quatro mais um.

No nosso próximo exemplo, veremos como podemos derivar funções que são uma combinação de funções trigonométricas e logarítmicas.

Derive 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco vezes o sen de cinco vezes o logaritmo natural de 𝑥.

Esta é uma função composta. É uma função de uma função. E podemos, portanto, utilizar a regra em cadeia para determinar a sua derivada. Isto diz que se 𝑦 é uma função em 𝑢 e 𝑢 é uma função em 𝑥, então d𝑦 sobre d𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝑢 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Seja 𝑢 igual a cinco vezes o logaritmo natural de 𝑥. E a derivada do logaritmo natural de 𝑥 é um sobre 𝑥. Então d𝑢 sobre d𝑥 é cinco vezes maior; é cinco vezes um sobre 𝑥, que é simplesmente cinco sobre 𝑥. Em vez de utilizar 𝑓 de 𝑥, vamos utilizar 𝑦. E isso significa que 𝑦 é igual a cinco sen de 𝑢. E a derivada de sen de 𝑢 é cos de 𝑢. Então d𝑦 sobre d𝑢 é cinco cos 𝑢. E de acordo com a regra em cadeia d𝑦 sobre d𝑥 é o produto destes.

Voltando à notação original, podemos dizer que 𝑓 linha de 𝑥, a derivada, é cinco vezes 𝑥 cinco vezes cos de 𝑢. Substituiremos 𝑢 por cinco vezes o log natural de 𝑥. E vemos que, em termos de 𝑥, 𝑓 linha de 𝑥 é cinco sobre 𝑥 mais que cinco vezes cos de cinco vezes o logaritmo natural de 𝑥. E então simplificamos e vemos que 𝑓 linha de 𝑥 é 25 sobre 𝑥 vezes cosseno de cinco vezes o logaritmo natural de 𝑥.

No nosso exemplo final, consideraremos a derivada de ordem superior de uma função logarítmica.

Dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a nove vezes o logaritmo natural de 𝑥, determine a quarta derivada de 𝑓 de 𝑥.

Esta questão está a pedir-nos para derivar a nossa função em ordem a 𝑥 quatro vezes. Então, vamos fazer isso e ver se conseguimos identificar algum padrão. Começaremos por determinar a primeira derivada, 𝑓 linha de 𝑥. Sabemos que a derivada do logaritmo natural de 𝑥 é um sobre 𝑥, então 𝑓 linha de 𝑥 é nove vezes um sobre 𝑥, que é simplesmente nove sobre 𝑥. Podemos escrever isto alternativamente como nove 𝑥 elevado a menos, o que nos permitirá determinar a próxima derivada. Esta é 𝑓 duas linhas de 𝑥 ou 𝑓 linha linha de 𝑥. E relembramos a regra das potências para as derivadas. Multiplicamos a expressão pelo expoente e subtraímos um do expoente. E isso significa 𝑓 duas linhas de 𝑥 e a derivada de nove 𝑥 elevado a menos um é menos um vezes nove 𝑥 elevado a menos dois. É menos nove 𝑥 elevado a menos dois.

Podemos continuar com isso para encontrar a terceira derivada, algumas vezes escrita como 𝑓 linha linha linha de 𝑥 ou 𝑓 com três entre parênteses aqui, como apresentado. Isso é menos dois vezes menos nove 𝑥 elevado a menos três, que é 18𝑥 elevado a menos três. Repetimos este processo mais uma vez para determinar a quarta derivada. Esta é menos três vezes 18𝑥 elevado a menos quatro. E a quarta derivada de nove vezes o logaritmo natural de 𝑥 é menos 54𝑥 elevado a menos quatro.

E este exemplo demonstra um resultado geral. E esta é a derivada de segunda ordem da função natural do logaritmo que pode ser escrita como menos um elevado a 𝑛 menos um vezes 𝑛 menos um fatorial tudo sobre elevado a 𝑛. É uma boa fórmula para fixar, embora também seja útil poder aplicar os processos com confiança, derivando a função do logaritmo de base natural.

Neste vídeo, aprendemos que a derivada do logaritmo natural de 𝑥 é igual a um sobre 𝑥 quando 𝑥 é maior que zero. Vimos que, se tivermos o logaritmo natural de uma função de 𝑥, podemos utilizar a regra em cadeia para determinar a derivada ou, alternativamente, podemos citar o resultado de que d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥. Também vimos que estas regras podem ser utilizadas em conjunto com as regras habituais de derivação, incluindo a regra do produto, a regra do quociente e as regras para determinar derivadas de ordem superior.