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Neste vídeo, aprenderemos como resolver problemas do mundo real que envolvem ângulos de elevação e depressão. Antes de começarmos, já devemos estar familiarizados com o uso da trigonometria em triângulos retângulos para encontrar ângulos e lados desconhecidos e com a aplicação das leis dos senos e cossenos em triângulos não retângulos.
Vamos começar discutindo o que esses termos ângulo de elevação e ângulo de depressão significam. Suponha que você esteja na beira de um precipício. Um ângulo de elevação é o ângulo formado entre a linha horizontal e a linha dos olhos quando você olha para algo. Por exemplo, se você está olhando para o sol, há um ângulo de elevação formado entre o horizonte e sua linha de visão aqui. Um ângulo de depressão, por outro lado, é o ângulo formado entre a linha horizontal e a linha dos olhos quando você olha para algo. Então, por exemplo, se você está olhando para baixo em direção a um barco no mar, há um ângulo de depressão aqui. O principal a ser lembrado é que em cada caso o ângulo é formado entre a horizontal e a linha de visão.
Agora, problemas envolvendo ângulos de elevação e depressão podem frequentemente ser respondidos usando triângulos retângulos. Se esboçarmos em uma linha vertical, teremos triângulos retângulos formados pela vertical, pela horizontal e pela linha de visão. São esses triângulos aqui. E o ângulo de elevação ou o ângulo de depressão é um dos ângulos deste triângulo. Portanto, as habilidades de aplicação da trigonometria em triângulos retângulos são realmente úteis aqui. Em problemas mais complexos, podemos precisar aplicar a lei dos senos ou a lei dos cossenos a triângulos não retângulos, como veremos em nossos exemplos.
Cada um dos problemas que consideramos neste vídeo serão problemas práticos. E, em alguns casos, precisaremos desenhar nós mesmos um diagrama a partir de uma descrição redigida. Essa é uma habilidade realmente importante. E, como sempre, precisamos ter certeza de ler todas as informações da pergunta com cuidado. Nosso primeiro problema, porém, já tem um diagrama desenhado para nós.
A distância entre dois prédios é de 40 metros. O topo do edifício 𝐶𝐷 tem um ângulo de elevação de 30 graus, medido a partir do topo do edifício 𝐴𝐵. Se a altura do edifício 𝐴𝐵 for igual a 30 metros e as bases dos dois edifícios estiverem no mesmo plano horizontal, a altura de 𝐶𝐷 elevado ao metro mais próximo é igual a quantos metros.
Então, recebemos o diagrama para acompanhar esse problema. E todas as informações da pergunta foram rotuladas nele. Temos um ângulo de elevação de 30 graus formado entre a horizontal e a linha de visão quando olhamos do prédio 𝐴𝐵 para o prédio 𝐶𝐷. Também sabemos a altura do prédio 𝐴𝐵, é de 30 metros, e a distância horizontal entre os dois prédios, de 40 metros. Somos informados de que os dois prédios estão no mesmo plano horizontal, o que significa simplesmente que podemos assumir que o solo entre eles é plano.
O que estamos procurando calcular é a altura do prédio 𝐶𝐷. A partir do diagrama, podemos ver que isso será composto de dois comprimentos, uma parte que tem a mesma altura do prédio 𝐴𝐵, ou seja, 30 metros, e uma parte que é esse comprimento atualmente desconhecido aqui, que podemos pensar como 𝑥 metros. Também podemos ver que esse comprimento 𝑥 é um lado em um triângulo retângulo. E neste triângulo, conhecemos um outro lado de 40 metros e um ângulo de 30 graus. Podemos, portanto, aplicar trigonometria de ângulo reto para calcular 𝑥.
Rotulando os lados desse triângulo em relação ao ângulo de 30 graus, podemos ver que conhecemos o cateto adjacente e queremos calcular o cateto oposto. Então é a razão da tg que vamos usar. Lembrando que a tg é cateto oposto sobre o cateto adjacente, temos que a tg de 30 graus é igual a 𝑥 sobre 40. Multiplicando ambos os lados desta equação por 40, temos que 𝑥 é igual a 40 multiplicado por tg de 30 graus. E calculando isso em uma calculadora, garantindo que nossa calculadora esteja no modo de graus, descobrimos que 𝑥 é igual a 23,0940 continuando.
Ainda não terminamos porque precisamos da altura total do prédio 𝐶𝐷. Então, precisamos adicionar o comprimento adicional de 30 metros. Fazer isso dá 53,0940. Somos solicitados a dar nossa resposta ao metro mais próximo. Então, como o algarismo na primeira casa decimal é zero, arredondamos para 53. Então, aplicando trigonometria no triângulo retângulo formado pela horizontal, pela vertical e pela linha de visão, descobrimos que a altura do prédio 𝐶𝐷 para o metro mais próximo é de 53 metros.
Em nosso próximo exemplo, precisaremos desenhar nós mesmos um diagrama a partir de uma descrição redigida de um problema envolvendo ângulos de elevação e depressão.
Um prédio tem oito metros de altura. O ângulo de elevação do topo do edifício ao topo da árvore é de 44 graus e o ângulo de depressão do topo do edifício à base da árvore é de 58 graus. Encontre a distância entre a base do edifício e a base da árvore dando a resposta para duas casas decimais.
Então, vamos começar esboçando esse problema. Primeiro, temos um prédio de oito metros de altura. Somos informados sobre um ângulo de elevação do topo deste edifício ao topo de uma árvore. Lembre-se, um ângulo de elevação é medido da horizontal em direção a algo. Então essa árvore é mais alta que o prédio. Então, adicionamos a árvore e o ângulo de elevação de 44 graus. Em seguida, somos informados de que o ângulo de depressão do topo do prédio até a base da árvore é de 58 graus. Precisamos ter cuidado ao rotular esse ângulo. Lembre-se de que um ângulo de depressão é medido da horizontal para baixo em direção a algo, então o ângulo de 58 graus é esse ângulo aqui.
O que estamos procurando calcular é a distância entre a base do prédio e a base da árvore, que é esse comprimento aqui. Agora, olhando atentamente para o nosso diagrama, podemos ver que temos um triângulo retângulo. E o comprimento que estamos procurando calcular, que chamaremos de 𝑦 metros, é um dos lados. Também conhecemos outro dos lados. É a altura do prédio, oito metros. Também podemos calcular um dos ângulos dentro do nosso triângulo. Se subtrairmos o ângulo de depressão de 58 graus de um ângulo reto de 90 graus, podemos encontrar o ângulo superior em nosso triângulo. Que é 32 graus. Portanto, agora temos um triângulo retângulo no qual conhecemos um comprimento e um outro ângulo, e queremos calcular um segundo comprimento.
Rotulando os lados do triângulo em relação ao ângulo de 32 graus, sabemos o cateto adjacente e queremos calcular o cateto oposto. Então, vamos usar a razão da tg. Lembre-se, a razão da tg é o cateto oposto sobre o cateto adjacente, então temos tg de 32 graus é igual a 𝑦 sobre oito. Multiplicando ambos os lados desta equação por oito, temos que 𝑦 é igual a oito tg de 32 graus. Calculando isso em uma calculadora, que deve estar no modo de graus, temos 4,9989.
Somos solicitados a dar nossa resposta para duas casas decimais. Então, começando com o oito na terceira casa decimal e arredondando para cima, temos 5,00 metros. Então, nós completamos o problema. A distância entre a base do edifício e a base da árvore com duas casas decimais é de 5,00 metros.
Agora, de fato, neste problema, não precisamos usar a primeira informação que recebemos, o ângulo de elevação. A trigonometria envolvida era bastante direta. O que esse problema estava realmente testando era nossa compreensão dos ângulos de elevação e depressão e se podemos desenhar com precisão um diagrama com base em uma descrição formulada.
Em nosso próximo exemplo, aplicaremos nosso conhecimento dos ângulos de elevação e depressão a um problema mais complexo.
Um barco estava navegando em linha reta em direção a uma pedra com uma velocidade uniforme de 96 metros por minuto. Em um ponto, o ângulo de elevação do topo da pedra era de 39 graus. E três minutos depois, tornou-se 44 graus. Encontre a altura da pedra dando a resposta ao metro mais próximo.
Então, em primeiro lugar, precisamos pensar cuidadosamente sobre como podemos desenhar um diagrama para representar esse problema. Temos uma pedra e um barco, que simplificaremos como um ponto rosa. Inicialmente, somos informados de que o ângulo de elevação até o topo da pedra é de 39 graus. Lembre-se, um ângulo de elevação é medido da horizontal até a linha de visão quando olhamos para algo. Então é esse ângulo aqui. O barco então continua sua jornada em linha reta em direção à pedra. E três minutos depois, o novo ângulo de elevação é de 44 graus. Então, da nova posição do barco, esse é o ângulo aqui.
Podemos ver que temos um triângulo formado pelas duas linhas de visão das duas posições ao topo da pedra e a distância percorrida pelo barco. Podemos calcular essa distância porque sabemos que o barco navega com uma velocidade uniforme de 96 metros por minuto e a jornada leva três minutos. Se o barco percorrer 96 metros em cada minuto, ele percorrerá 96 vezes três, ou seja, 288 metros, em três minutos.
Agora, estamos procurando a altura da pedra. É esse comprimento aqui. E não é um lado do nosso triângulo. No entanto, é um comprimento lateral no triângulo retângulo formado pela horizontal, pela vertical e pela segunda linha de visão. E conhecemos um ângulo de 44 graus neste triângulo. Este lado formado pela linha de visão é compartilhado com o primeiro triângulo. Portanto, nossa abordagem será usar o primeiro triângulo para tentar calcular esse lado compartilhado e, em seguida, usar esse lado compartilhado e o ângulo de 44 graus no triângulo retângulo para calcular a altura da pedra.
Vamos examinar esse triângulo não retângulo mais de perto. Temos um ângulo de 39 graus e podemos calcular cada um dos outros dois ângulos. Por exemplo, o ângulo obtuso está em linha reta com o ângulo de elevação de 44 graus. Então, podemos calculá-lo subtraindo 44 de 180, o que dá 136 graus. Para calcular o ângulo final, podemos usar a soma dos ângulos em um triângulo. 180 menos os outros dois ângulos de 136 e 39 dá cinco. Portanto, temos todos os três ângulos neste triângulo.
Se quisermos calcular o comprimento de um lado em um triângulo não retângulo no qual conhecemos todos os três ângulos e o comprimento de um outro lado, podemos aplicar a lei dos senos, que nos diz que a razão entre um lado e o seno de seu ângulo oposto é constante em todo o triângulo. 𝑎 sobre sen 𝐴 é igual a 𝑏 sobre sen 𝐵, que é igual a 𝑐 sobre sen 𝐶, onde as letras minúsculas representam os lados e as letras maiúsculas representam ângulos.
O nosso lado, o lado destacado em rosa, que podemos chamar de 𝑥 metros, é oposto ao ângulo de 39 graus. E então também conhecemos um lado de 288 metros, que é oposto ao ângulo de cinco graus. Então, aplicando a lei dos senos, temos 𝑥 sobre o seno de 39 graus é igual a 288 sobre o seno de cinco graus. Para resolver essa equação para 𝑥, podemos multiplicar ambos os lados por sen de 39 graus, dando 𝑥 igual a 288 sen de 39 graus sobre sen de cinco graus. Usando uma calculadora, isso resulta em 2079,544. Mas vamos manter o valor o mais preciso possível por enquanto.
Agora que sabemos o comprimento do lado compartilhado, podemos considerar o triângulo retângulo que contém a altura que estamos procurando calcular, que agora podemos chamar de 𝑦 metros. Rotulando os lados desse triângulo em relação ao ângulo de 44 graus, queremos calcular o cateto oposto. E nós conhecemos a hipotenusa. Então, lembrando SOH CAH TOA, é a razão seno que queremos usar. Lembre-se, o seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. Então, substituindo, temos sen de 44 graus é igual ao cateto oposto 𝑦 sobre a hipotenusa 𝑥, que calculamos em 2079,544.
Podemos então multiplicar por esse valor de 2079,544 para dar 𝑦 igual a 2079,544 multiplicado pelo seno de 44 graus. Agora, é claro, faz sentido manter esse valor de 2079,544 e assim por diante no visor da calculadora e, em seguida, digitar “multiplicado por sen de 44 graus” para dar uma resposta o mais precisa possível. Calculando isso dá a dízima 1444,57. Fomos solicitados a dar nossa resposta ao metro mais próximo, então o cinco na primeira casa decimal significa que vamos arredondar para cima, dando uma altura de 1445 metros para o metro mais próximo.
Neste problema, então, usamos a lei dos senos em um triângulo não retângulo e a trigonometria de ângulo reto em um triângulo retângulo para calcular esse comprimento ausente. Uma habilidade chave no início da pergunta foi desenhar um diagrama para representar o problema.
Vamos agora considerar um exemplo final, desta vez envolvendo ângulos de depressão.
O ângulo de depressão de um carro estacionado no chão desde o topo de uma colina é de 48 graus. Um ponto de vista está 14 metros verticalmente abaixo do topo da colina e o ângulo de depressão em relação ao carro é de 25 graus. Encontre a altura da colina dando a resposta para o metro mais próximo.
Então, recebemos muitas informações, mas nenhum diagrama. Precisamos começar desenhando um esboço. Nós temos uma colina, e então nós temos um carro estacionado no chão a alguma distância. Disseram-nos que o ângulo de depressão do topo da colina até o carro é de 48 graus. Agora, é aqui que precisamos ser particularmente cuidadosos. Nós desenhamos na linha de visão entre o topo da colina e o carro e a horizontal. E então, lembramos que o ângulo de depressão é medido da horizontal até a linha de visão. Então é esse ângulo aqui, que é de 48 graus.
Também temos um mirante no morro, que fica 14 metros verticalmente abaixo do topo do morro. E então o ângulo de depressão deste ponto até o carro é de 25 graus. Novamente, precisamos ter cuidado. Este ângulo é medido da horizontal até a linha de visão. Então é esse ângulo aqui. Então, colocamos todas as informações da questão em nosso diagrama. O que nos é pedido para calcular é a altura da colina. É esse comprimento aqui, que podemos ver, é composto por dois comprimentos, o comprimento de 14 metros entre o topo da colina e o ponto de vista e depois um segundo comprimento, que precisaremos calcular.
Agora, o segundo comprimento é parte de um triângulo retângulo formado pela horizontal, pela vertical e pela linha de visão do segundo ângulo de depressão. Podemos calcular um dos ângulos deste triângulo. Entre a horizontal e a vertical, temos um ângulo reto. Então este ângulo aqui é 19 menos 25 graus, que é 65 graus. Queremos calcular o lado 𝑥, mas para fazer isso, precisamos saber um comprimento em nosso triângulo retângulo. Vamos considerar o triângulo verde, um triângulo não retângulo, mas que tem um lado compartilhado com o triângulo em que estamos interessados.
Sabemos que este triângulo tem um lado de 14 metros de comprimento. E podemos calcular alguns dos outros ângulos. No topo do triângulo, o ângulo entre a horizontal e a vertical é de 90 graus, portanto, o ângulo interno do triângulo é 90 menos 48, que é 42 graus. Também interno ao triângulo, temos um ângulo obtuso formado por um ângulo reto e o ângulo de depressão de 25 graus, então esse ângulo total é de 115 graus. O ângulo final neste triângulo pode ser calculado usando a soma dos ângulos em um triângulo. 180 menos 42 graus menos 115 graus são 23 graus.
Se conhecermos o comprimento de um lado e pelo menos dois ângulos em um triângulo não retângulo, podemos aplicar a lei dos senos para calcular o comprimento do outro lado. Isso nos diz que a razão entre o comprimento de um lado e o lado de seu ângulo oposto é constante. O comprimento do lado que queremos calcular, que podemos chamar de 𝑦 metros, é oposto ao ângulo de 42 graus. E então conhecemos um comprimento lateral de 14 metros, que é oposto ao ângulo de 23 graus. Então, aplicando a lei dos senos, podemos dizer que 𝑦 sobre o sen de 42 graus é igual a 14 sobre o sen de 23 graus. Podemos então multiplicar ambos os lados desta equação pelo seno de 42 graus e calcular para dar 23,975. Então encontramos o lado compartilhado.
Voltando ao nosso triângulo retângulo, agora conhecemos um outro ângulo de 65 graus e a hipotenusa de 23,975. Então, podemos usar a razão cosseno para calcular 𝑥. Cosseno, lembre-se, é o cateto adjacente sobre a hipotenusa, então temos cos de 65 graus igual a 𝑥 sobre 23,975. Podemos então multiplicar ambos os lados por 23,975 e calcular em nossas calculadoras para dar 𝑥 igual a 10,132. Finalmente, devemos lembrar que estamos procurando calcular a altura total da colina. Então essa é a soma desse valor e a distância de 14 metros. Adicionando 14 e depois arredondando para o metro mais próximo, descobrimos que a altura da colina é de 24 metros.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Um ângulo de elevação é o ângulo formado entre a horizontal e a linha de visão quando olhamos para algo, enquanto um ângulo de depressão é o ângulo formado entre a horizontal e a linha de visão quando olhamos para baixo. Problemas envolvendo ângulos de elevação e depressão podem ser respondidos usando habilidades relacionadas a triângulos, trigonometria de ângulo reto para triângulos retângulos ou trigonometria de ângulo não reto, como a lei dos senos e a lei dos cossenos. Podemos precisar usar mais de uma dessas habilidades no mesmo problema. Se não tivermos um diagrama como parte da pergunta, precisamos desenhar o nosso próprio. E, como sempre, devemos nos certificar de ler as informações da pergunta com muito cuidado para garantir que nosso diagrama reflita com precisão o problema.
