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Simplifique a função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro e encontre seu domínio.
𝑓 de 𝑥 é uma função racional e, portanto, a expressão do lado direito é uma fração algébrica. Para simplificar essa fração, precisamos procurar fatores comuns do numerador e do denominador que podemos cancelar. Portanto, nossa primeira tarefa é fatorar o numerador e o denominador. Começando com o numerador, podemos ver que os dois termos, 𝑥 ao quadrado e dois 𝑥, têm um fator comum de 𝑥. 𝑥 ao quadrado é 𝑥 vezes 𝑥 e dois 𝑥 é 𝑥 vezes dois. E juntos, eles são 𝑥 vezes 𝑥 mais dois, onde aqui aplicamos a propriedade distributiva.
Agora passamos para o denominador que é 𝑥 ao quadrado menos quatro e notamos que isso é uma diferença de dois quadrados. É 𝑥 menos dois vezes 𝑥 mais dois. Agora que o numerador e o denominador estão totalmente fatorados, podemos ver que eles têm um fator comum de 𝑥 mais dois. Podemos cancelar isso. E vemos que a forma simplificada de 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 sobre 𝑥 menos dois e que não podemos simplificar mais.
Então simplificamos a função, mas agora precisamos encontrar seu domínio. O domínio de uma função racional é o conjunto de valores para os quais seu denominador é diferente de zero. Em outras palavras, é o conjunto de números reais menos o conjunto de valores para os quais o denominador de uma função racional é zero. Se você observar a função simplificada, pode ficar tentado a pensar que o único valor de 𝑥 para o qual o denominador é zero é 𝑥 igual a dois. No entanto, o denominador da função original, como foi definido, é 𝑥 ao quadrado menos quatro e não 𝑥 menos dois. E se você olhar para a forma fatorada desse denominador, é fácil ver que existem dois valores de 𝑥 para os quais este denominador é zero, dois e menos dois. O domínio é, portanto, o conjunto de números reais menos o conjunto contendo dois e menos dois.
Portanto, esta é a nossa resposta: Para cada valor de 𝑥 no domínio de uma função, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 sobre 𝑥 menos dois. No entanto, o domínio da função é os números reais menos o menos dois e dois. Se a função tivesse sido originalmente definida como apenas 𝑥 sobre 𝑥 menos dois, o domínio teria sido maior. Teriam sido os números reais menos apenas o conjunto de dois. Se a função tivesse sido originalmente definida como apenas 𝑥 sobre 𝑥 menos dois, certamente o domínio seria apenas os números reais menos o conjunto de dois. Se não tivéssemos excluído o menos dois do domínio, não poderíamos cancelar 𝑥 mais dois no numerador e no denominador porque, na verdade, estaríamos dividindo por zero no numerador e no denominador.
Assim, embora seja possível simplificar uma função racional com frequência, o processo de simplificação não altera o domínio da função. E assim, quando se fala sobre o domínio da função, você deve olhar para a declaração original, a definição original da função e não a versão simplificada que você obtém após a simplificação.
