Lesson Video: Equação de uma superfície esférica

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Equação de uma superfície esférica

Nesta aula, aprenderemos a forma padrão da equação de uma superfície esférica. E vamos aprender como determinar a forma padrão da equação de uma superfície esférica, dado o centro da nossa superfície esférica e o raio da nossa superfície esférica. E também veremos como determinar o centro e o raio da nossa superfície esférica, dada a equação da superfície esférica na forma padrão.

Então, para determinar a equação de uma superfície esférica, primeiro precisamos de recordar exatamente o que queremos dizer com superfície esférica. Lembramos que uma superfície esférica centrada no ponto 𝑃 com um raio de 𝑟 consistirá em todos os pontos a uma distância de 𝑟 unidades do ponto 𝑃. E há muitas coisas que estamos a apontar sobre esta definição. Primeiro, as superfícies esféricas estão em três dimensões. Então, em particular, todos os pontos na nossa superfície esférica serão dados em coordenadas tridimensionais e o ponto 𝑃 também será dado em coordenadas tridimensionais. E é importante lembrarmo-nos disso porque, se utilizarmos duas dimensões, esta será apenas a definição de uma circunferência.

A seguir, como o raio 𝑟 representa um comprimento ou uma distância, dizemos que 𝑟 deve ser positivo. Se o nosso raio 𝑟 fosse igual a zero, então a nossa esfera será apenas todos os pontos a uma distância de zero de 𝑃. Será apenas o próprio ponto 𝑃. E se 𝑟 fosse negativo, a nossa definição não faria sentido. Acabámos de dizer que 𝑟 tem que ser positivo. Então, agora que temos a definição da nossa superfície esférica, queremos determinar a equação da nossa superfície esférica. E há algumas etapas para fazer isto. Lembre-se, para que a equação da nossa superfície esférica esteja correta, todos os pontos da nossa superfície esférica devem satisfazer a nossa equação e todos os pontos que satisfazem a nossa equação devem estar na superfície esférica.

E queremos determinar a equação de uma superfície esférica geral. Então, vamos definir o centro da nossa superfície esférica para ser o ponto 𝑎, 𝑏, 𝑐 e vamos deixar 𝑄, o ponto 𝑥, 𝑦, 𝑧, ficar na nossa superfície esférica de raio 𝑟 centrado no ponto 𝑃. E esta é a superfície esférica geral da qual vamos tentar determinar a equação. Uma maneira de determinar a equação desta superfície esférica será copiar o método que utilizámos para determinar a equação de uma circunferência. Desenhámos uma imagem da nossa circunferência e utilizámos o que sabíamos sobre o teorema de Pitágoras para determinar uma equação para a nossa circunferência. Na verdade, este método funcionará exatamente da mesma maneira. Será um pouco mais complicado porque estaremos a trabalhar em três dimensões. No entanto, isto dar-nos-ia a equação correta para uma superfície esférica. No entanto, na verdade temos ferramentas mais poderosas para lidar com isto, dando-nos um método mais fácil de determinar a equação da superfície esférica.

Lembre-se, cada ponto da nossa superfície esférica deve estar a uma distância de 𝑟 do nosso ponto 𝑃. No nosso caso, o ponto 𝑄 deve estar a uma distância 𝑟 do centro da nossa superfície esférica 𝑃. E conhecemos uma fórmula para calcular a distância entre dois pontos em três dimensões. Lembramos, para calcular a distância entre o ponto 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um e o ponto 𝑥 dois, 𝑦 dois, 𝑧 dois, calculamos apenas a raiz quadrada de 𝑥 dois menos 𝑥 um ao quadrado mais 𝑦 dois menos 𝑦 um tudo ao quadrado mais 𝑧 dois menos 𝑧 um ao quadrado. Então, vamos utilizar esta fórmula para calcular a distância entre o ponto 𝑃 e o ponto 𝑄. Lembre-se, já sabemos que esta distância será igual a 𝑟. Isto dá-nos a distância entre o ponto 𝑃 e o ponto 𝑄 é a raiz quadrada de 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos 𝑐 tudo ao quadrado. E sabemos que este será igual ao raio da nossa superfície esférica 𝑟.

Então, vamos pensar exatamente no que acabámos de mostrar. Mostramos que qualquer ponto 𝑄 que esteja na esfera de raio 𝑟 centrado no nosso ponto 𝑃 deve satisfazer esta equação. E, de facto, podemos mostrar que o oposto também é verdadeiro. Podemos pensar no que acontecerá se o ponto 𝑥 zero, 𝑦 zero, 𝑧 zero satisfizesse esta equação. Isto significa que substituímos 𝑥 igual a 𝑥 zero, 𝑦 igual a 𝑦 zero e 𝑧 igual a 𝑧 zero nesta equação. E o primeiro membro desta equação acabará por ser igual a 𝑟. No entanto, também podemos ver no primeiro membro desta equação, estamos apenas a calcular a distância entre o ponto 𝑥 zero, 𝑦 zero, 𝑧 zero e o centro da nossa esfera 𝑃. Portanto, se o ponto satisfaz esta equação, deve estar a uma distância 𝑟 do centro da nossa esfera 𝑃, o que significa que está na nossa esfera.

Portanto, conseguimos determinar a equação de uma esfera centrada no ponto 𝑎, 𝑏, 𝑐 com raio 𝑟. Mostrámos que todos os pontos desta superfície esférica devem satisfazer esta equação e todos os pontos que satisfazem esta equação devem estar na nossa esfera. No entanto, há uma coisa que deve ter notado. Esta é uma expressão de aparência muito complicada. Na verdade, podemos simplificar isto fazendo o quadrado dos dois membros. E há uma coisa que vale a pena apontar aqui. Podemos justificar que não obteremos soluções extras neste caso porque sabemos que o nosso valor de 𝑟 é positivo. E tudo dentro do nosso símbolo de raiz quadrada no primeiro membro da equação é maior ou igual a zero porque estamos a considerar o quadrado de cada termo. Isto significa que podemos garantir que a equação de ambos os membros não nos dará soluções extras.

E isto dá-nos a seguinte equação para a nossa esfera. Chamamos esta de forma padrão da equação de uma esfera, assim como poderemos chamar esta equação de forma padrão da equação de uma circunferência se não tivéssemos o terceiro termo no primeiro membro. Então, vamos abrir espaço e pensar exatamente no que acabámos de mostrar. Mostrámos que a forma padrão da equação de uma superfície esférica centrada no ponto 𝑎, 𝑏, 𝑐 com um raio de 𝑟 é dado por 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos 𝑐 tudo ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado. Então, agora, dado o centro da nossa superfície esférica e o raio da nossa superfície esférica, podemos determinar a equação da nossa superfície esférica. E da mesma forma, se tivéssemos a forma padrão da equação da nossa superfície esférica, poderemos determinar o centro da superfície esférica e o raio da nossa superfície esférica. Vamos agora ver alguns exemplos de como podemos aplicar isto.

Indique a equação da superfície esférica do centro 11, oito, menos cinco e raio três na forma padrão.

Nesta questão, pedem-nos para determinar a equação de uma superfície esférica. E não apenas isto, somos solicitados a determinar esta equação na forma padrão. Também nos deram algumas informações sobre a nossa superfície esférica. Disseram-nos que o centro da nossa superfície esférica é 11, oito, menos cinco e o raio da nossa superfície esférica é três. Para responder a esta questão, vamos começar por recordar o que queremos dizer com a forma padrão da equação de uma superfície esférica. Lembramos que uma superfície esférica centrada no ponto 𝑎, 𝑏, 𝑐 com um raio de 𝑟 terá a seguinte equação na forma padrão: 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos 𝑐 tudo ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado.

Na questão, disseram-nos que o centro da nossa superfície esférica é o ponto 11, oito, menos cinco, e disseram-nos que o raio da nossa superfície esférica é três. Portanto, tudo o que precisamos de fazer para responder a esta questão é substituir estes valores na forma padrão da equação de uma superfície esférica. Substituindo 𝑎 igual a 11, 𝑏 igual a oito, 𝑐 igual a menos cinco e 𝑟 igual a três na nossa equação para uma superfície esférica, obtemos 𝑥 menos 11 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos oito tudo ao quadrado mais 𝑧 menos menos cinco, tudo ao quadrado, é igual a três ao quadrado.

E é claro que podemos simplificar isto. 𝑧 menos cinco ao quadrado é igual a 𝑧 mais cinco tudo ao quadrado e três ao quadrado é igual a nove. E isto dá-nos a nossa resposta final. A forma padrão para a equação de uma superfície esférica centrada no ponto 11, oito, menos cinco com um raio de três é dada por 𝑥 menos 11 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos oito tudo ao quadrado mais 𝑧 mais cinco tudo ao quadrado é igual a nove.

Vamos agora ver um exemplo em que temos a equação de uma superfície esférica e precisamos de determinar o centro e o raio da superfície esférica.

Dado que a equação de uma superfície esférica é 𝑥 mais cinco ao quadrado mais 𝑦 menos 12 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos dois ao quadrado menos 289 é igual a zero, determine o seu centro e o seu raio.

Nesta questão, deram-nos uma equação e disseram-nos que esta equação representa uma superfície esférica. Precisamos de determinar o centro desta superfície esférica e o raio desta superfície esférica. Para fazer isto, podemos olhar para a equação que nos é dada e podemos ver que é muito semelhante à forma padrão da equação de uma superfície esférica. Então, vamos começar por relembrar a forma padrão da equação de uma superfície esférica. Lembramos que uma superfície esférica de raio 𝑟 centrada no ponto 𝑎, 𝑏, 𝑐 terá a seguinte equação na forma padrão. 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos 𝑐 tudo ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado. Portanto, se pudermos reescrever a equação que temos na questão na forma padrão, poderemos determinar o centro da nossa superfície esférica e também o raio da nossa superfície esférica.

Então, vamos começar com a equação da superfície esférica que nos foi dada na questão. Podemos ver na forma padrão da equação da nossa superfície esférica, a nossa constante está no segundo membro da nossa equação. No entanto, na nossa equação, podemos ver que está à esquerda. Portanto, a primeira coisa que precisamos de fazer é adicionar 289 a ambos os membros da nossa equação. Isto dá-nos 𝑥 mais cinco ao quadrado mais 𝑦 menos 12 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos dois ao quadrado igual a 289. E agora podemos ver que a nossa equação está quase na forma correta. No entanto, como queremos determinar o raio desta superfície esférica, vamos escrever a nossa constante no segundo membro como um quadrado. E tomando a raiz quadrada de 289, podemos ver que 289 é igual a 17 ao quadrado. Portanto, podemos reescrever o segundo membro desta equação como 17 ao quadrado.

E agora a nossa equação está quase exatamente na forma padrão. No entanto, podemos ver na forma padrão, precisamos subtrair as constantes dentro dos nossos parênteses. No entanto, no primeiro membro da nossa equação, entre parênteses, temos 𝑥 mais cinco. E podemos consertar isto percebendo que 𝑥 mais cinco é o mesmo que 𝑥 menos cinco. Então, vamos reescrever este termo como 𝑥 menos cinco ao quadrado. E agora que escrevemos esta equação na forma padrão da equação de uma superfície esférica, podemos determinar o centro e o raio desta superfície esférica. O centro da nossa superfície esférica será o ponto menos cinco, 12, dois porque estes são os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 na nossa forma padrão para a equação de uma superfície esférica. E outra maneira de pensar sobre isto é que estes são os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 que farão cada termo no primeiro membro da nossa equação igual a zero. E também podemos determinar o raio desta superfície esférica. O raio desta superfície esférica será igual a 17.

E lembre-se, o raio de uma superfície esférica representa um comprimento, então podemos dar esta unidade. Vamos chamar isto de 17 unidades de comprimento. Portanto, dada a equação da superfície esférica é 𝑥 mais cinco tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 12 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos dois ao quadrado menos 289 é igual a zero, ao reescrever esta equação na forma padrão da equação de uma superfície esférica, estávamos capazes de determinar o seu centro e o seu raio. Fomos capazes de mostrar que o centro da superfície esférica era o ponto menos cinco, 12, dois e o raio desta superfície esférica tinha 17 unidades de comprimento.

Vamos agora ver um exemplo em que verificamos se uma determinada equação é a equação de uma superfície esférica.

Determine se a equação dada 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais 𝑧 ao quadrado mais dois 𝑥 menos dois 𝑦 menos oito 𝑧 mais 19 é igual a zero descreve uma superfície esférica. Em caso afirmativo, determine o seu raio e centro.

Nesta questão, temos uma equação. Precisamos de determinar se esta equação representa uma superfície esférica. E se representar uma superfície esférica, precisamos de determinar o centro desta superfície esférica e o raio desta superfície esférica. A maneira mais fácil de fazer isto será tentar escrever a nossa equação na forma padrão da equação de uma esfera. Então, vamos começar por recordar o que isto significa. Lembramos que uma superfície esférica centrada no ponto 𝑎, 𝑏, 𝑐 com um raio 𝑟 terá a seguinte equação na forma padrão. 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos 𝑐 tudo ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado.

O que queremos fazer é reescrever a equação que nos foi dada na questão como a equação de uma esfera na forma padrão. E se fôssemos capazes de fazer isto, poderemos ler o centro da nossa superfície esférica e o raio da nossa superfície esférica. Para fazer isto, vamos começar por reorganizar a equação que nos foi dada. Vamos escrever os termos 𝑥 primeiro, depois os termos 𝑦 e depois os termos 𝑧. Na forma padrão da equação de uma superfície esférica, vemos que começamos com 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado. No entanto, na nossa equação, temos 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥. Para escrever 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 nesta forma, precisaremos de completar o quadrado.

Lembramos que para completar o quadrado, queremos escrever estes dois termos na forma 𝑥 mais alguma constante ao quadrado. E para determinar a constante, precisamos de reduzir a metade o coeficiente de 𝑥. Isto acontece porque 𝑥 mais um ao quadrado é igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. Se quisermos que seja igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥, precisamos de subtrair um de ambos os membros da nossa equação. Portanto, ao completar o quadrado, mostrámos que 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 é igual a 𝑥 mais um ao quadrado menos um. Então, vamos querer fazer exatamente a mesma coisa nos próximos dois termos. Desta vez, reduzimos a metade o coeficiente de 𝑦 para obter menos um. E se distribuirmos o quadrado entre parênteses, obtemos 𝑦 menos um ao quadrado igual a 𝑦 ao quadrado menos dois 𝑦 mais um.

E, novamente, como queremos que isto seja igual a 𝑦 ao quadrado menos dois 𝑦, precisamos de subtrair um de ambos os membros da nossa equação, dando-nos que 𝑦 ao quadrado menos dois 𝑦 é igual a 𝑦 menos um ao quadrado menos um. Portanto, ao completar o quadrado, fomos capazes de reescrever os dois termos 𝑦 ao quadrado menos dois 𝑦 como 𝑦 menos um ao quadrado menos um. Finalmente, precisaremos de completar o quadrado nos nossos termos 𝑧. Mais uma vez, entre parênteses, precisaremos de reduzir a metade o coeficiente de 𝑧, que é menos oito. Isto dá-nos 𝑧 menos quatro ao quadrado. Se distribuirmos o quadrado entre parênteses, obtemos 𝑧 ao quadrado menos oito 𝑧 mais 16. Então, para tornar isto igual a 𝑧 ao quadrado menos oito 𝑧, precisaremos de subtrair 16 de ambos os membros da nossa equação. Isto dá-nos que 𝑧 ao quadrado menos oito 𝑧 é igual a 𝑧 menos quatro tudo ao quadrado menos 16.

Portanto, ao completar o quadrado, fomos capazes de reescrever o nosso termo 𝑧 ao quadrado menos oito 𝑧 como 𝑧 menos quatro ao quadrado menos 16. E na nossa equação, precisamos ainda de adicionar 19 e definir isto igual a zero. Portanto, ao completar o quadrado três vezes, fomos capazes de reescrever a equação dada na questão como 𝑥 mais um ao quadrado menos um mais 𝑦 menos um ao quadrado menos um mais 𝑧 menos quatro tudo ao quadrado menos 16 mais 19 é igual para zero.

E é claro que podemos simplificar isto. Temos menos um menos um menos 16 mais 19. Se calcularmos isto, vemos que é igual a um. Isto significa que podemos reescrever a equação que nos foi dada na questão da seguinte forma. Mas lembre-se, na forma padrão da equação de uma superfície esférica, a nossa constante está no outro membro da equação. Então, vamos subtrair um de ambos os membros da nossa equação. Isto dá-nos 𝑥 mais um ao quadrado mais 𝑦 menos um ao quadrado mais 𝑧 menos quatro tudo ao quadrado igual a menos um.

Mas agora, se disséssemos que esta era a equação de uma superfície esférica, teríamos um problema. Neste caso, o raio será o número que se coloca ao quadrado para nos dar menos um. No entanto, o nosso raio precisa de ser positivo, então isto não faz sentido. Portanto, não parece que esta seja a equação de uma superfície esférica. Na verdade, podemos provar isto. No segundo membro da nossa equação, podemos ver que temos um número negativo. No entanto, no primeiro membro da equação, podemos ver que todos os três termos estão ao quadrado. Isto significa que todos os três termos são maiores ou iguais a zero. Portanto, o primeiro membro da nossa equação é maior ou igual a zero para todos os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧. No entanto, o segundo membro da nossa equação é negativo.

Portanto, esta não é apenas a equação de uma esfera, como também não há soluções para esta equação. Portanto, para responder à questão, a equação 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais 𝑧 ao quadrado mais dois 𝑥 menos dois 𝑦 menos oito 𝑧 mais 19 igual a zero descreve uma superfície esférica, fomos capazes de mostrar que não, esta equação não descreve uma superfície esférica.

Vamos agora ver um exemplo em que utilizamos a equação de uma superfície esférica para descobrir algumas informações geometricamente sobre a nossa superfície esférica.

Dado que 𝐴 é o ponto zero, quatro, quatro e que o segmento de reta 𝐴𝐵 é um diâmetro da esfera 𝑥 mais dois ao quadrado mais 𝑦 mais um ao quadrado mais 𝑧 menos um ao quadrado igual a 38, qual é o ponto 𝐵 ?

Nesta questão, temos algumas informações sobre uma esfera. Primeiro, é-nos dita a equação padrão da superfície esférica. Também nos disseram que o segmento de reta 𝐴𝐵 é um diâmetro da nossa superfície esférica e as coordenadas no ponto 𝐴. Precisamos de utilizar todas estas informações para determinar as coordenadas do ponto 𝐵. Existem vários métodos diferentes para fazer isto. No entanto, geralmente em problemas como este, o método mais fácil envolve começar por escrever todas as informações que nos são fornecidas. Para fazer isto, vamos começar por recordar a forma padrão da equação de uma superfície esférica. Lembramos que uma superfície esférica de raio 𝑟 centrada no ponto 𝑎, 𝑏, 𝑐 terá a seguinte equação na forma padrão. 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos 𝑐 tudo ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado.

Isto significa que, se tivermos a equação de uma superfície esférica na forma padrão, podemos determinar o seu ponto central 𝑎, 𝑏, 𝑐 e também o seu raio 𝑟. E podemos ver que a equação dada a nós na questão está na forma padrão, então podemos utilizá-la para determinar o centro e o raio da nossa superfície esférica. Existem dois métodos diferentes para determinar o ponto central. Poderemos reescrever as expressões entre parênteses como a variável menos uma constante. No entanto, também podemos determinar o valor da variável que torna este termo igual a zero. Assim, por exemplo, o nosso valor de 𝑎 seria menos dois, o nosso valor de 𝑏 seria menos um e o nosso valor de 𝑐 seria um. Qualquer um dos métodos funcionará; é preferência pessoal o que desejar utilizar. De qualquer forma, mostrámos que o centro da superfície esférica que nos foi dada na questão é o ponto menos dois, menos um, um.

Da mesma forma, podemos determinar o raio desta superfície esférica calculando a raiz quadrada de 38. A última coisa que vamos querer fazer é utilizar o facto de que o segmento de reta 𝐴𝐵 é um diâmetro da nossa superfície esférica e que as coordenadas do ponto 𝐴 são zero, quatro, quatro. E podemos querer esboçar estas informações numa superfície esférica. No entanto, não é necessário. Na verdade, podemos fazer isto numa circunferência, porque se o segmento de reta 𝐴𝐵 é um diâmetro da esfera, então também é um diâmetro da circunferência do mesmo raio. Em ambos os casos, a única informação de que precisamos é o segmento de reta 𝐴𝐵 é o diâmetro da nossa superfície esférica, então é uma reta que passa pelo centro da nossa superfície esférica. E sabemos que as coordenadas do ponto 𝐴 são zero, quatro, quatro e as coordenadas do nosso centro 𝑐 são menos dois, menos um, um.

E podemos combinar todas estas informações para determinar as coordenadas do ponto 𝐵. Primeiro, o segmento de reta 𝐴𝐶 e o segmento de reta 𝐶𝐵 são raios da nossa superfície esférica. Ambos terão comprimento 𝑟. Em seguida, como sabemos as coordenadas do ponto 𝐴 e as coordenadas do ponto 𝐶, podemos determinar o vetor de 𝐴 a 𝐶. E também podemos ver algo interessante. Este será exatamente o mesmo que o vetor de 𝐶 a 𝐵 porque têm o mesmo módulo de 𝑟 e apontam no mesmo sentido. Então, vamos utilizar isto para determinar as coordenadas de 𝐵. Primeiro, precisamos de determinar o vetor 𝐀𝐂. E para fazer isto, precisamos de pegar no vetor 𝐎𝐂 e subtrair o vetor 𝐎𝐀. Isto dá-nos a seguinte expressão, e podemos subtraí-la em termos das componentes. Isto dá-nos o vetor 𝐀𝐂 é o vetor menos dois, menos cinco, menos três. Podemos então adicionar isto ao nosso esboço. E lembre-se, o vetor de 𝐶 a 𝐵 também é igual ao vetor de 𝐴 a 𝐶.

Agora podemos determinar as coordenadas de 𝐵 adicionando o nosso vetor 𝐎𝐂 ao vetor 𝐀𝐂. E tudo o que estamos a dizer aqui é que podemos chegar ao ponto 𝐵 do centro movendo-nos ao longo do vetor 𝐀𝐂. Isto dá-nos o vetor 𝐎𝐁 será o vetor menos dois, menos um, um mais o vetor menos dois, menos cinco, menos três. E adicionamos estas componentes para obter o vetor 𝐎𝐁 é o vetor menos quatro, menos seis, menos dois. Mas lembre-se, a questão não está a pedir-nos o vetor 𝐎𝐁. Está a pedir-nos as coordenadas do ponto 𝐵. E, é claro, as coordenadas do ponto 𝐵 serão apenas as componentes do nosso vetor 𝐁. E isto dá-nos que 𝐵 é o ponto menos quatro, menos seis, menos dois.

Portanto, fomos capazes de mostrar se 𝐴 é o ponto zero, quatro, quatro e o segmento de reta 𝐴𝐵 é o diâmetro da esfera 𝑥 mais dois ao quadrado mais 𝑦 mais um ao quadrado mais 𝑧 menos um ao quadrado igual a 38, então o ponto 𝐵 deve ter coordenadas menos quatro, menos seis, menos dois.

Vamos agora repassar os pontos principais deste vídeo. Primeiro, sabemos que uma superfície esférica é uma forma tridimensional em que cada ponto da nossa superfície esférica está a uma distância definida de 𝑟 do centro. E chamamos este valor de 𝑟 de raio da nossa superfície esférica. E assim como no caso de uma circunferência, fomos capazes de determinar a equação de uma superfície esférica. Fomos capazes de mostrar que uma superfície esférica centrada nos pontos 𝑎, 𝑏, 𝑐, com um raio de 𝑟 terá a seguinte equação. E chamamos esta equação de forma padrão da equação da nossa superfície esférica. A equação é dada por 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado mais 𝑧 menos 𝑐 tudo ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. E dada a forma padrão da equação de uma superfície esférica, podemos determinar o centro e o raio da superfície esférica.

Para determinar o centro da nossa superfície esférica, a maneira mais fácil é determinar os valores das nossas variáveis que substituiremos para tornar cada termo igual a zero. E para determinar o raio desta superfície esférica, tudo o que precisamos de fazer é obter a raiz quadrada da constante no segundo membro da equação.