Vídeo: Encontrando a Distância entre Duas Retas Paralelas

Qual é a distância entre as retas paralelas 𝑥 − 6𝑦 + 11 = 0 e 𝑥 − 6𝑦 + 22 = 0?

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Transcrição do vídeo

Qual é a distância entre as retas paralelas 𝑥 menos seis 𝑦 mais 11 é igual a zero e 𝑥 menos seis 𝑦 mais 22 é igual a zero?

Em primeiro lugar, vamos esclarecer o que significa a distância entre essas retas paralelas. Existem, é claro, várias distâncias diferentes entre essas duas retas, dependendo dos dois pontos que você escolher para calcular. Quando nos referimos à distância entre retas paralelas, queremos dizer a menor distância entre elas, que é de fato a distância perpendicular.

Vamos pensar em como abordar isso. Nós temos uma fórmula para nos dizer como calcular a distância perpendicular de um ponto 𝑥 um, 𝑦 um para uma reta com equação 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero. A distância é igual ao módulo de 𝑎𝑥 um mais 𝑏𝑦 um mais 𝑐 dividido pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado.

Poderíamos aplicar essa fórmula para calcular a distância entre retas paralelas se pudermos encontrar as coordenadas de um ponto que se encontre em uma das duas retas. Vamos considerar que a primeira reta 𝑥 menos seis 𝑦 mais 11 é igual a zero.

Para simplificar, vamos encontrar as coordenadas do ponto em que essa reta encontra o eixo 𝑦, sua interceptação 𝑦. Adicionando seis 𝑦 a ambos os lados dessa equação, dá seis 𝑦 é igual a 𝑥 mais 11. Dividindo ambos os lados da equação por seis, 𝑦 é igual a 𝑥 sobre seis mais 11 sobre seis.

Agora, se pudermos comparar isso com a forma de coeficiente angular da equação de uma reta, podemos ver que a interceptação de 𝑦 nesta reta é 11 sobre seis. Como este é um ponto no eixo 𝑦, sua coordenada 𝑥 será zero. E, portanto, as coordenadas desse ponto são zero, 11 sobre seis. Então, o que faremos é usar as coordenadas desse ponto com a equação da segunda reta para calcular a distância entre elas.

Vamos olhar para essa fórmula de distância. O ponto com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um é agora o ponto com coordenadas zero, 11 sobre seis. Ao comparar a forma geral da equação da reta com a reta nesta questão, podemos ver que 𝑎 é igual a um, 𝑏 é igual a menos seis e 𝑐 é igual a 22.

Agora vamos substituir os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 um e 𝑦 um na fórmula da distância. Nós temos que 𝑑 é igual ao módulo ou valor absoluto de um multiplicado por zero mais menos seis multiplicado por 11 sobre seis mais 22 tudo sobre a raiz quadrada de um ao quadrado mais menos seis ao quadrado.

Agora, calculando cada uma dessas partes e simplificando temos o módulo de 11 sobre a raiz quadrada de 37. Lembre-se, o módulo de um número é apenas seu valor absoluto. Como 11 já é um número positivo, o módulo de 11 também é 11. Então, temos que a distância entre essas duas retas é 11 sobre raiz de 37.

Agora essa fração atualmente tem uma raiz no denominador. Então, precisamos racionalizá-lo. E para fazer isso, vamos multiplicar pela raiz de 37 sobre raiz de 37. Fazendo isso, obtemos 11 raiz de 37 no numerador. E no denominador, a raiz 37 multiplicada pela raiz 37 é apenas 37. Portanto, a distância entre as duas retas paralelas 𝑥 menos seis 𝑦 mais 11 igual a zero e 𝑥 menos seis 𝑦 mais 22 igual a zero é 11 raiz de 37 sobre 37.

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