Vídeo: Inequações Utilizando Funções Racionais

Quais são todos os valores de 𝑥 para os quais é verdade que (𝑥 + 3)/(𝑥 − 1) > 0?

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Quais são todos os valores de 𝑥 para os quais é verdade que 𝑥 mais três sobre 𝑥 menos um é maior que zero? Então, vamos chamar o lado esquerdo dessa inequação de 𝑓 de 𝑥 e esboçar um gráfico de 𝑓 de 𝑥.

Podemos usar cinco etapas para esboçar o gráfico de uma função racional como 𝑓 de 𝑥. Encontramos os 𝑥 interceptados, as assíntotas verticais, o 𝑦 interceptado. Consideramos o comportamento quando 𝑥 tende a ∞ positivo ou negativo. E quando tivermos todos esses recursos do gráfico, podemos conectar os pontos. O primeiro passo é encontrar os 𝑥 interceptados, e nós fazemos isso resolvendo 𝑓 de 𝑥 igual a zero.

Usamos a expressão que temos para 𝑓 de 𝑥, e agora podemos multiplicar ambos os lados por 𝑥 menos um e, finalmente, concluir que 𝑥 deve ser igual a menos três. Isso faz sentido. Os 𝑥 interceptados do gráfico da função ocorrem quando a função é zero. E é claro que isso acontece para uma função racional quando o numerador dessa função é zero, então quando 𝑥 mais três é igual a zero ou 𝑥 é igual a menos três. Marcamos a intercepção 𝑥 no gráfico e seguimos para o segundo passo.

O gráfico de uma função racional tem uma assíntota vertical e valores de 𝑥 para os quais a própria função é indefinida. E isso, é claro, acontece quando o denominador é zero, porque obtemos algum número dividido por zero, o que é claro, indefinido. Essa é a única maneira de obter um valor indefinido para uma função racional.

No nosso caso, o denominador de nossa função racional é 𝑥 menos um, e definimos esse valor como zero. E podemos ver que temos exatamente uma assíntota vertical em 𝑥 igual a um. Por isso, marcamos isso no nosso gráfico, e terminamos o segundo passo e podemos passar para o terceiro.

Para encontrar o 𝑦 interceptado, precisamos encontrar o valor da função em 𝑥 igual a zero. 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 mais três sobre 𝑥 menos um. Assim, 𝑓 de zero é zero mais três sobre zero menos um, que é três sobre menos um ou apenas menos três. Assim, podemos marcar o 𝑦 interceptado em nosso gráfico e continuar na quarta etapa.

Temos que pensar sobre o comportamento quando 𝑥 tende a mais ou a menos ∞. Não podemos realmente perguntar o que é 𝑓 de ∞, mas podemos escolher um número realmente grande, como um trilhão, e pensar sobre qual deve ser o valor da função. Assim, 𝑓 de um trilhão que é 𝑓 de 10 à potência de 12 é 10 à potência de 12 mais três sobre 10 à potência de 12 menos um. O numerador e o denominador são ambos cerca de um trilhão e, portanto, sua proporção é de aproximadamente um. Você pode confirmar isso usando uma calculadora, se quiser.

Não havia nada de especial sobre um trilhão. Nós apenas escolhemos um número muito grande para ver o que aconteceria com o 𝑥 tende a ∞. E nós vimos que, quando 𝑥 tende a ∞, 𝑓 de 𝑥 se torna aproximadamente um. E isso significa que há uma assíntota horizontal de 𝑦 igual a um no lado direito do gráfico. O gráfico de 𝑓 de 𝑥 aborda essa assíntota horizontal como 𝑥 tende a ∞ positivo, mas ainda precisamos descobrir em qual direção ela se aproxima. Aproxima-se de cima ou de baixo?

Olhando novamente para a fração, vemos que o numerador é maior que o denominador em quatro quando isso acontece. E assim o valor da fração é maior que um. Então, tanto 𝑥 cresce muito, quanto 𝑥 tende a ∞; em outras palavras, 𝑓 de 𝑥 é maior que um. E assim o gráfico de 𝑓 de 𝑥 está acima da assíntota horizontal em 𝑦 é igual a um.

Assim, podemos esboçar um pouco do gráfico no lado direito do eixo 𝑥. E uma coisa semelhante acontece quando 𝑥 tende a ∞ negativo, exceto que agora temos 𝑓 de 𝑥 sendo menor que um. E assim a assíntota é abordada a partir de baixo. Você precisa ter muito cuidado para garantir que esse valor seja realmente menor que um, porque estamos dividindo dois números negativos. Mas você pode confirmar manualmente ou usando uma calculadora que a assíntota é abordada a partir de baixo, e nós esboçamos isso.

Um método alternativo é usar a longa divisão polinomial. Usando isso, podemos escrever 𝑓 de 𝑥 como um mais quatro sobre 𝑥 menos um. Quando 𝑥 tende a ∞ positivo ou ∞ negativo, esse termo quatro sobre 𝑥 menos um fica menor e menor, mais próximo e mais próximo de zero. E assim 𝑓 de 𝑥 se aproxima cada vez mais de um.

E com um pouco de raciocínio, podemos descobrir qual é o sinal desse termo também, o que nos dirá em qual direção a assíntota está sendo abordada. Seja qual for o método que usamos, obtemos o mesmo resultado; que quando 𝑥 tende a ∞ positivo, o gráfico de 𝑓 de 𝑥 se aproxima da assíntota horizontal em 𝑦 igual a um, de cima. E quando 𝑥 tende a ∞ negativo, ele se aproxima da mesma assíntota horizontal em 𝑦 igual a um, de baixo.

Agora que temos todos os recursos marcados no gráfico, podemos conectar os pontos. À esquerda da assíntota vertical, temos que percorrer o 𝑥 interceptado e menos três e o 𝑦 interceptado e menos três e abordar essa assíntota vertical.

À direita da assíntota vertical, - porque não podemos cruzar o eixo 𝑥. Sabemos que o único 𝑥 interceptado é menos três - temos que subir para aproximar a assíntota vertical em 𝑥 igual a um. Então, esboçamos o gráfico de 𝑓 de 𝑥 usando um processo que funciona basicamente para qualquer função racional.

Você pode preferir pensar em 𝑓 de 𝑥 como sendo um mais quatro sobre 𝑥 menos um e pensar em seu gráfico como sendo uma transformação do gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥, a função inversa. Se você fizer isso, esperançosamente obterá o mesmo resultado, mas o processo de esboço de cinco etapas funciona para qualquer função racional. Então, acho que é uma boa ideia usar isso em geral ou, pelo menos, ficar à vontade para usá-lo.

Agora que desenhamos o gráfico, podemos voltar a pensar sobre a inequação. Queremos resolver 𝑓 de 𝑥 é maior que zero. O que isso significa em termos de nosso gráfico? Bem, nós queríamos encontrar todos os valores de 𝑥 para os quais o gráfico de 𝑓 de 𝑥 está acima do eixo 𝑥.

Olhando para o gráfico, podemos ver que existem duas regiões onde isso acontece, uma à esquerda de menos três e uma está à direita de um no eixo 𝑥. A região do lado esquerdo do gráfico pode ser 𝑥 é menor que menos três ou 𝑥 é menor ou igual a menos três. Temos que pensar cuidadosamente se menos três deve estar incluído como um dos valores de 𝑥 para os quais é verdade que a inequação é válida.

Bem, claro, sendo o 𝑥 interceptado, 𝑓 de menos três é igual a zero portanto não maior que zero. E assim esta região não deve conter a extremidade menos três, então a inequação deve ser apenas 𝑥 é menor que menos três.

Uma coisa semelhante acontece à direita da assíntota vertical; 𝑥 é igual a um. A região é 𝑥 é maior que um ou 𝑥 é maior ou igual a um, dependendo se um deve ser incluído. 𝑓 de um é indefinido, portanto, não é maior que zero, e então 𝑥 é igual a um não deve ser incluído na região. E a região é apenas 𝑥 é maior que um. Olhamos para o gráfico e vimos as duas regiões para as quais a inequação é válida; 𝑥 é menor que menos três ou 𝑥 é maior que um.

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