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Uma maneira de pensar sobre a função 𝑒 elevado a 𝑡 é perguntar, quais
propriedades ela possui? Provavelmente a mais importante, e de alguns pontos de vista a
propriedade definidora, é que é sua própria derivada. Juntamente com a condição adicional de que a inserção de zero retorna um,
é realmente a única função com essa propriedade. E você pode ilustrar o que isso significa com um modelo físico.
Se 𝑒 elevado a 𝑡 descreve sua posição em uma reta numérica como função
do tempo, você começa no número um. E o que esta equação está dizendo é que sua velocidade, a derivada da
posição, é sempre igual a essa posição. Quanto mais longe você estiver do zero, mais rápido você se moverá. Portanto, mesmo antes de saber calcular exatamente o que é 𝑒 elevado a
𝑡. Indo de um tempo específico para uma posição específica, essa capacidade
de associar cada posição a uma velocidade mostra uma imagem
intuitiva muito forte de como a função deve crescer. Você sabe que estará acelerando e a um ritmo acelerado com uma sensação
geral de que as coisas ficam fora de controle rapidamente.
E se você adicionar uma constante a esse expoente, como 𝑒 elevado a dois
vezes 𝑡, a regra da cadeia nos dirá que a derivada agora é duas
vezes ela mesma. Portanto, em cada ponto da reta numérica, em vez de anexar um vetor
correspondente ao número em si, primeiro dobre a magnitude da
posição e, em seguida, anexe-a. Mover-se para que sua posição seja sempre 𝑒 elevado a dois 𝑡 é a mesma
coisa que se mover de tal maneira que sua velocidade seja sempre o
dobro da sua posição. A implicação desse dois é que nosso crescimento descontrolado parece
ainda mais fora de controle.
Se essa constante era negativa, digo menos 0.5, então seu vetor de
velocidade é sempre menos 0.5 vezes o vetor de posição. Ou seja, você gira em torno de 180 graus e escala seu comprimento pela
metade. Movendo-se de maneira que sua velocidade sempre corresponda a essa cópia
invertida e esmagada do seu vetor de posição. Você seguiria na outra direção, diminuindo a velocidade exponencial em
direção a zero.
Mas e se essa constante fosse 𝑖, a raiz quadrada de menos um? Se sua posição sempre foi 𝑒 elevado a 𝑖𝑡, como você moveria com o
tempo 𝑡? Bem, agora a derivada de sua posição sempre será 𝑖 vezes ele mesmo e
multiplicar por 𝑖 tem o efeito de rotacionar números 90 graus. Então, como você pode esperar, as coisas só fazem sentido aqui se
começarmos a pensar além da reta numérica e no plano complexo. Portanto, mesmo antes de você saber calcular 𝑒 elevado a 𝑖 vezes
𝑡. Você sabe que, para qualquer posição que isso possa dar algum valor de
tempo, a velocidade naquele momento será uma rotação de 90 graus
dessa posição.
Ao desenhar isso para todas as posições possíveis, você obtém um campo
vetorial. Onde, como de costume nos campos vetoriais, você reduz as coisas para
evitar confusão. No tempo 𝑡 é igual a zero, 𝑒 elevado a 𝑖𝑡 será um. Essa é a nossa condição inicial. E só existe uma trajetória a partir dessa posição em que sua velocidade
sempre corresponde ao vetor pelo qual está passando. Uma rotação de 90 graus da posição. É quando você percorre o círculo de raio um a uma velocidade de uma
unidade por segundo. Então, depois de 𝜋 segundos, você traçou uma distância de cerca de
𝜋. Portanto, 𝑒 elevado a 𝑖 vezes 𝜋, deve ser menos. Após 𝜏 segundos, você completou o círculo. 𝑒 elevado a 𝑖 vezes 𝜏 é igual a um. E, de maneira mais geral, 𝑒 elevado a 𝑖 vezes 𝑡 é igual a um número
que é 𝑡 radianos em torno desta unidade circular no plano
complexo.
No entanto, algo ainda pode parecer imoral ao colocar um número
imaginário nesse expoente. E você teria razão em questionar isso. O que escrevemos como 𝑒 elevado a 𝑡 é um desastre notacional, dando ao
número 𝑒 e à ideia de multiplicação repetida muito mais ênfase do
que elas merecem. Mas meu tempo acabou, então pouparei a você todo o discurso até o próximo
vídeo.
