Vídeo: Adição e Subtração de Mais Expressões Racionais Complexas

Adicionando e subtraindo expressões racionais com expressões polinomiais até ordem 3 em numeradores e/ou denominadores.

18:00

Transcrição do vídeo

Fizemos uma introdução à adição e subtração de expressões racionais em um vídeo anterior. Mas neste, vamos ver alguns exemplos um pouco mais difíceis de adicionar e subtrair expressões racionais e aprender algumas técnicas para simplificar os resultados.

Então o primeiro aqui, vamos fazer uma subtração, três 𝑥 sobre 𝑥 menos um menos 𝑥 sobre 𝑥 mais três.

Bem, não há fatores comuns em nenhum desses denominadores. Então, teremos que encontrar frações equivalentes para cada uma delas, a fim de obter um denominador comum. E o jeito que vamos fazer isso é, vamos pegar o primeiro denominador aqui e vamos multiplicar o numerador e o denominador da segunda fração por esse denominador. E então vamos pegar o segundo denominador e fazer o mesmo para a primeira fração. Então agora ambos os denominadores são basicamente 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos um. Agora, o que você vai lembrar é que 𝑥 mais três sobre 𝑥 mais três é um. Então, pegamos a primeira fração e multiplicamos por um. Pegamos a segunda fração e a multiplicamos por 𝑥 menos um sobre 𝑥 menos um, que é apenas um. Então multiplicar algo por um não o altera. Então, ainda temos a mesma pergunta aqui, mas agora estamos em um formato em que ambas as frações têm os mesmos denominadores.

Então, novamente, você deve se lembrar de antes que é realmente uma boa ideia colocar os denominadores e todos esses pequenos termos entre parênteses, quando eles supostamente devem estar juntos. E então nós combinamos os dois termos em um termo com aquele denominador comum. Então, foram três 𝑥 vezes 𝑥 mais três para nosso primeiro termo e 𝑥 vezes 𝑥 menos um para nosso segundo termo. E agora temos que multiplicar isso. Então, três 𝑥 vezes 𝑥, e três 𝑥 vezes três positivos. Mas isto é menos 𝑥 vezes 𝑥 e menos 𝑥 vezes menos um. Assim, três 𝑥 vezes 𝑥 são três 𝑥 ao quadrado e três 𝑥 vezes três positivo são nove 𝑥 positivo. Menos 𝑥 vezes 𝑥 é menos 𝑥 ao quadrado e menos 𝑥 vezes menos um é 𝑥 positivo. E agora temos que simplificar o numerador. Então temos três 𝑥 ao quadrado e estamos tirando 𝑥 ao quadrado, então isso dá dois 𝑥 ao quadrado. E então nós temos nove 𝑥 e estamos adicionando outro 𝑥, então isso dará mais dez 𝑥.

Bem, agora podemos fatorar o numerador. Então, temos um fator comum de dois em cada um desses coeficientes e também temos um fator comum de 𝑥 que podemos fatorar. Então, isso nos dá dois 𝑥 vezes 𝑥 mais cinco tudo sobre 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos um. Agora, se tivéssemos tido um pouco mais de sorte, esse fator lá, 𝑥 mais cinco, teria sido o mesmo que um dos parênteses no denominador. Poderíamos cancelar alguma coisa e simplificá-la. Mas como é, essa será nossa resposta. Nada mais vai cancelar. Lá vamos nós, dois 𝑥 vezes 𝑥 mais cinco sobre 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos um.

Então o processo, apenas para resumir isso, que vamos usar é, inicialmente, estamos procurando um denominador comum. Agora, tentamos simplificá-lo o máximo possível, e o quanto antes. Mas, essencialmente, temos que procurar essa técnica aqui para tentar obter um denominador comum. Em segundo lugar, estamos procurando combinar tudo isso em uma única expressão racional ou uma única fração. E então, estamos tentando calcular esse numerador, talvez fazer algumas fatorações, simplificá-lo e ver se temos a sorte de cancelar qualquer uma das coisas em nossa resposta final, para simplificar isso o máximo possível.

Certo então. Na próxima pergunta, precisamos simplificar três sobre 𝑥 mais dois mais dois 𝑥 sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro.

Agora, antes de fazermos mais alguma coisa com isso, vamos dar uma olhada neste denominador aqui, 𝑥 ao quadrado menos quatro. Nós devemos reconhecer, essa é a diferença de dois quadrados. Então podemos fatorar isso em 𝑥 menos dois vezes 𝑥 mais dois. Então, vamos escrever nossa pergunta expresso dessa forma primeiro, e ver se isso nos dá alguma pista de como podemos avançar. Então, quando fazemos isso, podemos ver que, veja, o denominador aqui é 𝑥 mais dois, mas este denominador também tem um fator de 𝑥 mais dois. Então, se quisermos um denominador comum, podemos simplesmente pegar este termo aqui, esse fator, 𝑥 menos dois, e multiplicar o numerador e o denominador daquela primeira fração para obter uma fração equivalente com o mesmo denominador. Então lembre-se, 𝑥 menos dois sobre 𝑥 menos dois é apenas um. Então, nós apenas multiplicamos essa primeira fração por um. Então nós não mudamos o tamanho disso, a magnitude disso, nós só temos uma fração equivalente. Mas agora elas têm um denominador de 𝑥 menos dois vezes 𝑥 mais dois. Então vamos combinar isso em uma fração.

E o primeiro termo era três vezes 𝑥 menos dois. Eu acabei de transformá-los e chamei três vezes 𝑥 menos dois. Não importa de que maneira você multiplica isso. E então temos dois 𝑥, para o nosso segundo termo, no numerador. Então, vamos multiplicar esse numerador e ver se podemos simplificá-lo. E três vezes 𝑥 são três 𝑥 e três vezes menos dois são menos seis. Então temos três 𝑥 menos seis mais dois 𝑥 no numerador, e agora podemos dizer três 𝑥 mais dois 𝑥 é cinco 𝑥. E isso nos deixa com cinco 𝑥 menos seis sobre 𝑥 menos dois 𝑥 mais dois. Olhando para esse numerador, não temos nenhum fator em comum. Não podemos simplificar isso. Nada cancela a parte superior e inferior. Então, na verdade, essa será nossa resposta final.

Então, o próximo exemplo que vamos examinar é simplificar um sobre 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 mais seis mais um sobre 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 mais doze. Agora não vai ser nada bom apenas multiplicar a parte superior e inferior da segunda fração por este denominador aqui, porque vamos acabar com expressões incrivelmente complicadas para lidar. Mas o que podemos fazer, em primeiro lugar, é fatorar esses dois denominadores e, em seguida, ver se eles têm uma parte comum, e multiplicaremos por ela. Se eles tiverem outros termos, então multiplicaremos por eles. Então vamos apenas fatorar esses dois denominadores primeiro.

Bem, eles são ambos quadráticos, então sabemos que vamos ter 𝑥 aqui e 𝑥 aqui porque eles já têm um 𝑥 quadrado e um 𝑥 quadrado. Então eles vão ter 𝑥 aqui e 𝑥 aqui. E temos que encontrar números no primeiro caso que adicionam para formar cinco positivos, e multiplicam para formar seis positivos. Então, serão mais dois e mais três. E no segundo caso, procuramos números que adicionam para formar sete e multiplicam para formar doze. Então, estamos olhando para mais quatro e mais três.

Agora, antes de continuarmos, vamos fazer uma verificação rápida. 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 ao quadrado. 𝑥 vezes três é três 𝑥, duas vezes 𝑥 é dois 𝑥, então isso é dois 𝑥 e três 𝑥 que é cinco 𝑥. E então duas vezes três é seis. Então, aquele funciona. E 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 ao quadrado. 𝑥 vezes três é três 𝑥, quatro vezes 𝑥 é quatro 𝑥, três 𝑥 e quatro 𝑥 é sete 𝑥. E quatro vezes três é doze. Então, aquele também funciona.

OK. Então, ambos os denominadores têm 𝑥 mais três como um fator. Então, vou ter que pegar o fator que falta e multiplicar a parte de cima e a parte de baixo da segunda parte por isso. E vou ter que pegar o fator que falta e multiplicar o numerador e o denominador da primeira fração por isso. E quando fazemos isso, temos um denominador comum com três parênteses multiplicados juntos, três conjuntos de parênteses multiplicados juntos. Então, vou combinar isso em uma única fração. Eu tenho um vezes 𝑥 mais quatro mais um vezes 𝑥 mais dois. Bem, claro, um vezes todas essas coisas são apenas uma vez. Então é 𝑥 mais quatro mais 𝑥 mais dois. E 𝑥 mais 𝑥 é dois 𝑥 e quatro positivos somam outros dois é mais seis. E olhando para isso, no numerador aqui, temos um fator comum de dois e seis. Então, dois é um fator comum; nós podemos fatorar isso para nos dar dois vezes 𝑥 mais três tudo sobre 𝑥 mais duas vezes 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais quatro. Agora, se olharmos com muito cuidado, temos duas vezes 𝑥 mais três. 𝑥 mais três é um fator no numerador, mas 𝑥 mais três também é um fator no denominador. Então, se eu dividir ambos por 𝑥 mais três, eles se cancelam, o que dá a nossa resposta final de dois sobre 𝑥 mais dois vezes 𝑥 mais quatro.

Bem, vamos ver algumas subtrações então. Então 𝑥 mais três sobre 𝑥 mais quatro menos 𝑥 menos um sobre 𝑥 mais um. Bem, não há fatores comuns nos denominadores. Então, vamos apenas escrever isso e tentar obter um denominador comum.

Então, primeiro, como dissemos antes, certifique-se de colocar esses numeradores e denominadores, porque eles são numeradores agora um pouco mais complicados, entre parênteses para manter esses termos juntos, eles precisam ser mantidos juntos. Então, vamos usar este denominador aqui para multiplicar a parte superior e inferior dessa fração. E nós vamos pegar esse denominador e multiplicar a parte superior e a inferior dessa fração por isso. Então agora temos 𝑥 mais um vezes 𝑥 mais quatro como nosso denominador comum. Podemos combinar esses dois termos em uma única fração. E agora vamos ter que multiplicar esses parênteses e esses parênteses. Agora é aí que fica bastante complicado. Porque temos um sinal de menos aqui, estamos subtraindo toda a segunda expressão aqui, da primeira expressão aqui. Então, temos que ter muito cuidado com a forma como colocamos isso. Então, na verdade, vou multiplicar os parênteses e deixá-los entre parênteses com um sinal de menos na frente e depois calculá-lo mais para a frente.

Então, multiplicando o primeiro parêntese, temos 𝑥 vezes 𝑥 que é 𝑥 ao quadrado. E nós temos 𝑥 vezes três que é três 𝑥, um vezes 𝑥 que é 𝑥. Então, três 𝑥 e um 𝑥 são quatro 𝑥. E depois temos um vezes três, ambos positivos, então são três. E para o segundo termo aqui, temos 𝑥 vezes 𝑥 que é 𝑥 ao quadrado. 𝑥 vezes quatro é mais quatro 𝑥. Menos um vezes 𝑥. Estamos tirando um 𝑥, então quatro 𝑥 tirar um 𝑥 é três 𝑥. E menos um vezes quatro é menos quatro. Então vamos subtrair 𝑥 ao quadrado. Vamos subtrair três 𝑥 positivo. Então subtrair três 𝑥, menos três 𝑥. E nós estamos subtraindo menos quatro, que é o mesmo que adicionar quatro. Então, vamos reescrever nosso numerador.

Bem, os primeiros termos aqui permanecerão como estão. E então, como dissemos, estamos subtraindo 𝑥 ao quadrado. Estamos subtraindo três 𝑥 positivo ou tirando três 𝑥. E nós estamos subtraindo quatro negativo, que é o mesmo que adicionar quatro. Então agora podemos simplificar isso. Nós temos 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 ao quadrado. Bem, isso não é nada, então eles vão cancelar. Nós temos quatro 𝑥 positivo e estamos tirando três 𝑥, então é só um 𝑥. E temos três positivo e estamos adicionando quatro, então são sete, o que nos deixa com 𝑥 mais sete tudo sobre 𝑥 mais um vezes 𝑥 mais quatro. Bem, poderíamos colocar parênteses no numerador se quiséssemos, ou poderíamos até multiplicar o denominador. Mas nada mais vai cancelar. Essa é a nossa resposta final.

E a coisa mais difícil foi o fato de termos muito trabalho a fazer. E cuidar dos sinais negativos aqui era realmente o passo crucial e mais difícil. É aí que a maioria das pessoas erram, se vão se dar mal com esse tipo de pergunta.

Então, em nossa próxima subtração de expressões racionais, temos três sobre 𝑥 menos dois menos dois 𝑥 menos dois sobre dois 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 menos seis. E, como já vimos em algumas dessas perguntas, a primeira coisa a se fazer é fatorar qualquer coisa que pudermos. E parece que o numerador do segundo termo irá fatorar. E parece que o denominador também irá fator aqui. Então vamos tentar e fazer isso.

Então, colocamos o denominador do primeiro termo entre parênteses, porque isso é sempre uma boa ideia. E o numerador no segundo termo é muito fácil de fatorar. Então, dois é o fator comum, então temos dois vezes 𝑥 menos um. Agora, o denominador, um pouco mais complicado, então dois 𝑥 ao quadrado, então nós vamos ter dois parênteses; é uma quadrática. Um deles terá que ser dois 𝑥 e um deles terá que ser 𝑥, porque dois 𝑥 vezes 𝑥 é dois 𝑥 ao quadrado. E agora temos que brincar um pouco, para tentar descobrir quais serão os outros termos.

Então devemos ter dois 𝑥 e 𝑥, porque dois 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥- dois 𝑥 ao quadrado. Mas um dos outros termos vai ser, bem, eles têm que se multiplicar para dar menos seis e eles vão se combinar para dar toda essa expressão. E com um pouco de tentativa e erro, vemos que são dois 𝑥 mais três e 𝑥 menos dois. Bem, isso é prático, porque olha, nós temos 𝑥 menos dois e nós temos 𝑥 menos dois. Então, temos um fator comum aqui. Então a única coisa que estaria faltando neste denominador, para o primeiro termo, seria este termo aqui, dois 𝑥 mais três. Então, multiplicarei numerador e denominador por dois 𝑥 mais três. E isso é uma fração equivalente ao primeiro termo. E agora temos dois termos com um denominador comum de dois 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos dois. Então, podemos combiná-los em uma única fração, que é três vezes dois 𝑥 mais três para o primeiro termo no numerador, e estamos subtraindo dois vezes 𝑥 menos um para o segundo termo. Então, vamos ter que multiplicar esses parênteses no numerador. Então, menos dois vezes 𝑥 e menos dois vezes menos um. Bem, três vezes dois 𝑥 são seis 𝑥, três vezes três é nove, menos dois vezes 𝑥 é menos dois 𝑥 e menos dois vezes menos um é mais dois. Então agora podemos simplificar isso. Temos seis 𝑥 menos dois 𝑥 que é quatro 𝑥, e nove e dois é onze, onze positivo.

Então, novamente, olhando para o numerador, não há fatores comuns. Nós não podemos mais considerar isso. Nada cancela no numerador e no denominador. Então só temos isso; essa seria nossa resposta a essa pergunta. Então, mais uma vez, temos que observar o que estamos fazendo em termos de sinais negativos, quando estamos subtraindo-os. E neste caso, nós tivemos que fazer muito trabalho no começo para fatorar nosso numerador e denominador, que apenas fez toda a coisa de multiplicação, achando a fração equivalente com o denominador comum, um pouco mais fácil.

Certo. Vamos terminar com esta questão bastante complicada. Então, neste caso, temos que subtrair duas expressões racionais. Vamos subtrair uma da outra. Mas nós temos que mostrar que é igual a uma expressão particular. Agora, às vezes, quando você faz seu cálculo, você pode acabar com uma resposta em um formato. Mas neste caso, eles pedem para você apresentar em um formato muito específico. Então vamos em frente e ver o que vamos fazer com isso. Primeiro de tudo, parece que vamos ter que fazer um pouco de fatoração no denominador aqui. Mas se olharmos para o primeiro termo e colocarmos um parênteses em torno do numerador, podemos ver que o numerador, se eu dividir ele por 𝑥 mais cinco, recebo um. Se eu dividir o denominador por 𝑥 mais cinco, isso também se torna um aqui. Então temos um sobre dois menos 𝑥 vezes três mais 𝑥. Então temos um primeiro termo um pouco mais simples. Então, vamos dar uma olhada no que podemos fazer a seguir.

Bem, no nosso trabalho, podemos mostrar que o cancelamento continua e podemos mostrar que o primeiro termo é igual a um sobre dois menos 𝑥 vezes três mais 𝑥. E o segundo termo, podemos reescrever fatorando o denominador. E para obter menos 𝑥 ao quadrado, tenho que ter menos 𝑥 vezes 𝑥 positivo. E nós só temos que descobrir quais são os números, que multiplicam para formar seis e somam para formar menos um, que é o coeficiente desse termo 𝑥 aqui. Então, serão dois menos 𝑥 e três mais 𝑥. Então, basicamente, reorganizamos ou reescrevemos esses dois primeiros termos. E acontece que, se olharmos para os denominadores de cada um deles, eles têm denominadores comuns. Então, vamos poder adicioná-los. Então vamos apenas reescrever o lado esquerdo. E lembre-se, o primeiro termo pode ser reescrito como um sobre dois menos 𝑥 vezes três mais 𝑥. E estamos subtraindo esse segundo termo, que acabamos de reescrever como 𝑥 sobre dois menos 𝑥 em três mais 𝑥. Então, temos o nosso denominador comum aqui. Então podemos combinar essas duas coisas em uma única fração.

E isso parece incrivelmente próximo do que realmente conseguimos mostrar, mas não é exatamente o mesmo. Em vez de 𝑥 menos um, temos um menos 𝑥. E em vez de 𝑥 menos dois, temos dois menos 𝑥. Mas nós temos 𝑥 mais três, três mais 𝑥, que são a mesma coisa. Três mais 𝑥 é o mesmo que 𝑥 mais três. Então temos que ser um pouco criativos aqui sobre o que faremos. Bem, o que poderíamos fazer é multiplicar o numerador e o denominador por menos um. E isso dá essas expressões, que quando eu as reorganizo, nos dão a resposta que estávamos procurando.

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