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Neste vídeo, aprenderemos como calcular a distância perpendicular entre um plano e um ponto, entre um plano e uma linha reta paralela a ele e entre dois planos paralelos usando uma fórmula.
Para encontrar a menor distância entre um ponto e um plano, primeiro precisamos determinar exatamente o que significa a menor distância entre esses dois objetos geométricos. Vamos começar considerando o plano com a equação geral 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐𝑧 mais 𝑑 igual a zero, junto com um ponto com coordenadas 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, 𝑧 sub um.
Para encontrar a menor distância entre esses dois objetos, vamos primeiro considerar a distância entre o ponto 𝑃 e um ponto 𝑅 que se encontra no plano. Podemos mostrar que essa não é a menor distância entre o ponto 𝑃 e o plano construindo o seguinte triângulo retângulo. Escolhemos um ponto 𝑄 no plano de modo que o segmento de reta 𝑃𝑄 seja perpendicular ao plano. Podemos então ver que o segmento de reta 𝑃𝑅 é a hipotenusa do triângulo retângulo, o que significa que é mais longo que os outros lados. Em particular, isso significa que o comprimento de 𝑃𝑄 é menor que 𝑃𝑅. E como podemos construir este triângulo para qualquer ponto 𝑅 que se encontra no plano, o segmento de reta 𝑃𝑄 é a menor distância entre o ponto 𝑃 e o plano.
Neste vídeo, vamos citar apenas a fórmula que pode ser usada para calcular essa distância que chamaremos de 𝐷. A distância mais curta, ou perpendicular, de algum ponto 𝑃 com coordenadas 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, 𝑧 sub um e um plano com equação 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐𝑧 mais 𝑑 igual a zero é igual ao valor absoluto de 𝑎𝑥 sub um mais 𝑏𝑦 sub um mais 𝑐𝑧 sub um mais 𝑑 todos divididos pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado.
Embora esteja fora do escopo desta aula, esta fórmula pode ser derivada usando nosso conhecimento de trigonometria de ângulo reto junto com o produto escalar, ou vetorial, de dois vetores, neste caso, os vetores 𝑃𝑄 e 𝑃𝑅. Vamos agora considerar um exemplo em que podemos usar essa fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano.
Encontre a distância entre o ponto menos cinco, menos oito, menos seis e o plano menos dois 𝑥 mais 𝑦 mais dois 𝑧 é igual a sete.
Nesta questão, somos solicitados a encontrar a distância entre um ponto e um plano. Lembramos que a distância entre um ponto e um plano significa a distância perpendicular, pois esta é a menor distância entre os dois objetos. Existe uma fórmula que nos ajuda a fazer isso. A distância perpendicular 𝐷 entre um ponto 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, 𝑧 sub um e o plano 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑑 é igual a zero é dada por 𝐷 é igual ao valor absoluto de 𝑎𝑥 sub um mais 𝑏𝑦 sub um mais 𝑐𝑧 sub um mais 𝑑 todos divididos pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado.
Recebemos um ponto com coordenadas menos cinco, menos oito e menos seis. Isso significa que 𝑥 sub um é igual a menos cinco, 𝑦 sub um é igual a menos oito e 𝑧 sub um é igual a menos seis. Notamos que a equação do plano é dada em um formato ligeiramente diferente do que é necessário. Ao subtrair sete de ambos os lados da equação, temos menos dois 𝑥 mais 𝑦 mais dois 𝑧 menos sete igual a zero. Como 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são os coeficientes de 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente, temos 𝑎 igual a menos dois, 𝑏 é igual a um e 𝑐 é igual a dois. 𝑑 é igual ao termo constante menos sete.
Agora podemos substituir esses valores na fórmula. O numerador simplifica para o valor absoluto de 10 mais menos oito mais menos 12 mais menos sete. E o denominador é a raiz quadrada de quatro mais um mais quatro. E isso, por sua vez, é igual ao valor absoluto de menos 17 sobre a raiz de nove. O valor absoluto de um número é sua distância de zero, então o valor absoluto de menos 17 é 17. E como a raiz quadrada de nove é três, temos 𝐷 igual a 17 sobre três. E podemos, portanto, concluir que a distância entre o ponto menos cinco, menos oito, menos seis e o plano menos dois 𝑥 mais 𝑦 mais dois 𝑧 é igual a sete é 17 sobre três unidades de comprimento.
Nesta questão, calculamos a distância entre um ponto e um plano. Vamos agora considerar como podemos adaptar nossa fórmula para encontrar a distância entre uma linha reta e um plano. Se a equação do nosso plano é dada na forma vetorial em oposição à forma geral, ainda podemos usar a mesma fórmula para encontrar a menor distância entre um ponto e um plano. Podemos usar o mesmo processo para encontrar a menor distância entre uma reta e um plano, lembrando que se uma reta e um plano não são paralelos e não coincidentes, eles se cruzam, o que significa que a distância entre eles seria zero.
Então, se eles são paralelos e distintos, podemos mostrar que a menor distância entre eles é a distância perpendicular entre qualquer ponto da reta e o plano. No diagrama mostrado, escolhemos um ponto arbitrário 𝑃 com coordenada 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, 𝑧 sub um que se encontra na reta, junto com um ponto arbitrário 𝑅 que se encontra no plano. Mais uma vez, vemos que o segmento de reta 𝑃𝑅 é a hipotenusa de um triângulo retângulo, o que significa que o comprimento do segmento de reta 𝑃𝑄 é a menor distância para o plano.
Isso pode ser resumido da seguinte maneira. A menor distância 𝐷 entre uma reta paralela e um plano onde 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, 𝑧 sub um é qualquer ponto da reta e o plano tem a equação o produto escalar do vetor 𝐫 e o vetor 𝐚, 𝐛, 𝐜 é igual a menos 𝑑 é dado por 𝐷 maiúsculo é igual ao valor absoluto de 𝑎𝑥 sub um mais 𝑏𝑦 sub um mais 𝑐𝑧 sub um mais 𝑑 todos divididos pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado. Vamos agora ver um exemplo em que precisamos calcular essa distância.
Encontre a distância perpendicular entre a reta 𝐫 que é igual a um, dois, quatro mais 𝑡 multiplicado por menos dois, um, quatro e o plano que é igual ao produto escalar de 𝐫 e dois, zero, um é igual a um.
Essa questão envolve encontrar a distância perpendicular, ou a mais curta, entre uma reta e um plano. Tanto a reta quanto o plano são dados atualmente em forma vetorial. Ao considerar uma reta e um plano, existem duas possibilidades. Em primeiro lugar, a reta é paralela ao plano. Ou em segundo lugar, cruza o plano. Se a reta interceptar o plano, a menor distância entre eles é igual a zero. Isso significa que a primeira pergunta que precisamos fazer é: a reta e o plano se cruzam ou são paralelos? Vamos começar considerando a equação da reta. Isso pode ser reescrito como 𝐫 é igual a um menos dois 𝑡, dois mais 𝑡, quatro mais quatro 𝑡.
Agora podemos substituir esse vetor na equação do plano. Temos o ponto, ou produto escalar de um menos dois 𝑡, dois mais 𝑡, quatro mais quatro 𝑡 e dois, zero, um é igual a um. Encontrar o produto escalar nos dá a seguinte equação, e isso simplifica para dois menos quatro 𝑡 mais quatro mais quatro 𝑡 é igual a um. No lado esquerdo, os quatro 𝑡s se cancelam e ficamos com seis iguais a um. Isso está incorreto e, portanto, não é verdade para qualquer valor de 𝑡. E podemos, portanto, concluir que a reta e o plano não se cruzam e devem, portanto, ser paralelos.
A menor distância entre a reta e o plano pode, portanto, ser encontrada tomando qualquer ponto 𝑃 que se encontra na reta e encontrando a distância perpendicular ao plano. Para encontrar o vetor posição de qualquer ponto que esteja na reta, podemos substituir qualquer valor de 𝑡 em nossa equação. Por exemplo, quando 𝑡 é igual a zero, 𝐫 é igual a um, dois, quatro. Isso significa que o ponto com coordenadas um, dois, quatro está na reta. E vamos deixar isso ser o ponto 𝑃.
Vamos agora lembrar a fórmula que nos permite calcular a perpendicular, ou a distância mais curta, de um ponto a um plano. Quando a equação do plano é escrita em forma vetorial, como neste caso, a distância perpendicular 𝐷 maiúscula é igual ao valor absoluto de 𝑎𝑥 sub um mais 𝑏𝑦 sub um mais 𝑐𝑧 sub um mais 𝑑 todos divididos pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado. Os valores de 𝑥 sub um, 𝑦 sub um e 𝑧 sub um são um, dois e quatro, respectivamente. Da equação vetorial do plano, temos 𝑎 igual a dois, 𝑏 igual a zero e 𝑐 igual a um. Como menos 𝑑 é igual a um, 𝑑 é igual a menos um.
Substituindo em nossos valores, temos a distância 𝐷 é igual ao valor absoluto de dois multiplicado por um mais zero multiplicado por dois mais um multiplicado por quatro mais menos um todos divididos pela raiz quadrada de dois ao quadrado mais zero ao quadrado mais um ao quadrado. Isso simplifica para o valor absoluto de cinco dividido pela raiz quadrada de cinco, que por sua vez é igual a cinco sobre a raiz de cinco. Podemos então racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador pela raiz de cinco. Isso é igual a cinco, raiz de cinco sobre cinco, o que simplifica para raiz de cinco. A distância perpendicular entre a reta e o plano dados é a raiz de cinco unidades de comprimento.
Nosso exemplo final neste vídeo envolverá o uso da fórmula para encontrar a distância entre dois planos paralelos. Vamos primeiro considerar como isso pode ser feito. Começaremos tomando um ponto arbitrário 𝑃 em um dos planos. Podemos então calcular a distância perpendicular entre este ponto e o outro plano como antes. No exemplo a seguir, as equações dos planos serão dadas de forma geral. No entanto, é importante notar que podemos usar a mesma fórmula quando as equações são dadas na forma vetorial.
Encontre a distância entre os dois planos menos 𝑥 menos dois 𝑦 menos dois 𝑧 é igual a menos dois e menos dois 𝑥 menos quatro 𝑦 menos quatro 𝑧 é igual a três.
Nesta questão, somos solicitados a encontrar a distância entre dois planos. Isso significa que precisamos encontrar a distância perpendicular, ou mais curta, entre os dois planos. Ao lidar com dois planos, se eles não forem paralelos, eles se cruzarão e a distância entre eles será, portanto, igual a zero. Isso significa que a primeira pergunta que precisamos fazer é: os planos são paralelos? Uma maneira de fazer isso é considerar os vetores normais dos dois planos. Estes são iguais aos coeficientes de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 quando a equação do plano é escrita na forma geral. O primeiro plano tem vetor normal menos um, menos dois, menos dois. E o segundo plano tem vetor normal menos dois, menos quatro e menos quatro. Como esses dois vetores são múltiplos escalares um do outro, podemos concluir que os dois planos são paralelos.
Vamos agora lembrar como podemos encontrar a distância entre dois planos paralelos. Se escolhermos um ponto 𝑃 em um dos planos, podemos calcular a distância 𝐷 entre os dois planos, calculando a distância entre o ponto 𝑃 e o outro plano. Isso satisfaz a fórmula 𝐷 é igual ao valor absoluto de 𝑎𝑥 sub um mais 𝑏𝑦 sub um mais 𝑐𝑧 sub um mais 𝑑 todos divididos pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado, onde o ponto 𝑃 tem coordenadas 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, 𝑧 sub um e o plano tem a equação 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐𝑧 mais 𝑑 é igual a zero.
Começamos encontrando as coordenadas de qualquer ponto que se encontre no primeiro plano. Uma maneira de fazer isso é escolher o ponto em que 𝑥 é igual a zero e 𝑦 é igual a zero. Substituindo esses valores na equação do primeiro plano, temos menos zero menos dois multiplicado por zero menos dois 𝑧 é igual a menos dois. Isso simplifica para menos dois 𝑧 é igual a menos dois. E dividindo por menos dois, temos 𝑧 que é igual a um. Isso significa que as coordenadas de um ponto que está no primeiro plano são zero, zero, um. E agora temos valores de 𝑥 sub um, 𝑦 sub um e 𝑧 sub um que podemos substituir em nossa fórmula.
Ao considerar a equação do segundo plano, vemos que 𝑎 é igual a menos dois e 𝑏 e 𝑐 são iguais a menos quatro. Esses são os coeficientes de 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente. Observando que para encontrar 𝐷, precisamos que a equação do plano seja igual a zero, vemos que 𝐷 é igual a menos três. Substituindo nossos valores na fórmula, temos a distância 𝐷 igual ao valor absoluto de menos dois multiplicado por zero mais menos quatro multiplicado por zero mais menos quatro multiplicado por um mais menos três todos divididos pela raiz quadrada de menos dois ao quadrado mais menos quatro ao quadrado mais menos quatro ao quadrado. Isso é igual ao valor absoluto de menos sete sobre a raiz quadrada de 36, que por sua vez é igual a sete sobre seis.
Podemos, portanto, concluir que a distância entre os dois planos dados é de sete sobre seis unidades de comprimento.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. A distância 𝐷 entre o ponto 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, 𝑧 sub um e o plano 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑑 é igual a zero é dada por 𝐷 é igual ao valor absoluto de 𝑎𝑥 sub um mais 𝑏𝑦 sub um mais 𝑐𝑧 sub um mais 𝑑 todos divididos pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado. Podemos usar a mesma fórmula quando a equação do plano é dada na forma vetorial de modo que o ponto, ou escalar, produto do vetor 𝐫 e vetor 𝐚, 𝐛, 𝐜 é igual a menos 𝑑, onde 𝐚, 𝐛, 𝐜 é um vetor normal ao plano.
Também vimos que a distância entre uma reta paralela a um plano e esse plano é igual à distância entre qualquer ponto da reta e o plano. De maneira semelhante, a distância entre dois planos paralelos é igual à distância entre qualquer ponto em um dos planos e o outro plano. É importante notar que quando falamos sobre essa distância 𝐷, queremos dizer a distância mais curta, ou perpendicular, entre os dois objetos.
