Pop Video: Por Que 𝜋 Está Aqui? E Por Que é ao Quadrado? Uma Resposta Geométrica ao Problema de Basileia

Video Transcript

Eu acho que você nunca teve a experiência do seu batimento cardíaco aumentando de excitação enquanto imagina um lago infinitamente grande com faróis ao redor. Bem, se você sentir algo como eu sobre matemática, isso vai mudar até o final deste vídeo.

Pegue um mais um quarto mais um nono mais um dezesseis avos e assim por diante, onde você está adicionando os inversos do próximo número quadrado. O que essa soma aproxima à medida que você continua adicionando mais e mais termos? Agora, esse é um desafio que permaneceu sem solução por 90 anos após a sua colocação inicial, até que finalmente foi Euler quem achou a resposta, surpreendentemente, sendo 𝜋 ao quadrado dividido por seis. Quero dizer, isso não é loucura? O que 𝜋 está fazendo aqui e por que é ao quadrado? Geralmente não vemos isso ao quadrado. Em homenagem a Euler, cuja cidade natal era Basileia, essa soma infinita é frequentemente chamada de problema de Basileia. Mas a prova de que gostaria de mostrar a você é muito diferente da que Euler tinha.

Eu disse em um vídeo anterior que, sempre que você ver 𝜋 aparecer, haverá alguma conexão com os círculos. E há quem goste de dizer que 𝜋 não é fundamentalmente sobre círculos. E insistir em conectar equações como essas com a intuição geométrica deriva de uma insistência obstinada em entender apenas 𝜋 no contexto em que a descobrimos pela primeira vez. E isso tudo é bom. Mas, qualquer que seja sua perspectiva fundamental, o fato é que 𝜋 está muito ligado a círculos. Portanto, se você vê isso aparecer, haverá um caminho em algum lugar na enorme rede interconectada da matemática levando-o de volta aos círculos em geometria.

A questão é exatamente quanto tempo e complicado esse caminho pode ser. E no caso do problema de Basileia, é muito menor do que você imagina. E tudo começa com a luz. Aqui está a ideia básica. Imagine estar na origem de uma reta numérica positiva e colocar um pequeno farol em todos os números inteiros positivos: um, dois, três, quatro e assim por diante. Esse primeiro farol tem um brilho aparente do seu ponto de vista, uma quantidade de energia que seu olho está recebendo da luz por unidade de tempo. E vamos chamar isso de brilho um.

Por razões que explicarei em breve, o brilho aparente do segundo farol é um quarto do que o primeiro. E o brilho aparente do terceiro é um nono do que o primeiro e depois um dezesseis avos e assim por diante. E você provavelmente pode ver por que isso é útil para o problema de Basileia. Isso nos dá uma representação física do que está sendo solicitado, já que o brilho recebido de toda a reta infinita de faróis será um mais um quarto mais um nono mais um dezesseis avos e assim por diante. Portanto, o resultado que pretendemos mostrar é que esse brilho total é igual a 𝜋 ao quadrado dividido por seis vezes o brilho do primeiro farol.

E a princípio isso pode parecer inútil. Quero dizer, estamos apenas respondendo a mesma pergunta original. Mas o progresso vem de uma nova pergunta que esse enquadramento levanta. Existem maneiras de reorganizar esses faróis que não alteram o brilho total do observador? E se sim, você pode mostrar que isso é equivalente a uma configuração que é mais fácil de calcular? Para começar, vamos esclarecer o que queremos dizer quando referimos “brilho aparente” a um observador.

Imagine uma pequena tela que, talvez, represente a retina do seu olho ou um sensor de câmera digital, algo assim. Você poderia perguntar, que proporção dos raios que saem da fonte atingem a tela? Ou, em outras palavras, qual é o ângulo entre o raio que atinge a parte inferior da tela e o raio que atinge o topo? Ou melhor, já que deveríamos pensar nessas luzes como estando em três dimensões, pode ser mais preciso perguntar: qual é o ângulo que a luz cobre em ambas as direções perpendicularmente à fonte?

Na geometria esférica, às vezes você fala sobre o ângulo sólido de uma forma, que é a proporção de uma esfera que ela cobre como vista de um determinado ponto. Veja bem, o primeiro de dois lugares desta história em que o pensamento em telas será útil é entender a lei do inverso do quadrado, que é um fenômeno distintamente tridimensional. Pense em todos os raios de luz atingindo uma tela a uma unidade da fonte. Ao dobrar a distância, esses raios agora cobrirão uma área com o dobro da largura e o dobro da altura. Portanto, seriam necessárias quatro cópias dessa tela original para receber os mesmos raios a essa distância. E assim, cada indivíduo recebe um quarto da quantidade de luz.

É nesse sentido que quero dizer que uma luz pareceria um quarto tão brilhante quanto duas vezes a distância. Da mesma forma, quando você estiver três vezes mais longe, precisará de nove cópias dessa tela original para receber os mesmos raios. Portanto, cada tela individual recebe apenas um nono da quantidade de luz. E esse padrão continua. Como a área atingida por uma luz aumenta pelo quadrado da distância, o brilho dessa luz diminui pelo quadrado inverso dessa distância. E como tenho certeza que muitos de vocês sabem, essa lei do inverso do quadrado não é de todo especial à luz. Aparece sempre que você tem algum tipo de quantidade que se espalha uniformemente a partir de uma fonte pontual, seja som, calor ou sinal de rádio, coisas assim.

E lembre-se, é por causa dessa lei do inverso do quadrado que uma infinidade de faróis uniformemente espaçados implementa fisicamente o problema da Basileia. Mas, novamente, o que precisamos para fazer algum progresso aqui é entender como podemos manipular configurações com fontes de luz como essa sem alterar o brilho total para o observador. E o principal elemento construtivo é uma maneira especialmente agradável de transformar um único farol em dois.

Pense em um observador na origem do plano 𝑥𝑦 e em um único farol situado em algum lugar desse plano. Agora, desenhe uma linha daquele farol para o observador e, em seguida, outra linha perpendicular àquela no farol. Agora, coloque dois faróis onde esta nova linha cruza os eixos de coordenadas, que irei adiante e chamarei de farol 𝐴 aqui à esquerda e farol 𝐵 no lado superior. Acontece, e você verá por que isso é verdade em apenas um minuto, o brilho que o observador experimenta naquele primeiro farol é igual ao brilho combinado experimentado pelos faróis 𝐴 e 𝐵 juntos.

E devo dizer, a propósito, que a suposição permanente ao longo deste vídeo é que todos os faróis são equivalentes. Eles estão usando a mesma lâmpada, emanando a mesma energia, tudo isso. Então, em outras palavras, atribuindo variáveis ​​às coisas aqui, se chamarmos a distância do observador do farol de 𝑎 pequeno 𝑎 e a distância do observador ao farol de 𝑏 pequeno 𝑏 e a distância do primeiro farol ℎ, teremos a relação um sobre 𝑎 ao quadrado mais um sobre 𝑏 ao quadrado é igual a um sobre ℎ ao quadrado. Este é o teorema mais recente de Pitágoras inverso, muito menos conhecido, que alguns de vocês podem reconhecer de Mathologer, e eu direi o vídeo mais excelente sobre os muitos primos do teorema de Pitágoras. Relação bem legal, você não acha?

E se você é um matemático de coração, pode estar perguntando agora como provar isso. E existem algumas maneiras simples de expressar a área dos triângulos de duas maneiras separadas e aplicar o teorema de Pitágoras usual. Mas há outro método bastante bonito que gostaria de resumir aqui que se encaixa muito melhor em nossa história, porque, novamente, ele usa intuições de luz e telas.

Imagine reduzir todo o triângulo retângulo para uma versão menor. E pense nessa hipotenusa em miniatura como uma tela que recebe luz do primeiro farol. Se você remodelar essa tela para ser a combinação dos dois catetos do triângulo em miniatura, assim, ainda receberá a mesma quantidade de luz, certo? Quero dizer, os raios de luz que atingem uma dessas duas pernas são exatamente os mesmos que atingem a hipotenusa. A chave é que a quantidade de luz do primeiro farol que atinge este lado esquerdo, o ângulo limitado de raios que acaba atingindo a tela, é exatamente o mesmo que a quantidade de luz que vem aqui do farol 𝐴 que atinge esse lado. Terá os mesmos ângulos de raios.

E simetricamente, a quantidade de luz da primeira casa atingindo a parte inferior da tela é a mesma que a quantidade de luz que atinge essa parte do farol 𝐵. Você pode perguntar por quê. Bem, é uma questão de triângulos semelhantes. Essa animação já oferece uma forte dica de como funciona. Também deixamos um link na descrição para um aplicativo simples o GeoGebra para aqueles que desejam refletir sobre isso em um ambiente um pouco mais interativo. E, ao brincar com isso, um fato importante aqui que você poderá ver é que os triângulos semelhantes se aplicam apenas no caso limitante a uma tela muito pequena.

Tudo bem, aperte o cinto agora porque aqui é onde as coisas ficam boas. Temos esse teorema de Pitágoras inverso, certo? E isso nos permitirá transformar um único farol em outros dois sem alterar o brilho experimentado pelo observador. Com isso em mãos e pouca inteligência, podemos usar isso para criar a matriz infinita de que precisamos. Imagine-se na beira de um lago circular em frente a um farol. Queremos que seja a distância entre você e o farol ao longo da beira do lago. Então, vamos dizer que o lago tem um comprimento de circunferência de dois.

Agora, o brilho aparente é aquele dividido pelo diâmetro ao quadrado. E, neste caso, o diâmetro é esse comprimento de circunferência, dois, dividido por 𝜋. Portanto, o brilho aparente é 𝜋 ao quadrado dividido por quatro. Agora, para nossa primeira transformação, desenhe um novo círculo duas vezes maior, então o comprimento de circunferência é quatro e desenhe uma reta tangente no topo do pequeno círculo. Em seguida, substitua o farol original por dois novos onde essa reta tangente cruza o círculo maior. Um fato importante da geometria que usaremos repetidamente aqui é que, se você pegar o diâmetro de um círculo e formar um triângulo com qualquer ponto do círculo, o ângulo nesse novo ponto terá sempre 90 graus. O significado disso em nosso diagrama aqui é que isso significa que o teorema de Pitágoras inverso se aplica. E o brilho desses dois novos faróis é igual ao brilho do primeiro; ou seja, 𝜋 ao quadrado dividido por quatro.

Como próximo passo, desenhe um novo círculo duas vezes maior que o anterior com um comprimento de circunferência oito. Agora, para cada farol, faça uma reta desse farol até o topo do círculo menor, que é o centro do círculo maior, e considere os dois pontos em que isso cruza com o círculo maior. Novamente, como essa linha é o diâmetro desse círculo grande, as linhas desses dois novos pontos para o observador formarão um ângulo reto. Da mesma forma, olhando para este triângulo retângulo aqui, cuja hipotenusa é o diâmetro do círculo menor, você pode ver que a linha do observador até o farol original está em um ângulo reto, com uma nova linha longa que desenhamos. Boas notícias, certo? Porque isso significa que podemos aplicar o teorema de Pitágoras inverso. E isso significa que o brilho aparente do farol original é o mesmo que o brilho combinado dos dois novos.

E, é claro, você pode fazer a mesma coisa do outro lado, traçando uma linha na parte superior do círculo menor e colocando dois faróis novos no círculo maior. E ainda melhor, esses quatro faróis serão espaçados uniformemente ao redor do lago. Por quê? Bem, as linhas desses faróis para o centro estão em ângulos de 90 graus entre si. Portanto, como as coisas são simétricas da esquerda para a direita, isso significa que as distâncias ao longo do comprimento da circunferência são um, dois, dois, dois e um. Tudo bem, você pode ver para onde isso está indo. Mas eu quero passar por isso por apenas mais um passo.

Você desenha um círculo duas vezes maior, então o comprimento da circunferência é 16 agora. E para cada farol, você desenha uma linha daquele farol através da parte superior do círculo menor, que é o centro do círculo maior. E então, crie dois novos faróis onde essa linha cruza com o círculo maior. Assim como antes, porque a linha longa é o diâmetro do grande círculo, esses dois faróis novos fazem um ângulo reto com o observador, certo? E, como antes, a linha do observador ao farol original é perpendicular à linha longa.

E esses são os dois fatos que justificam usar o teorema de Pitágoras inverso. Mas o que pode não ser tão claro é que, quando você faz isso para que todos os faróis tenham oito novos no grande lago, esses oito faróis novos serão espaçados igualmente. Este é o bit final de impermeabilidade da geometria antes do impulso final. Para ver isso, lembre-se de que, se você desenhar linhas de dois faróis adjacentes no pequeno lago até o centro, eles formarão um ângulo de 90 graus. Se, em vez disso, você desenhar linhas para um ponto em qualquer lugar da circunferência do círculo, isso não está entre elas, o teorema do ângulo inscrito da geometria nos mostra que isso será exatamente metade do ângulo que eles fazem com o centro, neste caso 45 graus.

Mas, quando posicionamos esse novo ponto no topo do lago, essas são as duas linhas que definem a posição dos novos faróis no lago maior. O que isso significa, então, é que, quando você desenha linhas desses oito novos faróis para o centro, elas dividem o círculo igualmente em partes de ângulos de 45 graus. E isso significa que os oito faróis estão uniformemente espaçados ao redor do comprimento da circunferência, com uma distância de dois entre cada um deles. E agora, imagine essa coisa tocando a cada passo dobrando o tamanho de cada círculo e transformando cada farol em dois novos ao longo de uma linha traçada através do centro do círculo maior. A cada passo, o brilho aparente para o observador permanece o mesmo, 𝜋 ao quadrado sobre quatro. E a cada passo, os faróis permanecem igualmente espaçados, com uma distância dois entre cada um deles no comprimento da circunferência.

E, no limite, o que estamos chegando aqui é uma linha horizontal plana com um número infinito de faróis espaçados igualmente nas duas direções. E como o brilho aparente foi 𝜋 ao quadrado sobre quatro por todo o caminho, isso também será verdadeiro neste caso limitante. E isso nos dá uma série infinita bastante impressionante. A soma dos quadrados inversos um sobre 𝑛 ao quadrado, onde 𝑛 cobre todos os números ímpares — um, três, cinco e assim por diante, mas também menos um, menos três, menos cinco, geralmente a direção à esquerda. Se somarmos tudo isso, vai dar 𝜋 ao quadrado sobre quatro.

Isso é incrível! E é o cerne do que eu quero lhe mostrar. E dê um passo atrás e pense em como isso parece irreal. A soma de frações simples que, à primeira vista, não têm nada a ver com geometria, aparentemente nada com círculos, aparentemente, nos dá esse resultado relacionado a 𝜋. Exceto agora, você pode realmente ver o que isso tem a ver com geometria. A reta numérica é como um limite de círculos sempre crescentes. E quando você soma essa reta numérica, certificando-se de somar até o infinito de ambos os lados, é como se você estivesse somando ao longo da fronteira de um círculo infinitamente grande, de uma maneira muito ruim, mas muito divertida de falar.

“Mas espere!”, Você pode dizer. Esta não é a soma que você nos prometeu no início do vídeo. E, bem, você está certo. Ainda temos um pouco de pensamento. Primeiramente, vamos restringir essa soma apenas aos números ímpares positivos, o que nos leva a 𝜋 ao quadrado dividido por oito. Agora, a única diferença entre isso e a soma que estamos procurando que ultrapassa todos os números inteiros positivos, ímpares e pares, é que falta a soma dos inversos dos números pares, que estou colorindo em vermelho aqui. Agora, você pode pensar nessa série como uma cópia em escala da série total que queremos, onde cada farol passa a estar duas vezes mais longe da origem. Um é deslocado para dois; dois são deslocados para quatro; três passa para seis e assim por diante.

E porque isso envolve dobrar a distância para cada farol, significa que o brilho aparente seria diminuído em um fator de quatro. E isso também é álgebra relativamente direta. Passar da soma de todos os números inteiros para a soma dos números pares envolve multiplicar por um quarto. E o que isso significa é que ir de todos os números inteiros para os ímpares seria multiplicar por três quarto, uma vez que os pares mais os ímpares têm que nos dar a coisa toda. Portanto, se apenas revirarmos isso, isso significa que passar da soma dos números ímpares para a soma de todos os números inteiros positivos requer multiplicar por quatro terços. Então, considerando o quadrado de oito, multiplicado por quatro terços, bada boom bada bing! Temos uma solução para o problema da Basileia.