Vídeo: Trigonometria: Utilizando Tangentes

Aprenda como encontrar o tamanho de um ângulo em um triângulo retângulo utilizando a razão tangente. Aplique esse conhecimento para encontrar o lado oposto ou adjacente e também na resolução de problemas contextualizados.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver a razão trigonométrica tangente. E vamos ver como pode ser utilizada para determinar o comprimento dos lados em falta ou a amplitude dos ângulos em falta em triângulos retângulos.

Agora, primeiro, vamos ver o que é a razão tangente. Aqui vês que desenhei um triângulo retângulo. E designei um dos outros dois ângulos com a letra grega 𝜃. Agora, muitas vezes, o primeiro passo em qualquer questão que envolve trigonometria é identificar os nomes dos três lados em relação ao ângulo que estamos interessados. Portanto, neste caso, isto é em relação a este ângulo 𝜃.

Num triângulo retângulo, lembra-te, o lado mais comprido, o lado oposto ao ângulo reto, é sempre designado por hipotenusa. Então, este é este lado aqui. Os outros dois lados num triângulo retângulo são chamados de cateto oposto e cateto adjacente. E estes nomes dependem da posição deles em relação a este ângulo 𝜃.

Então, o cateto oposto é o lado oposto ao ângulo 𝜃. É o único lado que não está envolvido em fazer este ângulo. Então, para este triângulo, é este lado aqui. Finalmente, o cateto adjacente é o lado entre o ângulo e o ângulo reto. Então, este é o terceiro lado aqui.

A trigonometria é toda sobre as diferentes razões que existem entre estes pares de lados, os valores específicos deste ângulo 𝜃. Provavelmente já conheceste as duas razões trigonométricas seno e cosseno, ou sen e cos, como geralmente são abreviadas. Neste vídeo, estamos a ver para a razão tangente, ou tan, como também é conhecida.

Portanto, a razão tangente para um ângulo específico 𝜃 é a razão entre os catetos oposto e adjacente. E assim, é sempre calculado dividindo o comprimento do cateto oposto pelo comprimento do cateto adjacente.

Se estás familiarizado com SOHCAHTOA na trigonometria, então esta é a parte do TOA aqui. Tan de um ângulo é igual a O, o oposto, dividido por A, o adjacente. Então, se sabemos o comprimento de um desses dois catetos e sabemos o ângulo, podemos utilizar esta razão aqui para calcular o comprimento do outro cateto.

A outra coisa que podemos querer fazer é calcular a amplitude do ângulo quando sabemos o oposto e o adjacente. E para fazer isso, precisamos de algo chamado de inversa da tangente.

Agora isto é escrito utilizando esta notação aqui, tan e, em seguida, menos um sobrescrito. E isto diz-nos que o ângulo 𝜃 é igual à inversa da tan do oposto sobre o adjacente. O que isto significa é que se eu sei qual é a razão entre estes dois pares de lados, isto permite-me trabalhar de trás para a frente para descobrir qual é o ângulo que cria esta razão.

Então, estes são os dois principais factos que precisamos de lembrar ao longo deste vídeo. Agora veremos como aplicá-los ao cálculo de alguns comprimentos em falta e alguns ângulos em falta em triângulos retângulos.

Então, aqui está o nosso primeiro problema. Temos um diagrama de um triângulo retângulo. E pedimos para determinar o valor de 𝑥 arredondado às décimas. Olhando para o diagrama, podemos ver que 𝑥 representa um lado em falta. Eu também tenho o comprimento de um lado e a amplitude de um destes ângulos, além do ângulo reto.

Portanto, o meu primeiro passo com qualquer questão de trigonometria é sempre identificar os três lados com seus nomes: a hipotenusa, o cateto adjacente e o cateto oposto. Então eu utilizei a primeira letra de cada uma destas palavras para identificá-los.

Agora vamos relembrar esta definição da razão tangente. E, lembra-te, que tan de 𝜃, o ângulo, é igual ao oposto dividido pelo adjacente.

Então, o que vou fazer é anotar esta razão para este triângulo específico. Eu vou substituir 𝜃, que é o ângulo com 38 graus. E vou substituir o oposto por quatro, porque este é o comprimento no diagrama. E eu vou substituir o adjacente por 𝑥 porque esta é a identificação que lhe foi dada.

Agora tenho esta equação aqui: tan de 38 é igual a quatro sobre 𝑥. Portanto, esta é uma equação que posso resolver para calcular o valor desta letra em falta 𝑥.

Então, 𝑥 está no denominador de uma fração no membro direito. Então, para trazê-lo para fora do denominador, vou multiplicar ambos os membros desta equação por 𝑥. Então quando faço isso, fico com 𝑥 tan 38 igual a quatro.

Agora, a fim de descobrir quanto 𝑥 é, o próximo passo é simplesmente dividir ambos os membros desta equação por tan 38. Tan 38 é apenas um número. Então eu posso fazer isto. E dá-me 𝑥 é igual a quatro dividido por tan 38.

Agora vamos precisar de uma calculadora para responder a esta questão. A sua calculadora tem os valores de sin, cos e tan para todos estes ângulos diferentes já programados. Então, eu posso digitar tan 38 na minha calculadora. E isso vai dizer-me esse valor.

Existem alguns ângulos - 30 graus, 45 graus, 60 graus - para os quais os valores destas razões de sen, cos e tan são relativamente diretos. E podem ser escritos exatamente como irracionais. Para estes ângulos, é possível fazer trigonometria sem uma calculadora. Contudo, precisaremos dela neste exemplo.

Então, na minha calculadora, vou digitar 4 a dividir por 38. E quando faço isso, diz-me que 𝑥 é igual a 5.119766 e assim por diante, este número decimal aqui.

Agora, vale a pena dizer aqui que o ângulo que me foi dado foi medido em graus. Eu preciso de ter a certeza de que minha calculadora está em modo graus. E assim é quando se faz trigonometria. Precisas de confirmar que tua calculadora está no mesmo modo que as unidades dos ângulos na questão.

Agora, esta questão pediu o valor de 𝑥 às décimas. Então, eu preciso de arredondar minha resposta. Tenho que 𝑥 é igual a 5.1.

Assim, relembrando o que fizemos, recordámos a definição desta razão tangente. Em seguida, substituímos os valores fornecidos na questão nos locais relevantes e resolvemos a equação resultante para determinar o valor que estávamos à procura.

Ok, a próxima questão, dão-nos um diagrama de um triângulo retângulo. E temos dois lados desta vez. A questão pede-nos para determinar o valor de 𝜃 arredondado às unidades do grau. Então, desta vez, é-nos solicitado determinar um ângulo em vez da medida de um lado.

O meu primeiro passo será identificar os três lados deste triângulo retângulo com as letras a representar as suas designações. Cá estão. Tens que ser um pouco cuidadoso com isto, porque, lembra-te, os triângulos podem ser desenhados em várias orientações diferentes. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto. Mas precisas de pensar cuidadosamente sobre o cateto adjacente e o cateto oposto, dependendo do ângulo que foi identificado.

Então, relembremos a nossa definição da razão tangente. E aqui está: tan de 𝜃, o ângulo, é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Vou utilizar esta razão. E vou substituir os valores conhecidos dos catetos oposto e adjacente.

Então, fica tan deste ângulo é igual a 5.2 dividido por 2.8. Agora, como desta vez estamos a tentar calcular um ângulo, precisamos de utilizar a função inversa da tan que diz que, sabendo qual é razão, preciso trabalhar de trás para frente para calcular o ângulo para o qual essa razão pertence.

E assim fica o ângulo 𝜃 é igual à inversa da tan de 5.2 sobre 2.8. Poderias ter vindo diretamente para esta fase de trabalho, se assim preferires.

Ora, nesta fase, precisarei de utilizar minha calculadora para calcular isto. Esta opção inversa da tan geralmente está localizada logo por cima do botão tan. Terás que pressionar shift para chegar selecioná-la. Mas isso dependerá da calculadora que tiveres.

Portanto, inserindo-o na minha calculadora dá-me este valor decimal aqui. Mas pedem-me para determinar 𝜃 às unidades do grau, então preciso de arredondar minha resposta. Então, fica que 𝜃 deve ser igual a 62 graus.

Nessa questão começámos exatamente da mesma maneira. Mas como desta vez era um ângulo que estávamos à procura, em oposição ao comprimento de um lado, precisávamos de utilizar esta função inversa da tan.

Ok, a nossa última questão é um problema contextualizado. Então, vamos ler com cuidado. Uma escada inclina-se contra uma parede fazendo um ângulo de 15 graus com a parede. A base da escada está a 0.5 metros da base da parede. E a pergunta que nos é feita a que altura na parede está a escada.

Então, com uma questão como esta, se não nos for dado um diagrama, desenharei sempre o meu para começar. Então, vamos ter um diagrama de uma escada, uma parede e um solo. E estamos a assumir aqui que a parede é vertical e o chão é horizontal. Parece uma suposição razoável para esta questão.

Então aqui está um esboço da parede, do solo e da escada. Porque assumimos que a parede é vertical e o piso horizontal, sabemos que temos um ângulo reto aqui. Agora precisamos de colocar as informações que recebemos. Então disseram-nos que a escada faz um ângulo de 15 graus com a parede. Este ângulo aqui é de 15 graus. E também nos é dito que a base da escada está a 0.5 metros da base da parede. Então, esta medida aqui é de 0.5 metros.

Agora, é-nos pedido para determinar que altura na parede a escada alcança. Então, é-nos solicitado determinar esta medida aqui, que eu chamarei de 𝑦 metros. Aqui está o meu diagrama. E posso ver que na verdade é apenas um problema e torno de um triângulo retângulo. Então, vamos abordá-lo exatamente da mesma maneira que os anteriores. Vou começar por identificar os três lados como sempre.

Tenho a hipotenusa, o cateto adjacente e o cateto oposto. Agora vamos relembrar esta razão tangente que vamos precisar nesta questão. Tenho tan do ângulo 𝜃 igual ao oposto sobre o adjacente. Já deverás estar familiarizado com ela agora.

Tal como nas questões anteriores, vou escrever esta razão novamente. Mas vou preencher com as informações que conheço. Então, eu sei que o ângulo 𝜃 é 15. E eu sei, neste caso, que o oposto é 0.5.

Assim, tenho tan de 15 igual a 0.5 sobre 𝑦. Agora preciso de resolver esta equação para calcular o valor de 𝑦. 𝑦 está no denominador desta fração. Pelo que vou multiplicar ambos os membros por 𝑦 para trazê-lo para o numerador. E quando faço isso, fico com 𝑦 tan 15 igual a 0.5. Agora, lembra-te, tan 15 é apenas um número. Então eu posso dividir os dois membros da equação por isso. Fico com 𝑦 igual a 0.5 sobre tan 15.

Agora esta é a fase em que pego na minha calculadora para calcular isto. E diz-me que 𝑦 é igual a 1,86602 e por aí fora. Agora, preciso de escolher uma maneira sensata de arredondar esta resposta, pois não nos pediram um nível específico de precisão.

Então, a outra medida de 0.5 parece ser dada às décimas. Farei o mesmo nível de arredondamento para este valor de 𝑦. Então, fica 𝑦 igual a 1.9. E para responder à questão da altura na parede alcançada pela escada, eu coloco as unidades. Atinge 1.9 metros nesta parede.

Assim, para resumir, neste vídeo, vimos a definição de tangente como a razão entre os catetos oposto e adjacente de um triângulo retângulo. Vimos como aplicar a tangente e a inversa da tangente a problemas que envolvem triângulos retângulos para determinar um lado em falta ou um ângulo em falta. E vimos como aplicar isto num problema contextualizado.

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