Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como combinar as operações de matrizes como de adição, subtração, multiplicação escalar e transposição. Começaremos lembrando como realizamos cada uma dessas operações.
Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes de mesma ordem ou dimensão, elas podem ser adicionadas ou subtraídas. Se deixarmos 𝐴 e 𝐵 serem as matrizes dois por dois, como mostrado, podemos simplesmente adicionar ou subtrair as matrizes adicionando ou subtraindo suas componentes correspondentes. A matriz 𝐴 mais 𝐵 terá a mesma ordem, dois por dois, e terá as quatro componentes a seguir. Podemos calcular a matriz 𝐴 menos 𝐵 de maneira semelhante, subtraindo as componentes correspondentes. É importante notar que a matriz 𝐴 mais a matriz 𝐵 é igual a matriz 𝐵 mais a matriz 𝐴. No entanto, a matriz 𝐴 menos a matriz 𝐵 não é necessariamente igual à matriz 𝐵 menos a matriz 𝐴. Isso significa que a adição de matrizes é comutativa, enquanto a subtração não é. A matriz 𝐴 menos 𝐵 é realmente igual a menos um multiplicado pela matriz 𝐵 menos 𝐴.
Vamos agora lembrar como podemos multiplicar uma matriz por um escalar. Para multiplicar qualquer matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento ou componente pelo escalar. Podemos multiplicar uma matriz de qualquer ordem ou tamanho por um escalar. Vamos considerar a matriz dois por dois como mostrado. Podemos multiplicar essa matriz pelo escalar 𝑘. Isso dá a matriz dois por dois, como mostrado. Vamos agora lembrar o que queremos dizer com a transposição de uma matriz. A transposição de uma matriz é um operador que alterna as linhas e colunas. Ao lidar com uma matriz quadrada, simplesmente viramos a matriz sobre sua diagonal principal. A transposta de uma matriz é denotada com um expoente 𝑇. Geralmente é escrito em maiúscula, mas às vezes pode ser escrito com 𝑡 minúsculo. Ao encontrar a transposição de uma matriz dois por dois, os elementos nos cantos superior direito e inferior esquerdo trocam.
Vamos agora considerar a matriz retangular de três por dois 𝐵 como mostrado. Tem elementos 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧. Como estamos trocando as linhas e colunas, a transposição 𝐵 é uma matriz dois por três. Tem duas linhas e três colunas com elementos 𝑢, 𝑤, 𝑦, 𝑣, 𝑥, 𝑧. A primeira linha da matriz 𝐵 é a primeira coluna da transposta 𝐵. Da mesma forma, a primeira coluna da matriz 𝐵 é a primeira linha da transposta 𝐵. Isso pode ser resumido da seguinte maneira. Uma matriz com 𝑚 linhas e 𝑛 colunas terá uma transposição com 𝑛 linhas e 𝑚 colunas. Nesse caso, a matriz original terá ordem 𝑚 por 𝑛, enquanto a matriz transposta terá ordem 𝑛 por 𝑚. Isso é diferente de se realizar nas operações de adição, subtração e multiplicação escalar para matrizes retangulares em que a ordem permanece a mesma.
Vamos agora ver alguns exemplos em que precisamos realizar uma combinação dessas operações.
Dado que a matriz 𝐴 é igual a menos sete, cinco, menos quatro, menos dois; matriz 𝐵 é igual a um, zero, sete, menos dois, quanto é um terço multiplicado por 𝐴 mais 𝐵?
Lembramos que podemos adicionar duas matrizes se elas tiverem a mesma ordem. Nesse caso, a matriz 𝐴 e a matriz 𝐵 são matrizes quadradas dois por dois. Para adicionar duas matrizes da mesma ordem, simplesmente adicionamos seus componentes ou elementos correspondentes. Começando no canto superior esquerdo, menos sete mais um é igual a menos seis. Cinco mais zero é igual a cinco. Menos quatro mais sete é igual a três. E, finalmente, menos dois mais menos dois é igual a menos quatro. A matriz 𝐴 mais 𝐵 é igual a menos seis, cinco, três, menos quatro.
Somos solicitados a calcular um terço disso, então precisamos multiplicar a matriz pelo terço escalar. Isso pode ser feito multiplicando cada um dos elementos por um terço ou dividindo-os por três. Um terço multiplicado por menos seis é menos dois. Repetir esse processo para os outros elementos dá cinco terços, um e menos quatro terços. Se as matrizes 𝐴 e 𝐵 são iguais a menos sete, cinco, menos quatro, menos dois e um, zero, sete, menos dois, respectivamente, então um terço de 𝐴 mais 𝐵 é igual a menos dois, cinco terços, um , menos quatro terços. Embora não possamos provar isso neste vídeo, é importante notar que um terço multiplicado pela matriz 𝐴 mais 𝐵 é igual a um terço da matriz 𝐴 mais um terço da matriz 𝐵.
Em nosso próximo exemplo, precisaremos calcular a transposição de uma matriz dois por dois.
A matriz seis, menos quatro, menos três, dois menos a transposição da matriz cinco, menos três, menos quatro, um é igual a quê. É (A) um, menos oito, menos seis, um; (B) 11, zero, zero, três; (C) 𝐼; ou (D) 𝑂?
Antes de iniciar essa questão, vale lembrar quais opções (C) e (D) representam. 𝐼 é a matriz identidade. Esta é uma matriz quadrada com unidades na diagonal principal e zeros em outros lugares. A matriz identidade dois por dois tem elementos um, zero, zero, um. A opção (D) representa a matriz nula. Todos os elementos dentro desta devem ser iguais a zero. Portanto, a matriz nula dois por dois é igual a zero, zero, zero, zero.
Nossa pergunta aqui também contém a operação transposição. Para calcular a transposição de uma matriz, trocamos as linhas e as colunas. Ao lidar com uma matriz quadrada de dois por dois, invertemos a matriz sobre sua diagonal principal. Neste exemplo, os números menos três e menos quatro trocarão de lugar. A transposição da matriz cinco, menos três, menos quatro, um é cinco, menos quatro, menos três, um. Precisamos subtrair isso da matriz seis, menos quatro, menos três, dois.
Lembramos que ao subtrair duas matrizes, elas devem ser da mesma ordem, e simplesmente subtraímos os elementos ou componentes correspondentes. Seis menos cinco é igual a um. Menos quatro menos menos quatro é o mesmo que menos quatro mais quatro, que é igual a zero. Da mesma forma, menos três menos menos três é igual a zero. E dois menos um é igual a um. A matriz seis, menos quatro, menos três, dois menos a transposição da matriz cinco, menos três, menos quatro, um é igual a um, zero, zero, um. Como mencionado anteriormente, essa é a matriz identidade. Portanto, a resposta correta é a opção (C).
Em nosso próximo exemplo, precisamos encontrar a matriz ausente na equação.
Se menos três 𝑋 mais a matriz menos três, zero, nove, 12 é igual à matriz nula, então 𝑋 é igual a quê. É (A) um, zero, menos três, menos quatro; (B) menos um, zero, três, quatro; (C) três, zero, menos nove, menos 12; ou (D) menos três, zero, nove, 12?
Lembramos que a matriz nula tem todos os elementos iguais a zero. Portanto, a matriz nula dois por dois é igual a zero, zero, zero, zero. Existem muitas maneiras de resolver esse problema. Poderíamos dividir por três ou menos três. No entanto, neste exemplo, vamos deixar a matriz 𝑋 ser a matriz dois por dois com os elementos 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Para multiplicar qualquer matriz por um escalar, simplesmente multiplicamos cada um dos elementos ou componentes por esse escalar. Isso significa que a matriz menos três 𝑋 tem elementos negativos três 𝑎, menos três 𝑏, menos três 𝑐 e menos três 𝑑. Adicionando a matriz menos três, zero, nove, 12 a isso dará a matriz nula.
Podemos então configurar quatro equações lineares comparando os componentes ou elementos correspondentes. Em primeiro lugar, menos três 𝑎 mais menos três é igual a zero. Podemos adicionar três a ambos os lados de modo que menos três 𝑎 seja igual a três. Dividindo-se por menos três, 𝑎 é igual a menos um. Em seguida, podemos olhar para os elementos do canto superior direito. Isso dá menos três 𝑏 mais zero é igual a zero. Como menos três 𝑏 é igual a zero, dividindo ambos os lados por menos três dá 𝑏 que é igual a zero. Podemos repetir esse processo para a linha inferior, dando-nos valores de 𝑐 e 𝑑 iguais a três e quatro. A matriz 𝑋 é, portanto, igual a menos um, zero, três, quatro. Podemos, portanto, concluir que a resposta correta é a opção (B).
Vamos agora considerar um exemplo final em que olhamos para matrizes retangulares.
Dado que a matriz 𝑋 é igual a menos três, menos dois, um, cinco, menos oito, menos oito; matriz 𝑌 é igual a menos um, oito, menos nove, menos nove, sete, menos dois; e a matriz 𝑍 é igual a três, menos oito, menos sete, zero, menos oito, cinco, qual é a matriz três 𝑋 mais 𝑌 menos três 𝑍?
Lembramos que, para multiplicar qualquer matriz por um escalar, simplesmente multiplicamos cada um dos elementos ou componentes por esse escalar. Isso significa que a matriz três 𝑋 é igual a menos nove, menos seis, três, 15, menos 24, menos 24. Da mesma forma, a matriz três 𝑍 é igual a nove, menos 24, menos 21, zero, menos 24, 15. Precisamos adicionar a matriz 𝑌 a três 𝑋 e depois subtrair três 𝑍. Só podemos adicionar e subtrair matrizes quando elas tem a mesma ordem. Nesta questão, todas as três matrizes têm três linhas e duas colunas. Portanto, sua ordem é de três por dois.
Agora precisamos adicionar e subtrair os elementos ou componentes correspondentes. Menos nove mais menos um são menos 10. E subtrair nove disso dá menos 19. No canto superior direito, temos menos seis mais oito, que é igual a dois. E então subtrair menos 24 disso dá 26. Repetir esse método para nossos outros quatro elementos dá 15, seis, sete e menos 41. Se 𝑋, 𝑌 e 𝑍 são as matrizes dadas, então a matriz três 𝑋 mais 𝑌 menos três 𝑍 é igual a menos 19, 26, 15, seis, sete, menos 41. Observe que essa matriz tem a mesma ordem que nossas matrizes originais.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Adição e subtração de matrizes são bem definidas apenas entre matrizes da mesma ordem. Isso significa que só podemos adicionar ou subtrair matrizes se elas forem do mesmo tamanho. A adição e subtração de matriz é completar entrada a entrada. Isso significa que adicionamos ou subtraímos os componentes ou elementos correspondentes. A multiplicação de uma matriz por um escalar também é completar entrada por entrada. Podemos multiplicar uma matriz de qualquer ordem por qualquer escalar. Para qualquer matriz 𝐴 de ordem 𝑚 por 𝑛, a matriz transposta é de ordem 𝑛 por 𝑚. Isso significa que podemos realizar a transposição de qualquer matriz, seja ela quadrada ou retangular. A transposição da matriz simplesmente muda as linhas e colunas. Ao lidar com uma matriz quadrada, podemos virar a matriz sobre sua diagonal principal.
