Question Video: Derivando Funções Logarítmicas

Video Transcript

Encontre 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥, dado que 𝑦 é igual a seis log na base seis de seis 𝑥.

Precisamos derivar essa expressão envolvendo a função log base seis. Mas a única função logarítmica que sabemos como derivar é o logaritmo base 𝑒 — o logaritmo natural. 𝑑 por 𝑑𝑥 do logaritmo natural de 𝑥 é um sobre 𝑥. Não é imediatamente óbvio como derivar o logaritmo base seis. Mas se pudermos reescrever a expressão usando o logaritmo natural, saberemos como derivá-la.

Felizmente, temos a fórmula de mudança de base: o logaritmo base 𝑏 de 𝑥 é o logaritmo base 𝑎 de 𝑥 dividido pelo logaritmo base 𝑎 de 𝑏. E escolhendo 𝑎 sendo 𝑒, podemos escrever log base 𝑏 de 𝑥 em termos do logaritmo base 𝑒 — em outras palavras, o logaritmo natural. Em vez de escrever log base 𝑒, podemos usar o ln para nos lembrar que este é o logaritmo natural.

E também podemos expressar a regra usando 𝑐 em vez de 𝑥, é a mesma regra aqui, mas tudo isso nos poupa de confusão quando viemos substituí-la. Nós temos um log de base seis de seis 𝑥. Então, comparando isso com o log de base 𝑏 de 𝑐, vemos que 𝑏 é seis e 𝑐 é seis 𝑥. E assim, o log de base seis de seis 𝑥 é o logaritmo natural de seis 𝑥 sobre o logaritmo natural de seis.

Agora, podemos usar o fato de que a derivada de um número vezes uma função é esse número vezes a derivada da função para extrair algumas constantes de dentro — nosso 𝑑 por 𝑑𝑥. Nós então temos apenas que encontrar a derivada do logaritmo natural de seis 𝑥 em relação a 𝑥. E esta é uma aplicação direta da regra da cadeia. Se deixarmos 𝑧 igual a seis 𝑥 e depois aplicarmos a regra da cadeia, obteremos 𝑑 por 𝑑𝑧 do logaritmo natural de 𝑧 vezes 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥, onde 𝑧 é seis 𝑥 como mencionado anteriormente.

Você pode querer pausar o vídeo e verificar se isso é realmente o que acontece quando você aplica a regra da cadeia. O que é 𝑑 por 𝑑𝑧 do logaritmo natural de 𝑧? A derivada em relação a 𝑥 do logaritmo natural de 𝑥 é um sobre 𝑥 e, portanto, a derivada em relação a 𝑧 do logaritmo natural de 𝑧 é um sobre 𝑧. E 𝑧 é seis 𝑥. Então, podemos escrever isso como um sobre seis 𝑥.

E sobre 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥? Bem, 𝑧 é seis 𝑥. Então, derivando em relação a 𝑥, obtemos seis. Agora, podemos simplificar dentro dos parênteses. Um sobre seis 𝑥 vezes seis é apenas um sobre 𝑥. Nós mostramos que a derivada do logaritmo natural de seis 𝑥 em relação a 𝑥 é um sobre 𝑥. E, claro, esta é também a derivada em relação ao 𝑥 do logaritmo natural de apenas 𝑥.

Você pode pensar em porque a derivada de ln seis 𝑥 é a mesma que a derivada de ln 𝑥. Eu prometo a você que isso não é apenas um erro de aritmética. Isso é realmente verdade. De qualquer forma, voltando ao problema em questão, a única coisa que resta a fazer é escrever esse produto de frações como uma única fração. Ao fazê-lo, descobrimos que 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é seis sobre 𝑥 ln seis.

A coisa a tirar deste vídeo é que se você quiser derivar alguma expressão que envolve o logaritmo para alguma base, então primeiro use a fórmula de mudança de base para reescrever a expressão em termos do logaritmo natural, porque sabemos como derivar essa expressão.