Vídeo: Pi Escondido em Regularidades Primárias

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Pi Escondido em Regularidades Primárias

29:25

Transcrição do vídeo

Este é um vídeo que estou animado para fazer, já faz um tempo. A história aqui trança números primos, números complexos e 𝜋 em um trio muito agradável. Muitas vezes, na matemática moderna, especialmente a que flerta com a função zeta de Riemann, esses três objetos aparentemente não relacionados aparecem em uníssono. E quero dar uma espiada em um exemplo em que isso acontece, um dos poucos que não exige um conhecimento técnico muito pesado.

Isso não quer dizer que isso seja fácil. Na verdade, este é provavelmente um dos vídeos mais intrigado que já fiz, mas o ponto culminante vale a pena. Terminaremos com uma fórmula para 𝜋, uma certa soma infinita alternada. Essa fórmula está realmente escrita na caneca da qual estou tomando café agora, enquanto escrevo isso. E uma história divertida, mas quase certamente apócrifa, é que a beleza dessa fórmula foi o que inspirou Leibniz a deixar de ser advogado e, em vez disso, seguir a matemática.

Agora, sempre que você ver 𝜋 aparecer na matemática, sempre haverá um círculo escondido em algum lugar, às vezes muito sorrateiramente. Portanto, o objetivo aqui não é apenas descobrir essa soma, mas realmente entender o círculo escondido atrás dela. Veja, existe outra maneira de provar o mesmo resultado que você e eu vamos dedicar algum tempo significativo, mas com apenas algumas linhas de cálculo. E essa é uma daquelas provas que fazem você pensar: “tudo bem, suponho que seja verdade”, mas sem realmente entender por que ou onde está o círculo oculto. No caminho que você e eu vamos seguir, o que você verá é que a verdade fundamental por trás dessa soma e do círculo que ela esconde é uma certa regularidade na maneira como os números primos se comportam quando você os coloca dentro dos números complexos.

Para começar a história, imagine-se com nada mais que um lápis, algum papel e um desejo de encontrar uma fórmula para a calcular 𝜋. Existem inúmeras maneiras de abordar isso. Mas, como uma descrição geral da trama aqui, você começará perguntando quantos pontos de rede do plano estão dentro de um grande círculo. E então essa pergunta nos levará a perguntar como expressar números como a soma de dois quadrados, o que, por sua vez, nos levará a fatorar números inteiros dentro do plano complexo. A partir daí, apresentaremos a função especial chamada chi, que nos dará uma fórmula para 𝜋 que, a princípio, parece envolver um padrão complicado e louco, dependente da distribuição de números primos. Mas uma ligeira mudança de perspectiva vai simplificá-lo drasticamente e expor a melhor pepita de ouro. É muito, mas uma boa matemática leva tempo. E vamos dar passo a passo.

Quando digo ponto de rede, o que quero dizer é um ponto 𝑎, 𝑏 no plano, onde 𝑎 e 𝑏 são números inteiros, um ponto onde as linhas de grade aqui se cruzam. Se você desenhar um círculo centrado na origem, digamos com raio 10, quantos pontos de rede você acha que estão dentro desse círculo? Bem, há um ponto de rede para cada unidade de área. Portanto, a resposta deve ser aproximadamente igual à área do círculo, 𝜋𝑟 ao quadrado, que neste caso é 𝜋 vezes 10 ao quadrado. E se fosse um círculo realmente grande, com raio 1000000, você esperaria que essa estimativa fosse muito mais precisa, no sentido de que o erro percentual entre a estimativa 𝜋𝑟 ao quadrado e a contagem real de pontos da rede deve ser menor.

O que tentaremos fazer é encontrar uma segunda maneira de responder à mesma pergunta: quantos pontos de rede estão dentro do círculo. Porque isso pode levar a outra maneira de expressar a área de um círculo e, portanto, outra maneira de expressar 𝜋. E assim, você joga e se pergunta. E talvez, especialmente se você acabou de assistir a um determinado vídeo de cálculo, tente examinar todos os anéis possíveis nos quais um ponto de rede poderia estar.

Agora, se você pensar bem, para cada um desses pontos da rede, 𝑎, 𝑏, sua distância da origem é a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. E como 𝑎 e 𝑏 são números inteiros, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado também é um número inteiro. Então você só precisa considerar anéis cujos raios são as raízes quadradas de algum número inteiro. Um raio zero apenas fornece esse ponto de origem único. Se você olhar para o raio um, ele atinge quatro pontos diferentes da rede. Raio raiz quadrada de dois, bem, que também atinge quatro pontos de rede. Um raio raiz quadrada de três não atinge nada. A raiz quadrada de quatro, novamente, atinge quatro pontos de rede. Um raio raiz quadrada de cinco atinge oito pontos de rede. E o que queremos é uma maneira sistemática de contar quantos pontos de rede estão em um desses anéis, uma determinada distância da origem e, em seguida, somar todos eles.

E se você parar e tentar fazer isso por um momento, o que você descobrirá é que o padrão parece realmente caótico, apenas muito difícil de encontrar ordem aqui. E é um bom sinal de que alguma matemática muito interessante está prestes a entrar em jogo. De fato, como você verá, esse padrão está enraizado na distribuição de números primos. Como exemplo, vejamos o anel com raio de raiz quadrada de 25. Ele atinge o ponto cinco, zero, pois cinco ao quadrado mais zero ao quadrado é 25. Também atinge quatro, três, pois quatro ao quadrado mais três ao quadrado dá 25. E da mesma forma, atinge três, quatro e também zero, cinco. E o que realmente está acontecendo aqui é que você está contando quantos pares de números inteiros 𝑎, 𝑏, têm a propriedade que 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 25. E olhando para o círculo, parece que há um total de 12 deles.

Como outro exemplo, dê uma olhada no anel com raio raiz quadrada de 11. Ele não atinge nenhum ponto da rede. E isso corresponde ao fato de que você não consegue encontrar dois números inteiros cujos quadrados somam 11. Experimente! Agora, muitas vezes em matemática, quando você vê uma pergunta relacionada ao plano 2D, pode ser surpreendentemente proveitoso perguntar como ela se parece quando você pensa nesse plano como o conjunto de todos os números complexos. Então, em vez de pensar neste ponto de rede aqui como o par de coordenadas inteiras três, quatro, pense nele como o número complexo único três mais quatro 𝑖. Dessa forma, outra maneira de pensar sobre a soma dos quadrados de suas coordenadas, três ao quadrado mais quatro ao quadrado, é multiplicar esse número por três menos quatro 𝑖. Isso é chamado de complexo conjugado. É o que você obtém refletindo sobre o eixo real, substituindo 𝑖 por menos 𝑖.

E isso pode parecer um passo estranho se você não tem muito histórico com números complexos. Mas descrever essa distância como um produto pode ser inesperadamente útil. Isso transforma nossa pergunta em um problema de fatoração, e é por isso que os padrões entre os números primos entram em cena. Algebricamente, essa relação é direta o suficiente para verificar. Você recebe três ao quadrado e, em seguida, três vezes menos quatro 𝑖 cancela com quatro 𝑖 vezes três. E então, você tem menos quatro 𝑖 ao quadrado, que porque 𝑖 ao quadrado é menos um se torna mais quatro ao quadrado.

Também é muito bom ver geometricamente. E se você estiver um pouco enferrujado com a forma como a multiplicação complexa funciona, eu tenho outro vídeo que detalha mais sobre porque a multiplicação complexa tem a mesma aparência. A maneira que você pode pensar em um caso como esse é que o número três mais quatro 𝑖 tem uma magnitude de cinco e algum ângulo fora da horizontal. E o que significa multiplicá-lo por três menos quatro 𝑖 é girar pelo mesmo ângulo na direção oposta, colocando-o no eixo real positivo e depois esticando-o por um fator de cinco, que neste caso coloca você na posição da saída 25, o quadrado da magnitude.

A coleção de todos esses pontos de rede 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números inteiros, tem um nome especial. Eles são chamados de números inteiros gaussianos, nomeados depois de Martin Sheen. Geometricamente, você ainda fará a mesma pergunta. Quantos desses pontos de rede, números inteiros gaussianos, estão a uma determinada distância da origem, como a raiz quadrada de 25? Mas nós o escreveremos de uma maneira um pouco mais algébrica. Quantos números inteiros gaussianos têm a propriedade de que a multiplicação pelo seu conjugado complexo resulta em 25? Isso pode parecer desnecessariamente complexo. Mas é a chave para entender o padrão aparentemente aleatório de quantos pontos de rede estão a uma determinada distância da origem. Para entender por que, primeiro precisamos entender como os números são considerados nos números inteiros gaussianos.

Como atualização, entre números inteiros comuns, todo número pode ser considerado como uma coleção exclusiva de números primos. Por exemplo, 2250 pode ser fatorado como duas vezes três ao quadrado vezes cinco ao cubo. E não há outra coleção de números primos que também se multiplique para formar 2250, a menos que você deixe números negativos em cena; nesse caso, você pode apenas tornar negativos alguns dos primos dessa fatoração. Então, realmente, dentro dos números inteiros, a fatoração não é perfeitamente única. É quase única, com a exceção de que você pode obter um produto com aparência diferente multiplicando alguns dos fatores por menos um.

A razão de eu trazer isso à tona é que a fatoração funciona de maneira muito semelhante dentro dos números inteiros gaussianos. Alguns números, como cinco, podem ser fatorados em números inteiros gaussianos menores, que neste caso são dois mais 𝑖 vezes dois menos 𝑖. Esse inteiro gaussiano aqui, dois mais 𝑖, não pode ser fatorado em nada menor, por isso o chamamos de primo gaussiano. Novamente, essa fatoração é quase única. Mas desta vez, você não apenas pode multiplicar cada um desses fatores por menos um, para obter uma fatoração que parece diferente. Você também pode ser mais furtivo e multiplicar um desses fatores por 𝑖 e depois o outro por menos 𝑖. Isso lhe dará uma maneira diferente de fatorar cinco em dois primos gaussianos distintos.

Mas, além das coisas que você pode obter multiplicando alguns desses fatores por menos um ou 𝑖 ou menos 𝑖, a fatoração nos números inteiros gaussianos é única. E se você puder descobrir como os números primos comuns são considerados fatoriais dentro dos inteiros gaussianos, isso será suficiente para nos dizer como qualquer outro número natural é fatorado dentro desses inteiros gaussianos. E aqui, atraímos um fato crucial e bastante surpreendente. Números primos que são um sobre um múltiplo de quatro, como cinco ou 13 ou 17, esses caras sempre podem ser fatorados em exatamente dois primos gaussianos distintos. Isso corresponde ao fato de que os anéis com um raio igual à raiz quadrada de um desses números primos sempre atingem alguns pontos da rede. Na verdade, eles sempre atingem exatamente oito pontos de rede, como você verá em apenas um momento.

Por outro lado, números primos que são três sobre um múltiplo de quatro, como três ou sete ou 11, esses caras não podem ser fatorados ainda mais dentro dos números inteiros gaussianos. Não são apenas números primos nos números normais, mas também números primos gaussianos, não fatoráveis, mesmo quando 𝑖 está na imagem. E isso corresponde ao fato de que um anel cujo raio é a raiz quadrada de um desses números primos nunca atingirá nenhum ponto de rede.

E esse padrão aqui é a regularidade dos números primos que, em última análise, vamos explicar. E em um vídeo posterior, eu poderia explicar por que diabos isso é verdade. Por que o resto de um número primo, dividido por quatro, tem alguma coisa a ver com o fato de ele ser ou não fatorável nos números inteiros gaussianos ou, dito de outra forma, se ele pode ou não ser expresso como a soma de dois quadrados? Mas aqui e agora, teremos que tomar isso como um dado. O número primo dois, a propósito, é um pouco especial porque é fatorável. Você pode escrevê-lo como um mais 𝑖 vezes um menos 𝑖. Mas esses dois números primos gaussianos estão a uma rotação de 90 graus um do outro. Então você pode multiplicar um deles por 𝑖 para obter o outro. E esse fato nos fará querer tratar o número primo dois um pouco diferente para onde tudo isso está indo. Então, mantenha isso no fundo da sua mente.

Lembre-se, nosso objetivo aqui é contar quantos pontos de rede estão a uma determinada distância da origem. E fazer isso sistematicamente para todas as distâncias, raiz quadrada de 𝑛, pode nos levar a uma fórmula para 𝜋. E contar o número de pontos de rede com uma dada magnitude, como a raiz quadrada de 25, é o mesmo que perguntar quantos números inteiros gaussianos têm a propriedade especial que multiplicando-os pelo seu complexo conjugado resulta em 25. Então, aqui está a receita para encontrar todos os gaussianos inteiros que possuem essa propriedade.

Etapa um, fatore 25, que dentro dos números inteiros comuns se parece com cinco ao quadrado. Porém, como cinco fatora ainda mais, como dois mais 𝑖 vezes dois menos 𝑖, 25 se decompõem como esses quatro primos gaussianos. Etapa dois, organize-os em duas colunas diferentes, com pares conjugados sentados um ao lado do outro. Depois disso, multiplique o que está em cada coluna. E você terá dois inteiros gaussianos diferentes na parte inferior. E como tudo à direita é conjugado com tudo à esquerda, o que sai será um par conjugado complexo, que se multiplica para 25. Escolhendo um padrão arbitrário, digamos que o produto dessa coluna esquerda seja o resultado de nossa receita.

Agora, observe que há três opções de como você pode dividir os números primos que podem afetar essa saída. Na foto aqui, as duas cópias de dois mais 𝑖 estão na coluna da esquerda. E isso nos dá o produto três mais quatro 𝑖. Você também pode ter optado por ter apenas uma cópia de dois mais 𝑖 nesta coluna da esquerda; nesse caso, o produto seria cinco. Ou então, você pode ter as duas cópias de dois mais 𝑖 na coluna da direita; nesse caso, a saída de nossa receita seria três menos quatro 𝑖. E essas três saídas possíveis são todos pontos de rede diferentes em um círculo com raio raiz quadrada de 25. Mas por que essa receita ainda não captura todos os 12 pontos de rede?

Lembre-se de como mencionei que uma fatoração em números primos gaussianos pode parecer diferente se você multiplicar alguns deles por 𝑖 ou menos um, menos 𝑖. Nesse caso, você pode escrever a fatoração de 25 de maneira diferente, talvez dividindo um desses cinco por menos um mais dois 𝑖 vezes menos um menos dois 𝑖. E se você fizer isso, executando a mesma receita, isso poderá afetar o resultado. Você obterá um produto diferente dessa coluna da esquerda. Mas o único efeito que isso terá é multiplicar a saída total por 𝑖 ou menos um ou menos 𝑖. Portanto, como passo final para a nossa receita, digamos que você precise fazer uma das quatro escolhas. Pegue esse produto na coluna da esquerda e escolha multiplicá-lo por um, 𝑖, menos um ou menos 𝑖, correspondendo a rotações com múltiplos de 90 graus. Isso será responsável por todas as 12 maneiras diferentes de construir um número inteiro gaussiano cujo produto com seu próprio conjugado é 25.

Este processo é um pouco complicado. Então, acho que a melhor maneira de ter uma ideia é experimentá-la com mais exemplos. Digamos, em vez disso, estávamos olhando para 125, que é cinco ao cubo. Nesse caso, teríamos quatro opções diferentes de como dividir os pares conjugados primos nessas duas colunas. Você pode ter zero cópias de dois mais 𝑖 na coluna esquerda, uma cópia lá, duas cópias lá ou todas as três na coluna esquerda. Essas quatro opções multiplicadas pelas quatro opções finais de multiplicar o produto da coluna da esquerda por um ou por 𝑖 ou menos um ou menos 𝑖 sugeririam que há um total de 16 pontos de rede na distância da raiz quadrada de 125 da origem.

E, de fato, se você desenhar esse círculo e contar, o que encontrará é que ele atinge exatamente 16 pontos de rede. Mas e se você introduzir um fator como três, que não se decompõe como produto de dois primos gaussianos conjugados? Bem, isso realmente atrapalha todo o sistema. Quando você divide os números primos entre as duas colunas, não há como dividir esse três. Não importa onde você o coloque, ele deixa as colunas desequilibradas. E o que isso significa é que, quando você pega o produto de todos os números em cada coluna, não termina o par conjugado. Portanto, para um número como esse, três vezes cinco ao cubo, que é 375, não há realmente nenhum ponto de rede que você atingirá. Nenhum inteiro gaussiano cujo produto com seu próprio conjugado fornece 375.

No entanto, se você introduzir um segundo fator de três, terá uma opção. Você pode jogar um três na coluna da esquerda e o outro três na coluna da direita. Como três é seu próprio conjugado complexo, isso deixa as coisas equilibradas, no sentido de que os produtos das colunas esquerda e direita serão realmente um par conjugado complexo. Mas não adiciona novas opções. Ainda haverá um total de quatro opções de como dividir os fatores de cinco, multiplicadas pelas quatro opções finais de multiplicar por um, 𝑖, menos um ou menos 𝑖. Assim como o círculo raiz quadrada de 125, esse cara também vai atingir exatamente 16 pontos de rede.

Vamos resumir onde estamos. Quando você conta quantos pontos de rede estão em um círculo com um raio de raiz quadrada de 𝑁, o primeiro passo é fatorar 𝑁. E para números primos como cinco, 13 ou 17, que se fatoram ainda mais em um par conjugado complexo de números primos gaussianos, o número de opções que eles oferecem sempre será uma a mais que o expoente que aparece com esse fator. Por outro lado, para fatores primos como três ou sete ou 11, que já são primos gaussianos e não podem ser divididos, se eles aparecerem com um expoente par, você tem uma e apenas uma opção com o que fazer com eles. Mas se for um expoente ímpar, você está ferrado. E você apenas tem zero escolhas. E sempre, não importa o quê, você tem essas quatro opções finais no final.

A propósito, acho que esse processo aqui é a parte mais complicada do vídeo. Levei algumas vezes para pensar sobre isso: “Sim! essa é uma maneira válida de contar pontos de rede.” Portanto, não seja tímido se quiser pausar e rabiscar as coisas para ter uma ideia.

A última coisa a mencionar sobre esta receita é como os fatores de dois afetam a contagem. Se o seu número for par, esse fator de dois será dividido em um mais 𝑖 vezes um menos 𝑖. Assim, você pode dividir esse par conjugado complexo entre as duas colunas. E, a princípio, pode parecer que isso dobra suas opções, dependendo de como você escolhe colocar esses dois números primos gaussianos entre as colunas. No entanto, como multiplicar um desses caras por 𝑖 fornece o outro, quando você os troca entre as colunas, o efeito que isso tem na saída da coluna da esquerda é apenas multiplicá-lo por 𝑖 ou por menos 𝑖. Isso é realmente redundante com a etapa final, na qual pegamos o produto desta coluna esquerda e optamos por multiplicá-lo por um, 𝑖, menos um ou menos 𝑖. O que isso significa é que um fator de dois, ou qualquer potência de dois, na verdade não altera a contagem. Não dói, mas não ajuda.

Por exemplo, um círculo com raio de raiz quadrada de cinco atinge oito pontos de rede. E se você aumentar esse raio para a raiz quadrada de 10, também atingirá oito pontos de rede. E a raiz quadrada de 20 também atinge oito pontos de rede, assim como a raiz quadrada de 40. Fatores de dois simplesmente não fazem diferença. Agora, o que está prestes a acontecer é a teoria dos números no seu melhor. Temos esta receita complicada nos dizendo quantos pontos de rede estão em um círculo com raio raiz quadrada de 𝑁. E isso depende da fatoração em primos de 𝑁. Para transformar isso em algo mais simples, algo com o qual podemos realmente lidar, exploraremos a regularidade dos números primos: aqueles que são um sobre um múltiplo de quatro se dividem em fatores primos gaussianos distintos, enquanto aqueles que são três sobre um múltiplo de quatro não pode ser dividido.

Para fazer isso, vamos introduzir uma função simples, que vou rotular com a letra grega 𝜒. Para entradas que são um sobre um múltiplo de quatro, a saída de 𝜒 é apenas um. Se receber uma entrada de três sobre um múltiplo de quatro, a saída de 𝜒 será menos um. E então, em todos os números pares, dá zero. Portanto, se você calcular 𝜒 sobre os números naturais, ele fornecerá esse padrão cíclico muito bom: um, zero, menos um, zero e depois repete indefinidamente. E essa função cíclica 𝜒 possui uma propriedade muito especial. É o que chamamos de função multiplicativa. Se você a calcular em dois números diferentes e multiplicar os resultados, como 𝜒 de três vezes 𝜒 de cinco, é o mesmo que se você calcular 𝜒 no produto desses dois números, neste caso 𝜒 de 15. Da mesma forma, 𝜒 de cinco vezes 𝜒 de cinco é igual a 𝜒 de 25. E não importa quais sejam os dois números naturais que você colocar lá, essa propriedade será válida. Continue; tente se quiser.

Portanto, para a nossa questão central de contar pontos de rede dessa maneira que envolve fatorar um número, o que vou fazer é anotar o número de opções que temos, mas usando 𝜒 no que a princípio parece ser uma maneira muito mais complicada. Mas isso tem o benefício de tratar todos os fatores primos igualmente. Para cada potência principal, como cinco ao cubo, o que você escreve é ​​𝜒 de um mais 𝜒 de cinco mais 𝜒 de cinco ao quadrado mais 𝜒 de cinco ao cubo. Você soma o valor de 𝜒 em todas as potências desse primo até o que aparece dentro da fatoração.

Nesse caso, como cinco é um sobre um múltiplo de quatro, todos esses são apenas um. Portanto, essa soma acaba sendo quatro, o que reflete o fato de que um fator de cinco ao cubo oferece quatro opções de como dividir os dois fatores primos gaussianos entre as colunas. Para um fator como três elevado a quatro, o que você escreve é ​​totalmente semelhante: 𝜒 de um mais 𝜒 de três, e até 𝜒 de três elevado a quatro. Mas neste caso, como 𝜒 de três é menos um, essa soma oscila. Vai um menos um mais um menos um mais um. E, se houver um expoente par, como quatro neste caso, a soma total será um, o que resume o fato de que há apenas uma opção para o que fazer com esse três não fatorável. Mas se for uma potência ímpar, essa soma será zero, indicando que você está ferrado. Você não pode colocar esse três não fatorável.

Quando você faz isso com uma potência de dois, o que parece é um mais zero mais zero mais zero, sem parar, pois 𝜒 sempre é zero nos números pares. E isso reflete o fato de que um fator de dois não ajuda e não dói. Você sempre tem apenas uma opção para o que fazer com ele. E, como sempre, mantemos um quatro na frente para indicar a escolha final de multiplicar por um, 𝑖, menos um ou menos 𝑖. Estamos chegando perto do ponto culminante agora. As coisas estão começando a parecer organizadas. Então, tome um momento, faça uma pausa e pondere. Certifique-se de que tudo esteja bem até este ponto.

Tome o número 45 como exemplo. Esse cara é três ao quadrado vezes cinco. Portanto, a expressão para o número total de pontos de rede é quatro vezes 𝜒 de um mais 𝜒 de três mais 𝜒 de três ao quadrado vezes 𝜒 de um mais 𝜒 de cinco. Você pode pensar nisso como quatro vezes a única opção para o que fazer com três vezes duas opções para dividir os fatores primos gaussianos de cinco. Pode parecer que expandir essa soma é realmente complicado, porque envolve todas as combinações possíveis desses fatores primos, e é o que acontece. No entanto, como 𝜒 é multiplicativo, cada uma dessas combinações corresponde a um divisor de 45. Quero dizer, neste caso, o que obtemos é quatro vezes 𝜒 de um mais 𝜒 de três mais 𝜒 de cinco mais 𝜒 de nove mais 𝜒 de 15 mais 𝜒 de 45.

E o que você notará é que isso abrange todos os números que se dividem igualmente em 45, uma vez e apenas uma vez. E funciona assim para qualquer número. Não há nada de especial em 45. E isso para mim é bem interessante, e acho totalmente inesperado. Essa questão de contar o número de pontos da rede na distância da raiz quadrada de 𝑁 da origem envolve somar o valor dessa função relativamente simples sobre todos os divisores de 𝑁.

Para resumir, lembre-se por que estamos fazendo isso. O número total de pontos da rede dentro de um grande círculo com raio 𝑅 deve ser cerca de 𝜋 vezes 𝑅 ao quadrado. Mas, por outro lado, podemos contar esses mesmos pontos de rede observando todos os números 𝑁 entre zero e 𝑅 ao quadrado e contando quantos pontos de rede estão à distância da raiz quadrada de 𝑁 da origem. Vamos seguir em frente e ignorar esse ponto de origem com raio zero. Ele realmente não segue o padrão do resto. E um pequeno ponto não fará diferença à medida que 𝑅 cresce em direção ao infinito.

Agora, a partir de todo esse número inteiro gaussiano e fatorando e a função 𝜒 que estamos fazendo, a resposta para cada 𝑁 parece somar o valor de 𝜒 em cada divisor de 𝑁 e depois multiplicar por quatro. E, por enquanto, vamos pegar o quatro, colocá-lo no canto e lembrar de trazê-los de volta mais tarde. Inicialmente, somar os valores para cada uma dessas linhas parece super aleatório, certo? Quero dizer, números com muitos fatores têm muitos divisores, enquanto números primos sempre terão apenas dois divisores.

Portanto, inicialmente parece que você precisaria ter um conhecimento perfeito da distribuição dos números primos para obter algo útil disso. Mas se, em vez disso, você os organizar em colunas, o quebra-cabeça começará a se encaixar. Quantos números entre um e 𝑅 ao quadrado têm um como divisor? Bem, todos eles. Portanto, nossa soma deve incluir 𝑅 ao quadrado vezes 𝜒 de um. Quantos deles têm dois como divisor? Bem, cerca de metade deles, o que representaria cerca de 𝑅 ao quadrado sobre duas vezes 𝜒 de dois. Cerca de um terço dessas linhas possui 𝜒 de três. Então, podemos colocar 𝑅 ao quadrado dividido por três vezes 𝜒 de três.

E lembre-se de que estamos sendo aproximados, pois 𝑅 ao quadrado pode não dividir perfeitamente dois ou três. Mas, à medida que 𝑅 cresce em direção ao infinito, essa aproximação ficará melhor. E quando você continua assim, você obtém uma expressão bem organizada para o número total de pontos da rede. E se você fatorar esse 𝑅 ao quadrado e depois traz de volta o quatro que precisa ser multiplicado, o que significa é que o número total de pontos de rede dentro desse grande círculo é de aproximadamente quatro vezes 𝑅 quadrado vezes essa soma. E como 𝜒 é zero em todo número par e oscila entre um e menos um para números ímpares, essa soma parece um menos um terço mais um quinto menos um sétimo, e assim por diante.

E é exatamente isso que queríamos! O que temos aqui é uma expressão alternativa para o número total de pontos de rede dentro de um grande círculo, que sabemos que devem ser cerca de 𝜋 vezes 𝑅 ao quadrado. E quanto maior 𝑅 é, mais precisas essas duas estimativas são. Portanto, o erro percentual entre o lado esquerdo e o lado direito pode ficar arbitrariamente pequeno. Portanto, divida pelo 𝑅 ao quadrado, e isso nos dá uma soma infinita que converge para 𝜋. E lembre-se, eu acho isso muito legal. A razão pela qual essa soma se mostrou tão simples, exigindo informações relativamente baixas para descrever, em última análise, decorre do padrão regular e de como os números primos se fatoram dentro dos números inteiros gaussianos.

Se você estiver curioso, existem dois ramos principais da teoria dos números: teoria dos números algébricos e teoria dos números analíticos. Em poucas palavras, a primeira trata de novos sistemas numéricos, coisas como esses números inteiros gaussianos que você e eu vimos e muito mais. E o último lida com coisas como a função zeta de Riemann ou seus primos, chamadas funções 𝐿, que envolvem funções multiplicativas como esse personagem central 𝜒 da nossa história. E o caminho que acabamos de percorrer é um pequeno vislumbre de onde esses dois campos se cruzam. E ambos são campos bastante pesados, com muita pesquisa ativa e problemas não resolvidos. Então, se tudo isso parece algo que leva tempo para digerir mentalmente, como se houvesse mais padrões a serem descobertos e entendidos, é porque é e existe!

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