Vídeo: Descrevendo Relações e Estendendo Termos em Progressões Aritméticas

Por meio de exemplos, descrever relações em progressões aritméticas. Em seguida, estender as progressões para 𝑛 posições, com a fórmula do 𝑛-ésimo termo sendo um múltiplo simples de 𝑛 (por exemplo, 6𝑛, 51𝑛, etc.). Usar tabelas para ver claramente as relações em progressões.

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Transcrição do vídeo

Descrevendo Relações e Estendendo Termos em Progressões Aritméticas. Aqui está um exemplo de uma progressão aritmética. Uma progressão é qualquer lista ordenada de números. Uma progressão aritmética é uma progressão encontrada adicionando o mesmo número ao termo anterior. Por exemplo, você adiciona nove a 28. E isso equivale a 37. Você adiciona nove a 37. E isso equivale a 46. Cada um desses números são termos da progressão.

Alguém pode pedir que você encontre o próximo termo nesta progressão aritmética.

Quando eles dizem para encontrar o próximo termo, sabemos que eles estão procurando o valor que vem depois de 64 aqui. E como também recebemos as informações de que é uma progressão aritmética, também sabemos que adicionaremos para encontrar o próximo valor. Cada passo nesta progressão foi adicionando nove ao termo anterior. Isso nos permite saber que o que quer que seja 64 mais nove, esse é o nosso próximo termo. O próximo termo nessa progressão é 73. Aqui está um exemplo de uma progressão aritmética simples. Estamos adicionando dois a cada vez.

Quando estamos lidando com progressão, cada um dos termos também tem uma posição. Você pode ver os rótulos aqui. O dois está na primeira posição. O quatro está na segunda posição. Seis está na terceira posição, depois na quarta e quinta e assim por diante. Posições são realmente importantes. Vamos dar uma olhada mais de perto no que está acontecendo aqui com essas posições. A posição um tem um valor de dois. A posição dois tem um valor de quatro. Para ir da posição um para a posição dois, precisamos adicionar dois. E para ir da posição dois para a posição três, precisamos adicionar dois. Existe uma relação entre a posição de um termo e o valor do termo. Esta coluna nos mostra que, para resolver a posição um, multiplicamos um vezes dois. Para resolver para a posição dois, o valor, tomamos dois. E multiplicamos por dois. Para resolver a posição três, multiplicamos três por dois para obter seis.

Na operação, o primeiro número que estamos vendo é o número da posição. O dois é o número que estamos adicionando a cada termo. Alguns de vocês podem estar se perguntando, «Bem, por que eu iria tomar o tempo para descobrir a multiplicação quando eu posso adicionar dois a seis? Seis mais dois são oito. Isso é bem simples». E isso é verdade. Se eu quisesse encontrar o próximo número nesta progressão, eu provavelmente diria apenas que 10 mais dois são doze. A sexta posição é doze. Mas se a pergunta disser algo como qual é a 80ª posição nessa progressão, você não quer adicionar dois 80 vezes. Agora vamos adicionar o número 80, a posição 80, à nossa tabela. Nós seguiríamos a mesma operação. Na 80ª posição dessa progressão está o número 160. Descobrindo que multiplicando 80 vezes dois é significativamente mais rápido do que tentar adicionar dois a cada oitenta vezes.

Você também pode se deparar com a pergunta: qual é a expressão algébrica para encontrar os termos desta progressão? Nesse caso, não sabemos qual é a posição que procuramos. Estamos procurando escrever uma expressão que possa ser usada para todas as posições. Ao lidar com posições e progressões, geralmente usamos a letra 𝑛 para representar uma posição desconhecida. Poderíamos encontrar o valor de um termo na posição 𝑛 multiplicando a posição por dois, 𝑛 vezes dois. Poderíamos dizer 𝑛 vezes dois para a nossa expressão, ou simplesmente dois 𝑛. Podemos inserir qualquer posição de número aqui e encontrar o termo que estaria nessa posição. Nós poderíamos colocar a posição 100, posição sete, posição 15. Isso não importa. Essa expressão funciona para resolver essa progressão. Aqui está outro exemplo.

Encontre o próximo termo nesta progressão: 51, 102, 153. Qual é o próximo?

A primeira pergunta que devemos fazer é o que está sendo adicionado a cada termo. A última vez foi muito fácil porque era dois. Se você não reconhecer imediatamente o que está sendo adicionado, veja o que você pode fazer. Você pode pegar o termo na segunda posição e subtrair do termo na primeira posição. 102 menos 51 é 51. Você também pode subtrair 102 de 53 ou o número da posição dois do número da posição três. Ambos são iguais a 51. 51 é o que está sendo adicionado a cada vez.

Para encontrar o próximo termo, precisamos tomar o terceiro termo, 153, e acrescentar 51 a ele. O próximo termo nesta progressão é 204. Veja como seria uma tabela para essa progressão. A operação aqui seria pegar a posição e multiplicar por 51 porque 51 é o que estamos adicionando. 51𝑛 seria a expressão que poderíamos usar para tomar qualquer posição e encontrar o seu valor. Aqui está nosso último exemplo.

Encontre o 70º termo na seguinte progressão: Seis, 12, 18, 24.

Estamos tentando responder à pergunta sobre o que está sendo adicionado a cada termo. E sabemos que cada termo é seis a mais do que o termo anterior. Mas não estou apenas tentando descobrir o que estamos adicionando a cada termo. Preciso descobrir qual expressão posso usar para encontrar o 70º termo. Percebi que o padrão é que você tome a posição. E multiplique por seis. Então, para eu encontrar o 70º termo, preciso multiplicar isso por seis. Quando faço isso, tenho uma solução de 420. Também sei que posso encontrar qualquer termo nesta progressão tomando a posição 𝑛 e multiplicando-a por seis. Essa expressão é importante. Isso é tudo para este vídeo. Agora você pode tentar algumas progressões por conta própria.

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