Question Video: Utilizando a Equação de uma Circunferência e a Equação de uma Reta para Determinar a Relação entre Elas

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Considere a circunferência 𝑥 menos cinco ao quadrado mais 𝑦 mais dois ao quadrado é igual a 25. A reta 𝑦 menos três igual a zero seria tangente, secante ou externa à circunferência?

Então nos foi dada a equação de uma circunferência e a equação de uma reta e temos três possibilidades para a relação entre a reta e a circunferência. Analisaremos essas três possibilidades com mais detalhes em um momento, mas primeiro vamos considerar a equação dessa reta.

A reta 𝑦 menos três igual a zero é equivalente à reta 𝑦 igual a três e você pode ver isso adicionando três a ambos os lados dessa equação. Como esta reta tem a equação 𝑦 igual a uma constante, é de fato a reta horizontal. Agora, vamos pensar nesses três cenários possíveis: secante, externa ou tangente.

Então, suponha que esta seja a circunferência em questão. A primeira possibilidade é que a reta horizontal 𝑦 igual a três esteja totalmente acima ou talvez inteiramente abaixo da circunferência e, portanto, seja externa. A segunda possibilidade é que essa reta passe pela circunferência e, portanto, há dois pontos de interseção entre a circunferência e a reta. A terceira e última possibilidade é que a reta não passa dentro da circunferência, mas apenas toca a circunferência em um ponto e é, portanto, uma tangente a circunferência.

Portanto, esta é a interpretação física das três possibilidades dadas na questão. Agora vamos pensar em como vamos determinar qual deles é o caso. Bem, está tudo ligado ao número de pontos de intersecção entre a reta e a circunferência ou de outra forma, está ligado ao número de soluções quando resolvemos as equações da reta e da circunferência simultaneamente. Se não houver soluções para o sistema de equações, então a reta e a circunferência são externas, se houver uma solução, a reta será tangente a circunferência e, se houver duas soluções separadas, a reta será secante a circunferência.

Então, resolvendo o sistema de equações, poderemos ver em qual dessas três situações estamos. Então, vamos analisar esse sistema de equações. Usaremos a versão rearranjada da equação da reta: 𝑦 é igual a três. A maneira mais direta de resolver esse sistema de equações será substituir a equação da reta na equação da circunferência.

Então, vamos substituir três por 𝑦. Então temos 𝑥 menos cinco todos ao quadrado mais três mais dois todos ao quadrado é igual a 25. Agora, três mais dois são cinco e cinco ao quadrado é 25. Então nós temos um 25 em ambos os lados da equação, que apenas se anulam diretamente. Isso então deixa 𝑥 menos cinco todos ao quadrado é igual a zero. Em seguida, queremos tirar a raiz quadrada de ambos os lados dessa equação. Então nós temos que 𝑥 menos cinco é igual a zero.

Finalmente, para resolver essa equação para 𝑥, precisamos adicionar cinco em ambos os lados. Então nós temos 𝑥 é igual a cinco. Lembre-se que a equação de nossa reta era 𝑦 é igual a três, e essa é a solução para 𝑦. Então, temos um par de valores para 𝑥 e 𝑦. 𝑥 é igual a cinco e 𝑦 é igual a três.

Isso significa que temos uma solução para o sistema de equações. Isso também significa que a reta e a circunferência se tocam em apenas um ponto, o ponto com as coordenadas cinco, três. Portanto, nossa resposta à pergunta sobre qual dessas três situações existe é que a reta é tangente à circunferência.