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Nesta aula, aprenderemos como encontrar o resultado líquido ao combinar vários valores de uma quantidade cinemática, como dois deslocamentos ou duas acelerações. Ao fazer essas combinações, os vetores serão os melhores objetos matemáticos para representar nossas quantidades cinemáticas. Então, vamos lembrar como trabalhar com vetores e seus componentes.
Vetores são objetos matemáticos que possuem magnitude e direção. Podemos convenientemente representar vetores como setas, onde o comprimento da seta é a magnitude do vetor. E a direção que a seta está apontando é a direção do vetor, neste caso, diretamente à direita. Represente vetores como setas nos permite fazer certos tipos de cálculos de vetores geometricamente.
Para fazer esses cálculos, é útil poder se referir às duas extremidades do vetor sem ambiguidade. Então chamaremos isso de cauda e isso de cabeça. Podemos ver facilmente por que os vetores são úteis para representar quantidades cinemáticas, considerando uma pessoa empurrando uma caixa pelo chão. Digamos que nossa pessoa exerça uma força de 10 newtons para empurrar a caixa. Então 10 newtons é a magnitude da força. Mas apenas conhecer essa magnitude não nos diz se a caixa está sendo empurrada para a esquerda ou direita.
Agora, como podemos ver claramente na figura, a direção da força está na direção à direita. Portanto, todas as informações sobre essa força incluem sua magnitude e direção, e é por isso que os vetores são a maneira apropriada de representar a força. Como veremos mais adiante, para descrever qualquer quantidade cinética em que estamos interessados, precisaremos de uma magnitude e uma direção. Portanto, como os vetores são a escolha apropriada para todos eles, vamos continuar a descobrir como combinar vetores.
Quando adicionamos dois vetores, precisamos levar em consideração que cada um tem uma direção. Portanto, precisaremos de um procedimento diferente do que simplesmente adicionar dois números. Ao representar vetores como setas, podemos realizar essa soma com bastante facilidade. Por exemplo, considere a soma desses dois vetores aqui.
Para realmente executar essa soma, precisamos alinhar a cauda do segundo vetor à cabeça do primeiro vetor. Fazemos isso graficamente, simplesmente desenhando o segundo vetor com sua cauda na cabeça do primeiro vetor. A soma desses dois vetores agora é o vetor cuja cauda está na cauda do primeiro vetor e cuja cabeça está na cabeça do segundo vetor. E, novamente, encontramos isso geometricamente, simplesmente desenhando essa seta.
Como podemos ver, a magnitude e a direção dessa soma vetorial são diferentes da soma aritmética simples das magnitudes e direções de nossos dois vetores originais. No entanto, como a adição de números, a adição de vetores também é comutativa. Isso significa que a ordem da soma não importa. Portanto, desenhar o vetor azul na cabeça do vetor laranja dá o mesmo resultado da soma vetorial que desenhar o vetor laranja na cabeça do vetor azul. A adição de um par de vetores dessa maneira para obter uma única soma sugere outra maneira de representar um vetor individual.
Começaremos desenhando nosso vetor com sua cauda na origem de alguns eixos cartesianos. Agora vamos imaginar que desenhamos uma linha vertical reta da cabeça do nosso vetor até o eixo horizontal. Em seguida, podemos desenhar esse vetor ao longo do eixo horizontal que vai exatamente tão à direita quanto a cabeça do nosso vetor original. Também podemos fazer o mesmo para o eixo vertical.
Agora, esse vetor ao longo do eixo vertical vai exatamente até a cabeça do nosso vetor original. Mas agora vamos olhar esta figura com cuidado. O vetor vertical caberia exatamente entre a cabeça do vetor horizontal e a cabeça do vetor vertical. O mesmo vale para o vetor horizontal. Cabe exatamente entre a cabeça do vetor vertical e a cabeça do nosso vetor original. Mas vamos analisar com atenção o que desenhamos. Se começamos com o vetor vertical ou o vetor horizontal, temos a cauda de um segundo vetor desenhada no início de um primeiro vetor.
Temos então um terceiro vetor cuja cauda é igual à cauda do primeiro vetor e cuja cabeça é igual à cabeça do segundo vetor. Mas estes são apenas os três vetores envolvidos em uma soma vetorial. Portanto, nosso vetor magenta original pode ser representado como a soma de um vetor horizontal laranja e um vetor vertical azul. Se chamarmos nosso vetor original 𝐕, onde usamos uma meia seta sobre uma letra para representar que estamos falando de um vetor, chamaremos os vetores horizontais e verticais os componentes de 𝐕. E geralmente usamos o símbolo 𝐕 sub 𝑥 para representar o componente horizontal e 𝐕 sub 𝑦 para representar o componente vertical. Simbolicamente, escreveríamos que 𝐕 é a soma de 𝐕 𝑥 e 𝐕 𝑦.
Esta é uma representação muito poderosa, porque, como podemos ver no nosso gráfico, 𝐕 𝑥 e 𝐕 𝑦 estão alinhados com os eixos do nosso sistema cartesiano, o que significa que são perpendiculares. Qualitativamente, isso nos permite falar de forma independente sobre os componentes horizontais e verticais de 𝐕, embora 𝐕 em si não seja horizontal nem vertical. Em linguagem técnica, chamamos 𝐕 𝑥 e 𝐕 𝑦 a projeção de 𝐕 nesses eixos. Isso significa apenas que 𝐕 𝑥 e 𝐕 𝑦 são os componentes de 𝐕 que são paralelos aos eixos do nosso sistema.
Quantitativamente, o fato de nosso triângulo formado por 𝐕 𝑥, 𝐕 𝑦 e 𝐕 ser um triângulo retângulo significa que podemos aplicar facilmente o teorema de Pitágoras e fazer cálculos trigonométricos. Vamos deixar o símbolo para um vetor sem a meia seta no topo representar a magnitude desse vetor. Então, pelo teorema de Pitágoras aplicado a esse triângulo retângulo, temos que a magnitude de 𝑉 é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da magnitude de 𝑉 𝑥 e da magnitude de 𝑉 𝑦. Portanto, isso relaciona a magnitude de 𝑉 a 𝑉 𝑥 e 𝑉 𝑦.
Vamos ver se também podemos relacionar a direção. Como nosso vetor é desenhado em alguns eixos cartesianos, podemos representar a direção do vetor pelo ângulo entre o vetor e o eixo horizontal. Vamos chamar esse ângulo 𝜃. Para relacionar 𝜃 a 𝑉 𝑥 e 𝑉 𝑦, lembre-se de que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente. Neste triângulo, 𝐕 𝑦 é oposto a 𝜃 e 𝐕 𝑥 é adjacente a 𝜃. Portanto, o tg de 𝜃 é a magnitude de 𝑉 𝑦 dividido pela magnitude de 𝑉 𝑥.
Como alternativa, agora podemos pegar a tangente inversa de ambos os lados desta equação. Isso nos dá 𝜃, a direção de 𝑉, é igual à tangente inversa da magnitude de 𝑉 𝑦 dividida pela magnitude de 𝑉 𝑥. Isso nos dá duas equações, uma para a magnitude e outra para a direção do vetor 𝐕 em termos apenas das magnitudes de seus componentes. Não precisamos fazer nenhuma referência à direção desses componentes porque sabemos que eles são perpendiculares entre si e paralelos aos eixos do nosso sistema.
Por outro lado, também podemos encontrar as magnitudes de 𝑉 𝑥 e 𝑉 𝑦 a partir da magnitude de 𝑉 e sua direção. Lembre-se de que o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é o comprimento do lado adjacente dividido pelo comprimento da hipotenusa. Isso significa que o comprimento de 𝑉 𝑥 é igual ao comprimento de 𝑉 vezes o cos de 𝜃. Da mesma forma, para encontrar o comprimento do lado oposto de um ângulo agudo, usamos o seno do ângulo em vez do cosseno. Portanto, a magnitude de 𝑉 𝑦 é a magnitude de 𝑉 vezes o sen de 𝜃.
Essas duas equações agora nos fornecem a magnitude dos componentes de um vetor em termos da magnitude do próprio vetor e da direção do vetor. Observe que, novamente, não fizemos referência à direção desses vetores. Isso ocorre porque suas instruções são pré-determinadas. O vetor 𝐕 𝑥 está sempre na direção horizontal e o vetor 𝐕 𝑦 está sempre na direção vertical.
Começamos usando nossa noção de adição de vetores para chegar à ideia de componentes de vetores. Agora, podemos fazer o contrário. Podemos usar as equações que derivamos para melhorar nossa capacidade de adicionar vetores.
Vamos agora considerar uma soma de dois vetores, vetor 𝐕 e vetor 𝐔. Já sabemos como realizar essa soma desenhando um vetor da cauda do vetor 𝐕 até a cabeça do vetor 𝐔. Mas antes de fazermos essa etapa, vamos desenhar os componentes horizontal e vertical desses dois vetores. Para o vetor 𝐕, o processo é o mesmo de antes. Desenhamos uma reta vertical para o eixo horizontal, que nos diz qual comprimento o componente horizontal tem. O componente vertical é então o vetor entre a cabeça do componente horizontal e o próprio vetor 𝐕.
E então, assim como antes, temos que 𝐕 é a soma de 𝐕 𝑥 e 𝐕 𝑦. Podemos fazer o mesmo para 𝐔. Mas temos que explicar o fato de que a cauda de 𝐔 não está localizada na origem do nosso sistema. Isso não é um problema. Se lembrarmos, ele realmente define os componentes do vetor: o componente horizontal é paralelo ao eixo horizontal do sistema. O componente vertical é paralelo ao eixo vertical do sistema. E a soma dos componentes é igual ao próprio vetor. Em outras palavras, os componentes horizontais e verticais de um vetor formam os catetos horizontais e verticais do triângulo retângulo que tem o vetor como hipotenusa.
Para o vetor 𝐔, esses dois catetos são essas linhas pontilhadas. Portanto, o cateto horizontal é 𝐔 𝑥 e o cateto vertical é 𝐔 𝑦. Então, como podemos ver, ainda podemos desenhar os componentes de 𝐔 mesmo que 𝐔 não esteja na origem.
Tudo bem, agora vamos desenhar o vetor que é a soma dos vetores 𝐕 e 𝐔. Vamos chamar esse vetor 𝐖. Agora, estamos procurando os componentes horizontais e verticais de 𝐖. Os componentes de 𝐖 formarão os catetos do triângulo retângulo com 𝐖 como hipotenusa. No eixo horizontal, este será o vetor 𝐕 𝑥 mais o vetor representado por esta seta pontilhada laranja. No eixo vertical, este será o vetor representado por esta seta pontilhada azul mais o vetor 𝐔 𝑦.
Mas agora vamos examinar atentamente esses dois vetores pontilhados. O vetor pontilhado laranja é o mesmo que o vetor 𝐔 𝑥. Da mesma forma, o vetor pontilhado azul é o mesmo que o vetor 𝐕 𝑦. Ambos são verdadeiros porque os dois vetores sólidos e os dois vetores pontilhados formam um retângulo e os lados opostos de um retângulo são congruentes.
De qualquer forma, agora podemos ver facilmente que, como a cauda de 𝐔 𝑥 alinhada à cabeça de 𝐕 𝑥 cria o vetor 𝐖 𝑥, 𝐖 𝑥 é igual a 𝐕 𝑥 mais 𝐔 𝑥. Pela mesma lógica e usando a comutatividade da adição de vetores, temos que 𝐖 𝑦 é igual a 𝐕 𝑦 mais 𝐔 𝑦. Lembre-se, porém, que ambas as nossas equações para os componentes de 𝐖 vieram de nossa relação original que 𝐖 é igual a 𝐕 mais 𝐔. Isso nos leva a uma conclusão muito importante sobre a soma de dois vetores. Os componentes de um vetor que é a soma de dois outros vetores são individualmente iguais à soma do componente correspondente desses dois vetores.
Então, como já vimos, o componente horizontal de 𝐖 é a soma dos componentes horizontais de 𝐕 e 𝐔. Agora, podemos razoavelmente nos perguntar por que isso nos ajuda. Parece que acabamos de substituir uma equação vetorial por duas equações vetoriais. No entanto, ganhamos muito. Não podemos avaliar a soma de 𝐕 mais 𝐔 sem considerar a direção desses vetores.
No entanto, lembre-se de que todo componente horizontal tem a mesma direção. Quando adicionamos dois vetores com a mesma direção, simplesmente adicionamos suas magnitudes e mantemos a direção. Isso significa que podemos substituir ambas as nossas equações pelos componentes horizontal e vertical de 𝐖 por seus equivalentes não-vetoriais. Portanto, a magnitude de 𝑊 𝑥 é igual à magnitude de 𝑉 𝑥 mais a magnitude de 𝑈 𝑥. E o mesmo se aplica à magnitude de 𝑊 𝑦. É a magnitude de 𝑉 𝑦 mais a magnitude de 𝑈 𝑦.
Novamente, a única razão pela qual conseguimos converter essas equações de vetor em equações escalares é porque todos os vetores em cada equação têm a mesma direção. O que isso significa é que, usando nossas equações anteriores que relacionavam a magnitude e a direção dos vetores aos lados de seus componentes, podemos calcular essa soma vetorial como essas duas somas escalares geralmente muito mais fáceis.
Ok, isso tem sido um monte de matemática abstrata. Mas valeu a pena, porque agora podemos aplicar esse conjunto de ideias a qualquer uma de nossas quantidades cinemáticas. Cada uma das quantidades em que estamos interessados pode ser representada por um vetor.
Deslocamento é a distância de um ponto de referência em uma direção específica. Portanto, como o deslocamento tem uma magnitude e uma direção, podemos representá-lo como um vetor. Da mesma forma, velocidade é a rapidez do movimento em uma direção específica. Por isso, também possui uma magnitude e uma direção e pode ser representado com um vetor. Aceleração é a taxa de variação de velocidade. Como a velocidade tem magnitude e direção, a variação na velocidade pode ser uma variação na magnitude ou na direção ou em ambas. Portanto, a aceleração precisa levar informações sobre magnitude e direção. Por isso, também pode ser representada como um vetor. Finalmente, a força, pela segunda lei de Newton, é igual à massa vezes a aceleração. Sabemos que a aceleração é um vetor. Então massa, um escalar, vezes um vetor é apenas outro vetor.
Além disso, como vimos em nosso exemplo de uma pessoa empurrando uma caixa, para descrever completamente uma força, precisamos fornecer um tamanho e uma direção. Como cada uma dessas quantidades pode ser representada com um vetor, também podemos trabalhar com combinações dessas quantidades da mesma maneira que trabalhamos com combinações de vetores. Vamos ver alguns exemplos disso.
Uma extensão de estrada se estende para o norte por 10 quilômetros, desde a orla de uma cidade até onde cruza uma estrada para o leste. Um carro está quebrado na estrada para o leste. E o deslocamento da periferia da cidade do carro tem uma magnitude de 24 quilômetros. A que distância leste do cruzamento está o carro até o quilômetro mais próximo?
Para começar a responder a essa pergunta, vamos desenhar um diagrama. Temos uma estrada para o norte, uma estrada para o leste, um carro avariado e uma cidade. Aqui está nossa estrada para o norte, nossa estrada para o leste, nosso carro e nossa cidade. Fomos informados de que o cruzamento dessas estradas fica a 10 quilômetros ao norte da cidade. Também nos disseram que a magnitude do deslocamento entre o carro e a cidade é de 24 quilômetros. Nossa tarefa é encontrar essa distância do cruzamento até o carro e o quilômetro mais próximo.
Se visualizarmos o deslocamento como um vetor, podemos ver que a distância que procuramos é apenas o tamanho da projeção horizontal do deslocamento. Mas podemos facilmente encontrar o comprimento desse componente vetorial aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela estrada norte, pela estrada leste e pelo deslocamento. Este é um triângulo retângulo porque, por definição, a direção do norte e a direção do leste são perpendiculares.
Vamos chamar o comprimento deste segmento de estrada para o leste 𝑙. Então o teorema de Pitágoras nos diz que 10 quilômetros ao quadrado mais 𝑙 ao quadrado, a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos do triângulo é igual a 24 quilômetros ao quadrado, o quadrado do comprimento da hipotenusa. Se subtrairmos 10 quilômetros quadrados de ambos os lados, 10 quilômetros quadrados menos 10 quilômetros quadrados no lado esquerdo será zero. E ficamos com 𝑙 ao quadrado igual a 24 quilômetros ao quadrado menos 10 quilômetros ao quadrado. 24 ao quadrado é 576 e 10 ao quadrado é 100. Portanto, podemos reescrever o lado direito como 576 quilômetros ao quadrado menos 100 quilômetros ao quadrado. 576 menos 100 é 476, então 𝑙 ao quadrado é igual a 476 quilômetros ao quadrado.
Para encontrar 𝑙, simplesmente pegamos a raiz quadrada de ambos os lados. A raiz quadrada de quilômetros ao quadrado é de apenas quilômetros. Então 𝑙 é igual à raiz quadrada de 476 quilômetros. A raiz quadrada de 476 é aproximadamente 21,8. Arredondando para o quilômetro mais próximo, olhamos para o primeiro lugar à direita do ponto decimal, que é oito. Oito é maior que cinco; portanto, um arredonda para dois. Portanto, para o quilômetro mais próximo, a distância do carro avariado até o cruzamento é de 22 quilômetros.
Ótimo, vamos ver outro exemplo.
Um pássaro voa ao longo de uma linha que o desloca 450 metros a leste e 350 metros ao norte de seu ponto de partida, conforme mostrado no diagrama. Que ângulo o pássaro deve virar para o oeste para mudar de direção e voar diretamente para o norte? Dê a sua resposta ao grau mais próximo.
Tudo bem, portanto, temos um diagrama em que as direções cardinais são rotuladas de modo que o leste fique na direção à direita e o norte na direção ao topo. A linha azul representa o vetor de deslocamento do pássaro. E as duas linhas pretas representam os componentes verticais e horizontais desse deslocamento. Como afirmado na pergunta, estes são 350 metros ao norte e 450 metros ao leste, respectivamente. A pergunta nos pergunta em que ângulo o pássaro deve se virar para mudar de direção e voar diretamente em direção ao norte.
Para nos ajudar a descobrir esse ângulo, vamos desenhar a trajetória norte do pássaro no diagrama. Essa linha magenta representa uma trajetória para o norte, uma vez que aponta diretamente para cima. Por outro lado, se o pássaro continuasse ao longo de sua trajetória atual, seguiria essa linha pontilhada azul. Portanto, para mudar de direção e voar diretamente para o norte, o pássaro precisa passar por esse ângulo entre as duas trajetórias.
Este é o ângulo que precisamos calcular. Mas como não sabemos mais nada sobre os vetores pontilhados ou magenta, vamos tentar encontrar outra parte do diagrama com o mesmo ângulo. O vetor magenta e a parte norte do deslocamento apontam diretamente para o norte, portanto são paralelos. Mas isso significa que a trajetória do pássaro é uma linha reta que cruza duas linhas paralelas. Portanto, os ângulos correspondentes nas duas interseções têm a mesma medida.
Em nosso diagrama, esse ângulo entre o componente norte do deslocamento e o próprio deslocamento corresponde ao ângulo que desenhamos antes, pois ambos os ângulos estão à direita de uma das linhas paralelas e acima da linha de deslocamento. Portanto, se encontrarmos a medida desse ângulo, saberemos o ângulo que o pássaro precisa girar.
Agora, lembre-se de que, adicionando os componentes horizontal e vertical de um vetor, obtemos o próprio vetor. Portanto, se traçarmos 450 metros a leste entre a cabeça do vetor norte e a cabeça do vetor de deslocamento, obteremos um triângulo retângulo formado pelos dois componentes e o deslocamento. Esses dois vetores formam um ângulo reto porque norte e leste são perpendiculares. Vamos chamar nosso ângulo 𝜃.
Agora, lembre-se de que a tangente de um ângulo é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente. Então, tg de 𝜃 é igual a 450 metros dividido por 350 metros. Metro dividido por metro é apenas um. Portanto, o lado direito desta equação é apenas um número sem unidades. Agora, podemos pegar a tangente inversa de ambos os lados para encontrar esse ângulo. Conectando a uma calculadora, 𝜃 é igual ao arco de 450 dividido por 350, obtemos que 𝜃 está muito próximo de 52,125 graus.
Agora, lembre-se, este é o mesmo ângulo que estávamos procurando para responder à pergunta. Então, tudo o que precisamos fazer é arredondar 𝜃 para o grau mais próximo. Olhando para o primeiro dígito à direita da vírgula decimal, um é menor que cinco, portanto, dois arredonda para dois. Portanto, para o grau mais próximo, o pássaro precisa girar 52 graus em direção ao oeste para voar diretamente para o norte.
Ok, agora que vimos alguns exemplos, vamos revisar os pontos principais que aprendemos nesta aula. Neste vídeo, aprendemos que uma descrição completa das quantidades cinemáticas de deslocamento, velocidade, aceleração e força devem incluir uma magnitude e uma direção. Isso faz dos vetores o objeto matemático perfeito para representar essas quantidades.
Vimos também que um vetor representando qualquer uma dessas quantidades poderia ser representado como uma soma de dois vetores, cada um paralelo a um dos eixos em um sistema cartesiano. Usando o teorema de Pitágoras e as regras de trigonometria para triângulos retos, pudemos relacionar a magnitude e a direção do nosso vetor original às magnitudes de seus componentes, onde usamos os mesmos símbolos que os vetores, mas sem a meia seta no topo para representar a magnitude de cada vetor.
Também fomos capazes de determinar a magnitude dos componentes em termos da magnitude e direção do vetor original. Isso é suficiente para determinar completamente os componentes porque a direção de cada componente já é conhecida. Usando componentes, também convertemos uma soma vetorial em duas somas escalares, uma para cada componente. O uso dessas somas geralmente é bastante fácil, o que é muito útil para nós, porque a combinação de dois valores para a quantidade cinemática pode ser representada pela adição de vetores.
