Vídeo: Encontrando a Primeiro Derivada de uma Função que Envolve uma Função Exponencial

Encontre a primeira derivada da função 𝑦 = 4𝑥⁶ + 2𝑒^𝑥.

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Transcrição do vídeo

Encontre a primeira derivada da função 𝑦 é igual a quatro 𝑥 elevado a seis mais dois 𝑒 elevado a 𝑥.

Estamos procurando 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 que é uma derivada em relação a 𝑥 de quatro 𝑥 elevado a seis mais dois 𝑒 elevado a 𝑥. E como a derivada da soma de duas funções é a soma de suas derivadas, podemos dividir 𝑑 por 𝑑𝑥 de quatro 𝑥 elevado a seis mais dois 𝑒 elevado a 𝑥 nas duas derivadas 𝑑 por 𝑑𝑥 quatro 𝑥 elevado a seis e 𝑑 por 𝑑𝑥 dois 𝑒 elevado 𝑥.

Encontramos estas duas derivadas usando métodos diferentes. Para a primeiro dessas derivadas, podemos usar o fato de que a derivada com relação a 𝑥 de 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 é 𝑎 vezes 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. O coeficiente se torna quatro vezes seis, que é 24. E o expoente se torna seis menos um, que é cinco.

Para a outra derivada, usamos a propriedade especial do número 𝑒 — que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 em relação a 𝑥 é apenas 𝑒 elevado a 𝑥. Este fato significa que a derivada de dois 𝑒 elevado a 𝑥 em relação a 𝑥 é dois 𝑒 elevado 𝑥. Aqui, também usamos o fato de que a derivada de um número vezes uma função é esse número vezes a derivada da função.

Usando essas propriedades, vemos que a primeira derivada da função 𝑦 é igual a quatro 𝑥 elevado a seis mais dois 𝑒 elevado a 𝑥 é 24𝑥 elevado a cinco mais dois 𝑒 elevado 𝑥.

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