Lesson Video: Norma de um Vetor no Plano

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Neste vídeo, aprenderemos como determinar a norma de vetores em duas dimensionais. Começaremos por recordar alguns factos importantes sobre vetores. Qualquer vetor tem dois aspetos, a sua direção e sua norma. A norma de um vetor é o seu tamanho ou comprimento. Existem três maneiras principais de escrever vetores 2D, como um vetor em coluna, de maneira semelhante a uma coordenada, mas com parêntesis angulares, ou dividir em componentes 𝐢 e 𝐣. Cada um destes três vetores representa a mesma coisa.

Denotamos a norma do vetor 𝐯 utilizando o símbolo de módulo, duas linhas verticais paralelas. Utilizamos o teorema de Pitágoras para calculá-lo. A norma do vetor 𝐯 é igual à raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado, onde 𝑎 e 𝑏 são os valores cinco e dois neste caso. A nossa primeira questão envolve determinar a norma de um vetor num plano de coordenadas.

O vetor 𝐯 está representado no plano de unidades quadrados em baixo. Determine o valor da norma de 𝐯.

Sabemos que a norma de qualquer vetor é o seu comprimento. Ao criar um triângulo retângulo no plano, podemos ver que o vetor se moveu quatro unidades para a direita e três unidades para cima. A norma do vetor 𝐯 pode, portanto, ser determinada utilizando o teorema de Pitágoras. Este afirma que o comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois catetos. A norma de 𝐯 é, portanto, igual à raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado.

Embora não importe a ordem em que substitua o quatro e o três, geralmente fazemos a componente horizontal primeiro. Quatro ao quadrado é igual a 16 e três ao quadrado é igual a nove. A norma do vetor 𝐯 é igual à raiz quadrada de 25. Como 25 é um quadrado perfeito, podemos calculá-lo. A raiz quadrada de 25 é igual a mais ou menos cinco. Como estamos a lidar com um comprimento, a nossa resposta deve ser positiva. Portanto, a norma do vetor 𝐯 no plano é cinco.

Agora, examinaremos algumas questões nas quais precisamos de calcular a norma de um vetor escrito em diferentes formas.

Qual é a norma do vetor cinco, 12?

Sabemos que para qualquer vetor escrito na forma 𝑎, 𝑏, a norma é igual à raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Como a norma é o comprimento do vetor, esta pode ser apresentada num plano. Vamos considerar o vetor 𝐯 como apresentado. Se este vetor se moveu uma distância 𝑎 na direção horizontal e 𝑏 na direção vertical, podemos criar um triângulo retângulo. Utilizando o teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual a 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Isso significa que o comprimento do vetor será igual à raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado.

Nesta questão, as duas componentes do vetor são cinco e 12. Portanto, podemos calcular a sua norma determinando a raiz quadrada de cinco ao quadrado mais 12 ao quadrado. Cinco ao quadrado é igual a 25 e 12 ao quadrado é igual a 144. Isso significa que a norma do vetor 𝐯 é a raiz quadrada de 169. Como a nossa resposta deve ser positiva, a norma do vetor 𝐯 é 13.

Dado que o vetor 𝐀 é igual a menos cinco menos três, onde 𝐢 e 𝐣 são vetores unitários perpendiculares, determine a norma do vetor 𝐀.

Podemos começar por desenhar isso num plano em que 𝐢 e 𝐣 são vetores unitários perpendiculares. O nosso vetor 𝐀 move-se uma distância de menos cinco na direção 𝐢 e uma distância de menos três na direção 𝐣. O vetor 𝐀 pode, portanto, ser desenhado como apresentado. Como a norma de qualquer vetor é o seu comprimento, podemos calculá-la desenhando um triângulo retângulo, como se apresenta. A norma de qualquer vetor 𝐯 pode, portanto, ser calculada utilizando o teorema de Pitágoras, onde a norma é igual à raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado.

As letras minúsculas 𝑎 e 𝑏 são as componentes 𝐢 e 𝐣, respetivamente. Portanto, a norma do vetor 𝐀 é igual à raiz quadrada de menos cinco ao quadrado mais menos três ao quadrado. O quadrado de um número negativo dá uma resposta positiva. Portanto, a raiz quadrada de menos cinco é 25 e a raiz quadrada de menos três é nove. Isso significa que a norma do vetor 𝐀 é igual à raiz quadrada de 34. Como 34 não é um quadrado perfeito, podemos deixar a nossa resposta na forma de raiz. Se o vetor 𝐀 é igual a menos cinco 𝐢 menos três 𝐣, a sua norma é igual à raiz quadrada de 34.

A nossa próxima questão envolverá determinar a norma de um vetor entre dois pontos.

Qual é a norma do vetor 𝐀𝐁 onde 𝐴 é igual a 11, três e 𝐵 é igual a sete, três?

A norma de um vetor é o seu tamanho ou comprimento. Portanto, neste caso, precisamos de determinar a distância ou o comprimento entre o ponto 𝐴 e o ponto 𝐵. Existem várias maneiras de abordar este problema, veremos duas delas. O nosso primeiro método será graficamente e começaremos por representar as duas coordenadas. O ponto 𝐴 tem as coordenadas 11, três. O ponto 𝐵 tem coordenadas sete, três. Como os dois pontos têm a mesma coordenada em 𝑦, a distância de 𝐴 a 𝐵 será uma distância horizontal. Para passar de 11 às sete, precisamos de subtrair quatro. Como a norma de qualquer vetor deve ser positiva, então a norma de 𝐀𝐁 é igual a quatro.

Também poderíamos ter calculado a distância entre o ponto 𝐴 e o ponto 𝐵 utilizando uma das nossas fórmulas de geometria analítica. A distância entre dois pontos é igual à raiz quadrada de 𝑥 um menos 𝑥 dois ao quadrado mais 𝑦 um menos 𝑦 dois ao quadrado, onde os nossos dois pontos têm coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois. Substituindo os nossos valores dá-nos 𝑑 igual à raiz quadrada de 11 menos sete ao quadrado mais três menos três ao quadrado.

Não importa a coordenada que é 𝑥 um, 𝑦 um e a que é 𝑥 dois, 𝑦 dois. 11 menos sete é igual a quatro e três menos três é zero. Como zero ao quadrado é igual a zero, 𝑑 é igual à raiz quadrada de quatro ao quadrado. Como a nossa distância deve ser positiva, isto é igual a quatro. Mais uma vez, calculamos que a norma do vetor 𝐀𝐁 é quatro.

A nossa questão final envolverá determinar a norma de dois vetores separados e a sua soma.

Considere os vetores 𝐮 igual a dois, três e 𝐯 igual a quatro, seis. Qual é a norma do vetor 𝐮? Qual é a norma do vetor 𝐯? Qual é a norma do vetor 𝐮 mais vetor 𝐯? Nas três questões, precisamos de responder com duas casas decimais, quando for adequado.

Lembramos que a norma de qualquer vetor 𝐰 pode ser determinada pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado, onde 𝑎 e 𝑏 são as duas componentes do vetor. No vetor 𝐮, 𝑎 é igual a dois e 𝑏 é igual a três. Enquanto no vetor 𝐯, 𝑎 é igual a quatro e 𝑏 é igual a seis. A norma do vetor 𝐮 é, portanto, igual à raiz quadrada de dois ao quadrado mais três ao quadrado. Como dois ao quadrado é igual a quatro e três ao quadrado é igual a nove, a norma do vetor 𝐮 é igual à raiz quadrada de 13. Frequentemente, deixamos isto na forma de radical. No entanto, neste caso, solicitam-nos a resposta com duas casas decimais. A raiz quadrada de 13 é igual a 3.605551 e assim por diante.

Para arredondar a duas casas decimais, o nosso número chave ou decisivo será o primeiro. Este arredondará a nossa resposta. A norma do vetor 𝐮 com duas casas decimais é 3.61. Podemos repetir este processo para calcular a norma do vetor 𝐯. Quatro ao quadrado é igual a 16 e seis ao quadrado é igual a 36. Portanto, a norma do vetor 𝐯 é a raiz quadrada de 52. Digitar isto na calculadora dá-nos 7.211102 e assim por diante. Desta vez, o nosso número decisivo é um. Como é menor que cinco, aproximaremos por defeito. A norma do vetor 𝐯 é, portanto, igual a 7.21.

A parte final da nossa questão pede que calculemos a norma de 𝐮 mais 𝐯. O nosso primeiro passo aqui será o cálculo do vetor 𝐮 mais 𝐯. Fazemo-lo adicionando as componentes correspondentes. Dois mais quatro é igual a seis e três mais seis é igual a nove. Podemos então calcular a norma de 𝐮 mais 𝐯 da mesma maneira. Esta é igual à raiz quadrada de seis ao quadrado mais nove ao quadrado. Seis ao quadrado é igual a 36 e nove ao quadrado é igual a 81. Portanto, a norma de 𝐮 mais 𝐯 é igual à raiz quadrada de 117. Digitar isto na calculadora dá-nos 10.816653. O número decisivo aqui é seis, e qualquer coisa que seja cinco ou maior significa que aproximamos por excesso. A norma de 𝐮 mais 𝐯 é igual a 10.82.

Ao analisar as nossas três respostas, poderá pensar que viu um padrão, pois 3.61 mais 7.21 são iguais a 10.82. Isto sugere que a norma de 𝐮 mais 𝐯 é igual à norma de 𝐮 mais a norma de 𝐯. Isso, no entanto, normalmente não é o caso. A única razão pela qual funciona nesta questão é que o vetor 𝐯 é na verdade um múltiplo do vetor 𝐮. Dois multiplicado por dois é igual a quatro. E três multiplicado por dois é igual a seis.

Portanto, o vetor 𝐯 é na verdade dois lotes do ou dois multiplicado pelo vetor 𝐮. O que significa que a norma do vetor 𝐯 é duas vezes a norma do vetor 𝐮. A raiz de 52 é igual a dois raiz de 13. A norma de 𝐮 mais 𝐯 nesta questão torna-se três vezes a norma do vetor 𝐮. É importante observar, no entanto, como mencionado anteriormente, isto não será válido para a maioria das questões sobre vetores.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. A norma de um vetor é o seu comprimento. Podemos calcular a norma de qualquer vetor em duas dimensões utilizando o teorema de Pitágoras. A norma do vetor 𝐯 é igual à raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado, onde 𝑎 e 𝑏 são as duas componentes do vetor. Embora a nossa resposta seja geralmente escrita na forma de radical, podemos calcular o valor decimal.

Finalmente, descobrimos que, na maioria dos casos, a norma do vetor 𝐮 mais vetor 𝐯 não é igual à norma do vetor 𝐮 mais a norma do vetor 𝐯. Tudo o que utilizámos neste vídeo também pode ser aplicado a vetores tridimensionais. Estes seriam escritos na forma 𝑎, 𝑏, 𝑐, o vetor da coluna 𝑎, 𝑏, 𝑐 ou 𝑎𝐢 mais 𝑏𝐣 mais 𝑐𝐤.