Video Transcript
Neste vídeo, vamos falar sobre reorganizar fórmulas de quantidades físicas. Agora, podemos ver nesta figura uma fórmula que precisa de ser reorganizada. Mas isso é porque está escrita incorretamente. O que falaremos nesta aula, porém, é diferente disso. Não é reorganizar as fórmulas incorretas para corrigi-las. Mas, em vez disso, utilizaremos fórmulas que já são fisicamente exatas. E aprenderemos como escreve-las de maneiras diferentes. Podemos começar com a expressão correta da segunda lei do movimento de Newton. A força resultante num objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração. Escrita desta maneira, esta fórmula tem uma variável isolada. Essa variável é a força 𝐹. A maneira como podemos reconhecer uma variável isolada numa equação é o termo que está num membro da equação por si só. Aqui, temos este termo único, a força 𝐹, seguida por um sinal de igual, o que significa que 𝐹 é a variável isolada desta equação.
Mas digamos que nos deram um exemplo de exercício, algo como isto. Digamos que estávamos a empurrar um copo sobre uma mesa lisa e que estávamos a aplicar uma força constante conhecida no copo com uma determinada massa. Se quiséssemos determinar a aceleração do vidro, poderíamos utilizar a segunda lei de Newton para o fazer, mas não na forma em que está atualmente. Como já sabemos a força 𝐹, ser a variável isolada da nossa equação não é o que queremos. Em vez disso, queremos que a aceleração 𝑎, a variável que estamos a tentar resolver, seja a variável isolada. Para que isso aconteça, será necessário reorganizar esta equação. Sempre que queremos reorganizar uma fórmula, isso exige algumas operações algébricas, adição, subtração, multiplicação, divisão.
Uma maneira de abordar este processo é olhar para a fórmula na sua forma atual e reconhecer o que queremos que a variável isolada da nova fórmula reorganizada seja. Como vimos no nosso caso, esta é a aceleração 𝑎. Agora, se 𝑎 será a nova variável isolada, isso significa que esta variável precisa de estar sozinha num membro da equação. Isso significa que tudo à direita deste sinal de igual além da aceleração 𝑎 precisa de ser movido para a esquerda. Se fizermos isso, 𝑎 estará sozinho num membro da equação. Será a variável isolada. Neste caso, podemos ver que, para a tornar a variável isolada da nossa fórmula, tudo o que precisamos de fazer é mover a massa do segundo para o primeiro membro. Mas então, levanta a questão: como fazemos isso exatamente? Adicionamos 𝑚, subtraímo-lo, multiplicamo-lo, dividimo-lo? Estas são as nossas quatro opções. E para descobrir qual escolher, podemos fazer-nos esta pergunta. Que operação matemática poderíamos realizar no segundo membro desta equação para que 𝑚 desaparecesse deste membro?
O motivo pelo qual estamos a fazer esta pergunta é porque, se "desaparecesse", isso deixaria 𝑎 sozinho. Seria a nova variável isolada da nossa fórmula. Bem, pensando nisso, e se dividíssemos o segundo membro dessa equação por 𝑚. Se fizéssemos isso, teríamos um fator de 𝑚 no numerador e um fator no denominador. Estes anular-se-iam. Isso é bom. Era isso que queríamos que acontecesse. Mas precisamos de ter cuidado. Como estamos a trabalhar com uma equação, isso significa que o que estiver à esquerda deste sinal deve ser igual ao que está à direita. E isso significa que se fizermos algo com um destes dois membros e, neste caso, dividiremos este membro por 𝑚. Então, para manter esta igualdade, precisamos de fazer exatamente a mesma coisa no outro membro da fórmula. Como dividimos por 𝑚 no primeiro membro, vamos fazer isto no segundo membro também.
Se limparmos um pouco esta confusão, eis o que fizemos com esta equação 𝐹 igual a 𝑚𝑎. Dividimos os dois membros da equação pela massa 𝑚. E, como vimos, isso significa que este termo é anulado no segundo membro. Ao nos livrarmos deste termo anulado, agora podemos ver a nova forma reorganizada da nossa fórmula. Assim como é correto dizer que 𝐹 é igual a 𝑚 vezes 𝑎, também podemos dizer de forma equivalente que 𝐹 dividido por 𝑚 é igual a 𝑎. E agora reorganizamos a nossa fórmula para que a nossa nova variável, a aceleração 𝑎, seja a variável que queremos resolver. E a partir daqui, tudo o que precisamos de fazer é substituir nos valores dados de 𝐹 e 𝑚, dividir 𝐹 por 𝑚. E isso será igual a 𝑎. Vamos considerar alguns passos para converter a nossa fórmula original numa forma reorganizada mais útil.
Embora estivéssemos a trabalhar com uma fórmula específica, a segunda lei do movimento de Newton, os passos que seguimos, o processo aplica-se em geral a reorganizar equações. O primeiro passo foi identificar o que queríamos ser a variável isolada da fórmula. A maneira como nos foi dada. Esta variável era a Força 𝐹. Mas queríamos que fosse a aceleração 𝑎. E então, o nosso segundo passo foi somar, subtrair, multiplicar, dividir toda e qualquer uma deles para isolar a nossa nova variável. E quando dizemos isolar, queremos dizer que essa variável num membro da equação sozinha, assim como fizemos com a aceleração 𝑎. Agora, podemos perguntar-nos, como saberemos qual destas quatro operações ou alguma combinação delas devemos aplicar?
A abordagem específica que adotamos dependerá da fórmula com a qual estamos a trabalhar. Mas aqui está uma regra geral. Se houver uma variável na nossa fórmula que queremos mover por reorganização. No caso de 𝐹 igual a 𝑚𝑎, essa variável foi a massa 𝑚. Então, no entanto, essa variável combina com a variável que queremos que seja a isolada. Selecionamos a operação matemática oposta à que as combina para isolar a variável escolhida. Agora isto pode parecer complicado. Mas tudo o que significa é que, se a variável que queremos mover está a multiplicar a variável que queremos que seja isolada, devemos dividir pela variável que queremos mover. E o oposto também é verdadeiro. Digamos que de alguma forma tínhamos uma equação em que, num dos membros, tínhamos 𝑎 dividido por 𝑚. Se quiséssemos isolar 𝑎. Se quiséssemos que esta fosse a variável isolada desta equação, então como 𝑚 atualmente está a dividir 𝑎, multiplicaríamos este membro, assim como o outro membro da equação, por 𝑚. Este seria um passo para isolar a variável que queremos.
Portanto, se temos uma equação em que a nossa variável isolada é 𝑥 e estamos a adicioná-la a algo. Então esta regra geral diz para subtrai-la nos dois membros ou se a operação fosse diferente. Digamos que em vez de 𝐴 ser adicionado a 𝑥, 𝐴 estava a ser subtraído deste. Em seguida, selecionamos a operação oposta à subtração, ou seja, adicionamos 𝐴 nos dois membros da equação. Ou, como vimos, se 𝐴 multiplica, que queremos que seja a isolada, dividimos os dois membros por 𝐴 e assim por diante. É isto que queremos dizer quando afirmamos que, se uma variável é matematicamente combinada com uma variável que queremos que seja isolada, então combinar essa variável que queremos reorganizar da maneira oposta ajudar-nos-á a fazer isso. Portanto, este é o nosso processo de dois passos para reorganizar as equações para isolar uma variável de interesse.
Agora, há outro tipo de reorganização que queremos conhecer. Neste cenário, em vez de apenas ter uma equação, temos duas. E a reorganização que queremos fazer envolve uma substituição. Voltando ao nosso exemplo do copo deslizante, digamos que, além de conhecer a força aplicada nele e a massa do vidro, também sabemos o quanto a velocidade do copo mudou, podemos chamá-la de Δ𝑣, num dado intervalo de tempo. Sabendo tudo isto, e se quiséssemos isolar este intervalo de tempo? E podemos chamá-lo de Δ𝑡. Com base nas duas equações que temos, 𝐹 é igual a 𝑚𝑎. E 𝑎 é igual a Δ𝑣 dividido por Δ𝑡. Podemos ver que nenhuma destas equações por si só nos permitirá isolar Δ𝑡. Mas se as combinarmos, isto tornar-se-á possível.
Considerando estas duas fórmulas, observa que a aceleração 𝑎 aparece nas duas. Além disso, na equação à direita, a aceleração é a isolada desta fórmula. Isso significa que tudo no segundo membro desta equação é igual a 𝑎. E agora, é aqui que entra o passo da substituição. Como este 𝑎 aqui e este 𝑎 aqui são exatamente os mesmos, então se uma outra expressão for igual a 𝑎, como sabemos, Δ𝑣 dividido por Δ𝑡 é. Então, isso significa que podemos substituir esta expressão em 𝑎 nesta expressão de 𝑎 na nossa equação de 𝐹 igual a 𝑚𝑎. Quando fazemos isso, a nossa nova equação combinada parece-se com isto. 𝐹 é igual a 𝑚 vezes Δ𝑣 dividido por Δ𝑡. Agora podemos lembrar que é Δ𝑡 que queremos isolar. Queremos que esta seja a variável isolada desta fórmula e que, a partir d nosso enunciado do problema, deram-nos a força 𝐹, a massa 𝑚 e a mudança na velocidade Δ𝑣.
Portanto, agora podemos seguir o nosso processo de reorganizar uma equação para mudar a variável isolada desta fórmula. Queremos que a isolada neste caso seja Δ𝑡. E sabemos que isso significa ter Δ𝑡 no numerador. Para já, é claro, está no denominador. Mas a maneira de mudá-lo é multiplicar os dois membros desta equação por Δ𝑡. Quando fazemos isso, olhando para o segundo membro, vemos que Δ𝑡 no denominador se anula com o do andar superior. Mas agora, no primeiro membro, temos Δ𝑡 vezes 𝐹.
Como queremos Δ𝑡 sozinho, precisamos de pensar numa operação a ser executada para mover 𝐹 para o outro membro da equação. Como 𝐹 atualmente está a multiplicar por Δ𝑡, a nossa primeira ideia é dividir os dois membros da equação por 𝐹. Desta forma, anularemos este termo no primeiro membro. E depois de limparmos o termo anulado, observa que agora temos uma fórmula reorganizada, onde Δ𝑡 realmente está isolado. Se íamos calcular Δ𝑡, o nosso próximo passo seria substituir os outros valores das outras variáveis. Para obter este resultado, utilizámos a substituição para combinar duas equações separadas e, em seguida, reorganizar a equação resultante para isolar a variável de interesse.
Agora, antes de começarmos um exemplo de exercício, há uma questão prática a considerar quando falamos em reorganizar fórmulas. E é que, às vezes, esta reorganização é matematicamente confusa. Por exemplo, digamos que queremos isolar um valor que chamaremos de 𝑥. O único problema é 𝑥 é igual a uma expressão complexa. De facto, isto é literalmente uma fração complexa. Observa que temos uma fração no numerador e uma fração no denominador. Como é que podemos simplificar esta expressão? Bem, digamos que, quando obtemos uma expressão final para 𝑥, estamos bem com uma fração simples, mas não com uma fração complexa. Por outras palavras, na nossa expressão final para 𝑥, devemos ver apenas um sinal de divisão, em vez de três como agora. Então, queremos reorganizar esta expressão à direita para nos livrarmos de algumas destas divisões.
Uma maneira de pensarmos nisso é tentar tornar o denominador dessa fração complexa igual a um. Se o fizéssemos, nossa fração geral seria 𝑎 dividida por 𝑏 dividida por um. Mas sabemos que qualquer número dividido por um é apenas o número em si. Portanto, se conseguirmos que este denominador seja igual a um, poderíamos ter uma expressão simplificada para a nossa variável 𝑥. Agora, a maneira mais rápida de transformar algum valor em um é multiplicar esse valor pelo seu inverso. O inverso de 𝑐 dividido por 𝑑, onde 𝑐 e 𝑑 são apenas variáveis, é 𝑑 dividido por 𝑐. E observa que, se multiplicarmos estas frações, o 𝑐 no numerador será anulado com o 𝑐 no denominador. E o mesmo acontecerá com o 𝑑. Por outras palavras, toda esta expressão será simplificada para um. Mas espera um momento. Nós apenas multiplicámos o denominador da nossa fração por um número. No entanto, este denominador e a fração de que faz parte fazem parte de uma equação, onde um lado é igual ao outro. Isso significa que, se fizermos uma coisa para um membro da equação, temos que fazer a mesma coisa para o outro membro, para manter a igualdade verdadeira. Ou existe uma alternativa.
Outra maneira de mantermos esta igualdade, escrita nesta fórmula, é multiplicar o numerador do segundo membro pela mesma fração pela qual dividimos. Por outras palavras, multiplicar o numerador por 𝑑 dividido por 𝑐. A razão pela qual isso mantém a igualdade verdadeira é que estamos a multiplicar pelo mesmo número que estamos a dividir. E qualquer número dividido por si é igual a um. Então, multiplicamos essencialmente o segundo membro desta equação original por um. É isso que significa multiplicar 𝑑 sobre 𝑐 dividido por 𝑑 sobre 𝑐. Então, estamos a multiplicar efetivamente por um. Mas, ao fazê-lo, todos os valores no nosso denominador anulam um valor igual. O que nos resta então é 𝑎 dividido por 𝑏 vezes 𝑑 dividido por 𝑐 tudo sobre um. Mas, como dissemos, qualquer número dividido por um é igual ao número em si. Portanto, a nossa expressão final simplifica para 𝑎 vezes 𝑑 dividido por 𝑏 vezes 𝑐. Esta é uma fração simples, que é matematicamente igual à fração complexa original com a qual começámos. Quando reorganizamos as equações, em geral, é útil substituir frações complexas por frações simples, como fizemos aqui.
Agora que vimos algumas abordagens diferentes para reorganizar as fórmulas, vamos praticar um pouco destas ideias com um exemplo.
A velocidade de um objeto é igual à distância percorrida pelo objeto dividida pelo tempo de viagem, escrito como velocidade igual à distância dividida pelo tempo. Qual é a fórmula para a distância percorrida do objeto?
Ok, neste exercício, temos esta relação entre velocidade, distância e tempo. Escrito desta maneira, a variável isolada desta equação é a velocidade do objeto. Este é o termo que está sozinho num membro da fórmula. O que queremos fazer é reorganizar esta equação para que a distância, e não a velocidade, seja a isolada. Agora que sabemos qual será a nova variável isolada da nossa equação reorganizada. Queremos descobrir quais são as operações que precisaremos de executar, adição, subtração, multiplicação, divisão, para que este termo, distância, esteja por si só num membro da fórmula. Podemos ver imediatamente que o único outro termo no segundo membro da nossa equação, junto com a distância, é tempo. Este é o único termo que precisamos de reorganizar para que a distância se torne a variável isolada. Como agora, o tempo é dividido em distância. Para movê-lo do segundo membro para o primeiro membro, multiplicaremos os dois membros pelo mesmo termo.
Há duas razões para darmos este passo. Por um lado, multiplicar os dois membros pelo tempo anulará este termo no segundo membro. Mas, então, precisávamos de multiplicar os dois membros, e não apenas um, por esta variável, para que a nossa equação fosse verdadeira. Se fizermos algo num membro da equação, precisamos de fazer o mesmo no outro lado. Por isso, multiplicamos o primeiro membro pelo tempo também. Com os fatores de tempo no segundo membro anulado, agora a única coisa neste membro da equação é a variável isolada, a distância. E vemos que a distância é igual ao tempo multiplicado pela velocidade. Esta é a forma reorganizada da nossa fórmula, em que distância, em vez de velocidade, é a variável isolada.
Vamos resumir agora o que aprendemos sobre como reorganizar as fórmulas de quantidades físicas. Começando, vimos que, numa fórmula, por exemplo, uma fórmula imaginária 𝐴 é igual a 𝐵 vezes 𝐶, a quantidade isolada num membro desta fórmula é chamada de variável isolada. No caso desta equação, 𝐴 é igual a 𝐵 vezes 𝐶, 𝐴 é essa variável. Vimos, em seguida, que reorganizar uma equação para mudar a variável isolada da equação envolve um processo de dois passos. Primeiro, identificamos a nova variável a isolar. Essa é a variável que agora escreveremos a equação em termos de. Segundo, realizamos operações matemáticas, adição, subtração, multiplicação e divisão, conforme necessário, a fim de isolar essa nova variável isolada. E, finalmente, vimos que abordagens chamadas substituição e simplificação de frações complexas também são técnicas de reorganização.
