Vídeo: Encontrando a Potência de uma Partícula se Movendo sob uma Força na Forma Vetorial Utilizando uma Expressão de Posição-Tempo

Uma partícula está se movendo sob a ação da força 𝐹 = 8𝑖 + 5𝑗. Seu vetor de posição no tempo 𝑡 é dado pela relação 𝑟 (𝑡) = (3𝑡² - 𝑡 - 4) 𝑖 + ((5/2) 𝑡² + 10𝑡 + 5) 𝑗. Encontre a taxa do trabalho realizado pela força em 𝑡 = 3.

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Transcrição do vídeo

Uma partícula está se movendo sob a ação da força 𝐹 é igual a oito 𝑖 mais cinco 𝑗. Seu vetor de posição no tempo 𝑡 é dado pela relação 𝑟 em função de 𝑡 é igual a três 𝑡 ao quadrado menos 𝑡 menos quatro 𝑖 mais cinco meios 𝑡 ao quadrado mais 10 𝑡 mais cinco 𝑗. Encontre a taxa do trabalho realizado pela força em 𝑡 é igual a três.

Temos a força bem como as componentes 𝐹 e o vetor de posição de uma partícula em função do tempo 𝑡 e queremos resolver a taxa na qual o trabalho é feito pela força em um determinado momento. Essa taxa é uma taxa em relação ao tempo. Então podemos chamar a variável que estamos procurando por 𝑑𝑤 𝑑𝑡.

Se nos lembrarmos de que o trabalho é igual ao produto escalar da força e deslocamento, então, em termos das informações que recebemos, podemos reescrever nossa expressão como 𝑑 𝑑𝑡 a derivada do tempo de 𝐹 ponto 𝑟 de 𝑡. E como 𝐹 é constante em relação ao tempo, podemos reescrever isso como 𝐹 ponto 𝑑 𝑑𝑡 de 𝑟 de 𝑡.

Como 𝐹 e 𝑟 de 𝑡 são dados no enunciado do problema, podemos inserir esses valores agora e fazer esse cálculo. Substituindo oito 𝑖 mais cinco 𝑗 para 𝐹 e as componentes 𝑖 e 𝑗 de 𝑟, estamos prontos para usar a derivada de tempo de 𝑟 de 𝑡. Quando o fazemos, descobrimos que a derivada em relação a 𝑡 nos dá seis 𝑡 menos um 𝑖 mais cinco 𝑡 mais 10𝑗.

Foi dito que queremos calcular essa taxa quando o tempo é igual a três. Substituindo esse valor para 𝑡 onde aparece em nossa derivada de tempo de 𝑟 de 𝑡, nossa derivada de tempo do vetor de posição reduz para 17𝑖 mais 25𝑗.

Aplicando a operação do produto escalar entre esses dois vetores, encontramos um resultado de oito vezes 17 mais cinco vezes 25 ou 261. Essa é a taxa de trabalho realizado ou a potência exercida pela força no tempo 𝑡 é igual a três.

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