Vídeo: Utilizando Soma e Diferença de Identidades de Ângulos para Calcular uma Expressão Trigonométrica Envolvendo Ângulos Notáveis

Calcule cos (260) cos (70) − sen (260) sen (70).

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Transcrição do vídeo

Calcule cos de 260 vezes cos de 70 menos sen de 260 vezes sen de 70.

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do ângulo do cos composto para cos de 𝐴 mais 𝐵. Nós temos que cos de 𝐴 mais 𝐵 é igual a cos de 𝐴 vezes cos de 𝐵 menos sen de 𝐴 vezes sen de 𝐵. Aqui, notamos que o lado direito desta equação é muito semelhante à expressão dada na questão. E para tornar o lado direito da nossa nova equação igual à expressão da questão, podemos simplesmente definir 𝐴 igual a 260 e 𝐵 igual a 70.

Agora vamos substituir esses valores na equação. Isso dá que cos de 260 mais 70 é igual a cos de 260 vezes cos de 70 menos sen de 260 vezes o sen de 70. E nós podemos reescrever o lado esquerdo desta equação como cos de 330. Agora 330 não é um bom ângulo para trabalhar. Então vamos encontrar outro ângulo, 𝜃, tal que cos de 𝜃 é igual a cos de 330. Para fazer isso, vamos desenhar o gráfico de cos.

Aqui temos um gráfico de 𝑦 igual a cos 𝜃. Agora vamos marcar cos de 330. Aqui, a linha tracejada horizontal representa 𝑦 é igual a cos de 330. Agora qualquer outro ponto onde esta linha cruza a reta 𝑦 é igual a cos 𝜃 nos dará um valor de 𝜃 tal que cos de 𝜃 é igual a cos de 330. Podemos ver que as duas retas se cruzam em algum ponto entre zero e 90. Agora, a fim de encontrar o valor deste ponto, podemos usar o fato de que o gráfico é simétrico em torno de 180 graus.

E o que isto significa é que a distância de 360 ​​a 330 será a mesma que a distância de zero ao ponto que estamos tentando encontrar. Agora a distância de 360 ​​para 330 é 30. Portanto, a distância de zero ao ponto que estamos tentando encontrar também será 30. Isso significa que esse ponto é de 30 graus. E o que isso nos diz é que cos de 330 é igual a cos de 30. E agora, já que cos de 330 é igual a expressão que estamos tentando calcular, podemos escrever que cos de 30 é igual a cos de 260 vezes cos de 70 menos sen de 260 vezes o sen de 70.

E assim tudo o que resta é encontrar o valor de cos de 30. A fim de encontrar esse valor, vamos desenhar um triângulo equilátero com lados de comprimento dois. Agora vamos cortar o triângulo ao meio na vertical. Então, agora, temos um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus. Vamos desenhar esse triângulo separadamente. Agora, como sabemos a extensão da hipotenusa e um dos lados que faltam, podemos encontrar o comprimento que falta usando o teorema de Pitágoras. Isso nos dá um comprimento de raiz três.

Para encontrar o valor de cos de 30, podemos usar SOHCAHTOA. E como estamos tentando encontrar o ângulo, usaremos o CAH. Isso nos diz que cos de 𝜃 é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. Agora no nosso triângulo, o ângulo em que estamos interessados ​​é de 30 graus. Então, vamos chamar esse ângulo de 𝜃. E agora podemos nomear o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa do triângulo em relação a este ângulo 𝜃.

Então, o lado de comprimento raiz de três é o cateto adjacente. O lado do comprimento um é o cateto oposto. E o lado de comprimento dois é a hipotenusa. Agora temos que cos de 30 é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. Então isso é a raiz de três sobre dois. Isto dá a nossa solução de cos de 260 vezes cos de 70 menos sen de 260 vezes o sen de 70 é igual a raiz de três sobre dois.

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