Video Transcript
Neste vídeo, o nosso tópico é combinar incertezas. Neste esboço, vemos uma pessoa a fazer o check-in para o seu voo no aeroporto. Mas, ao responder às perguntas do agente do portão, esta pessoa não sabe para onde vai. Não sabem quando vão sair. E não têm a sua identificação. Todos estes fatores combinam-se para criar uma incerteza geral maior sobre quem é esta pessoa e para onde vai.
Como veremos, algo semelhante ocorre quando combinamos valores medidos. E nesta aula, aprenderemos regras para fazer isso. Quando começamos, podemos lembrar que todos os valores medidos têm alguma incerteza neles. Isso acontece porque qualquer dispositivo que utilizemos para fazer uma medição não será infinitamente preciso. Por exemplo, digamos que medimos a altura desta pessoa aqui. Podemos utilizar uma fita métrica para o fazer. E mesmo que sejamos muito cuidadosos no processo de medição, alinhando o topo da cabeça da pessoa com uma fita métrica. Ainda assim, se olharmos atentamente para a fita métrica, veremos que as marcações nela limitam a precisão com a qual podemos relatar a altura desta pessoa.
Digamos que cada uma destas marcas na nossa régua indicou uma diferença no comprimento de um centímetro. Ao observar a nossa linha tracejada a representar a altura do topo da cabeça da pessoa, poderíamos ir uma casa decimal além desta precisão para estimar a altura desta pessoa às décimas de um centímetro. Digamos que, quando fazemos isso, obtemos um valor de 165.4 centímetros para a altura desta pessoa. Mas este número é um pouco incerto. A verdadeira altura da pessoa pode ser um pouco maior ou um pouco menor do que este valor. Mais especificamente, pode ser uma décima de um centímetro acima ou uma décima de um centímetro abaixo do valor que relatámos.
É importante incluir esta incerteza geral no nosso valor relatado. Diríamos que a altura medida desta pessoa é 165.4 mais ou menos 0.1 centímetros. Vemos então que as incertezas nas medições vêm de limites na precisão dos nossos dispositivos de medição. Como nenhum dispositivo de medição é infinitamente preciso, haverá sempre alguma incerteza no valor medido. Agora, digamos que, utilizando a mesma régua, medimos a altura de uma segunda pessoa e que a altura dessa pessoa seja 148.6 mais ou menos 0.1 centímetros. Neste ponto, temos estes dois valores medidos e estão separados. Eles indicam separadamente a altura destas respetivas pessoas.
Mas e se quiséssemos combinar estas alturas? E se, através de uma façanha impressionante de equilíbrio e força, a segunda pessoa fosse capaz de ficar na cabeça da primeira? Nesse caso, para obter a altura combinada destas duas pessoas, precisamos de combinar estes dois valores medidos. Agora, se estes fossem simplesmente valores de altura sem incertezas, isto seria direto de se fazer. Mas vamos pensar por um momento sobre como fazemos isto, incluindo as incertezas nos nossos valores medidos.
Sabemos que a altura medida da primeira pessoa tem uma incerteza de uma décima de um centímetro. Isso significa que a sua verdadeira altura pode ser uma décima de um centímetro maior ou menor que este valor relatado. E depois o mesmo se aplica à altura da segunda pessoa. A sua altura também pode ser uma décima de um centímetro maior ou menor que 148.6. Sabendo disto, podemos escrever valores máximos e mínimos possíveis de altura para as alturas destas duas pessoas. Agora, se juntássemos estas duas alturas máximas possíveis, estaríamos efetivamente a adicionar as alturas destas duas pessoas, juntamente com 0.1 centímetros de altura adicional para cada uma.
Ou, por outro lado, se considerarmos a adição das alturas mínimas possíveis destas duas pessoas, este valor seria igual às alturas relatadas menos 0.1 centímetros novamente para cada pessoa. O que estamos a ver, então, é que, combinando as alturas destas duas pessoas, não apenas adicionamos os valores medidos das suas alturas, mas também adicionamos as incertezas nessas alturas. Então, se tomarmos as alturas combinadas destas duas pessoas e dissermos que chamamos esta altura de 𝑇 índice 𝐻, esta altura total será igual à altura da primeira pessoa mais a altura da segunda pessoa. E descobrimos esta altura total adicionando os valores medidos das duas pessoas, bem como as incertezas dos valores medidos.
Isso dá-nos um resultado de 314.0 mais ou menos 0.2 centímetros. O que estamos a ver aqui é um exemplo específico que pode ser expandido para uma regra geral. Podemos limpar um pouco de espaço e depois escrever esta regra geral utilizando palavras. Podemos dizer que, ao adicionar ou subtrair valores medidos, as incertezas nos valores são somadas. Então, aqui está como podemos escrever isso matematicamente. E precisamos de ter um pouco de cuidado para entender esta notação.
Se tivermos um valor — vamos chamá-lo de 𝑣 um e este é igual a 𝑎 mais ou menos a incerteza em 𝑎 — e se tivermos um segundo valor medido — e este é igual a 𝑏 mais ou menos a incerteza em 𝑏. Então, se adicionássemos 𝑣 um e 𝑣 dois ou subtraíssemos 𝑣 dois de 𝑣 um, isso resultaria em 𝑎 mais ou menos 𝑏, dependendo se estamos a adicionar ou a subtrair entre 𝑣 um e 𝑣 dois. E, em seguida, este valor tem uma incerteza 𝑎 mais ou menos a incerteza de 𝑎 mais a incerteza de 𝑏. A propósito, esta regra de adicionar incertezas quando adicionamos ou subtraímos valores medidos se aplica mesmo se tivermos mais de dois valores medidos.
Por exemplo, se tivéssemos três ou até quatro pessoas em pé uma na outra, para calcular a altura total, adicionaríamos as alturas de cada pessoa e as incertezas em cada uma dessas alturas. Agora, o que abordámos até agora foi adicionar e subtrair valores medidos. Mas sabemos que também podemos multiplicar e dividir.
Por exemplo, digamos que tínhamos uma sala vazia e queríamos medir o volume desta sala. Então, fazemos medições da largura, altura e profundidade da sala. E digamos que obtivemos estes valores. Em cada caso, temos uma incerteza de uma décima de um metro, com base na maneira como medimos estas distâncias. Agora, sabemos que, para determinar o volume da sala, precisamos de multiplicar a altura, a largura e a profundidade. Mas então, ao fazer isso, determinar a incerteza total neste volume é tão simples quanto multiplicar as incertezas de cada dimensão? Como se vê, não. Se isso fosse verdade, a nossa incerteza em volume seria 0.1 metros vezes ele mesmo três vezes. Esta quantidade é de 0.1 metros ao cubo, que dá 0.001 metros cúbicos.
Mas esta é uma incerteza muito pequena. Não podemos justificar um número tão preciso utilizando as dimensões medidas da sala. Portanto, esta abordagem não está correta para calcular a incerteza no nosso volume. Não podemos simplesmente multiplicar as incertezas individuais. Em vez disso, antes de multiplicarmos as dimensões da sala, damos um passo extra para modificar as incertezas nos nossos valores medidos. O que fazemos é convertê-las em percentagens. Ou seja, calculamos qual a percentagem de 3.0 metros 0.1 metros e, da mesma forma, calculamos a percentagem de 4.7 0.1 e, de forma semelhante, a nossa última dimensão.
Quando fazemos isto, descobrimos que 0.1 é 1,8 porcento de 5.5, 2.1 porcento de 4.7 e 3.3 porcento de 3.0. Observa que não fizemos alterações numéricas nestes valores medidos; estamos apenas a escrevê-los de uma maneira equivalente diferente. Mas agora que fizemos isto, estamos prontos para calcular o volume desta sala multiplicando 3.0 metros por 4.7 metros por 5.5 metros, mas adicionando estas incertezas percentuais para cada valor medido. Então, aqui está como isto funciona. O volume do nosso quarto é de 3.0 metros vezes 4.7 metros vezes 5.5 metros mais ou menos 3.3 porcento mais 2.1 porcento mais 1.8 porcento. E observa que não multiplicámos estas percentagens, mas adicionámo-las.
Mantendo dois algarismos significativos nos nossos cálculos, tudo isto resulta em 78 metros cúbicos, mais ou menos 7.2 porcento deste volume. Agora, se quiséssemos relatar a nossa resposta final com uma incerteza escrita em metros cúbicos, e não como percentagem, poderíamos fazer isso calculando 7.2 porcento dos 78 metros cúbicos. Quando fazemos isso, obtemos um resultado final de 78 mais ou menos 5.6 metros cúbicos. Este é o volume calculado corretamente desta sala, incluindo as incertezas em cada dimensão. Assim como antes, estamos a analisar um exemplo específico da regra geral. Então, vamos escrever a regra que se aplica à multiplicação e divisão dos valores medidos com as suas incertezas.
Sempre que multiplicamos ou dividimos os valores medidos, as suas incertezas percentuais são adicionadas para gerar a incerteza total. Podemos escrever isso matematicamente assim. Digamos a que temos três valores, 𝑎 com sua própria incerteza, 𝑏 que tem a sua própria incerteza, e 𝑐. Se 𝑐 é igual ao produto de 𝑎 e 𝑏, então a incerteza em 𝑐, este produto, dividido por 𝑐 é igual à incerteza em 𝑎 dividida por 𝑎 mais a incerteza em 𝑏 dividida por 𝑏. Agora, esta equação pode parecer um pouco confusa porque estávamos a falar de percentagens e a adicioná-las. Mas, na verdade, esta equação está mais próxima de nos mostrar percentagens do que possamos perceber.
Se multiplicássemos os dois lados da equação por 100 por cento, isso tornaria cada um dos termos desta equação uma percentagem de incerteza. Primeiro, a percentagem de incerteza de 𝑐, depois de 𝑎 e depois de 𝑏. Mas como este fator de 100 porcento é comum a todos os termos, podemos anulá-lo. E isso deixa-nos com esta expressão simplificada. Vale a pena notar que, embora tenhamos dito que esta expressão se aplica à multiplicação de dois valores para gerar o terceiro, também é preciso se fizermos uma divisão. Por exemplo, se dividirmos 𝑎 por 𝑏, isso não mudaria nada nesta equação para calcular a incerteza total resultante.
Agora falámos sobre calcular a incerteza total para a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão. Há um caso especial, no entanto, que podemos tomar um momento para analisar. Este caso especial é quando elevamos um número a uma potência inteira. Podemos ver um exemplo disso se imaginarmos que todas as dimensões da nossa sala são iguais. São todas 3.0 metros, o que significa que todas as dimensões da sala têm a mesma incerteza, 3.3%. Agora, de acordo com esta regra e com a nossa experiência, poderíamos calcular a incerteza total no volume desta sala, somando 3.3% com 3.3% com 3.3%, o que nos dá 9.9%.
Podemos ver, no entanto, que isto é matematicamente equivalente a pegar nesta percentagem de incerteza, 3.3%, e multiplicá-la por três. E três tem um significado especial quando se trata de calcular o volume de um objeto. E isso porque se temos um objeto cúbico, como fazemos neste exemplo, o volume do objeto é igual ao comprimento de cada lado ao cubo. Agora, acontece que este número aqui e este número aqui, sendo o mesmo, não é uma coincidência. Mais uma vez, este é um exemplo específico da regra geral no cálculo de incertezas quando elevamos um número a uma potência inteira. Podemos escrever isto desta maneira.
Podemos dizer que, ao elevar um valor medido a uma potência inteira, a incerteza total é igual a esta potência multiplicada pela percentagem de incerteza do valor medido. É quase um trava-línguas. Mas se escrevermos com símbolos, isso significa que, se estivermos a calcular a potência inteira de um valor, chamaremos esse valor de 𝑥 e a potência inteira 𝑏. Então, a incerteza no resultado deste cálculo, a incerteza em 𝑦, pode ser determinada utilizando esta equação. E vemos que esta equação envolve multiplicar a incerteza fracionária em 𝑥 por esta potência 𝑏.
Como observámos, esta regra é realmente uma aplicação específica da regra que descobrimos anteriormente para multiplicar e dividir. Quando multiplicamos valores idênticos medidos, qualquer uma das abordagens dará a resposta certa. É só apenas numa delas, por exemplo, faz-nos adicionar a percentagem de incerteza tantas vezes quanto aparece, enquanto a outra abordagem, a que acabámos de aprender, pega nesta percentagem de incerteza e multiplica-a pelo número de vezes que a incerteza existe. De qualquer forma, obtemos o mesmo resultado no fim. Agora que aprendemos várias maneiras de combinar incertezas, vamos praticar algumas destas ideias com um exemplo.
Duas resistências têm uma resistência de 20 mais ou menos 0.01 [0.1] ohms e 80 mais ou menos 0.02 [0.2] ohms. Se as duas resistência fossem colocados em série, qual seria a incerteza das duas resistências juntas?
Ok, neste exemplo, temos duas resistências. Diremos que esta é a primeira e depois a segunda. E disseram-nos que estas duas resistências são colocadas em série uma com a outra. Para ambas, deram-nos o valor das suas resistências. E vemos que estas resistências incluem uma incerteza, 0.1 ohms num caso e 0.2 ohms no outro. Podemos lembrar-nos que quando as resistências são colocadas em série, como as que estão aqui, as suas resistências somam-se para dar um valor total de resistência combinada. Se esses valores das resistências forem dados sem incertezas, seria simples adicionar 20 ohms a 80 ohms para obter uma resistência total de 100 ohms. Mas, neste caso, temos estas incertezas que precisamos de considerar também.
A maneira de fazer isso é recordar a nossa regra de combinar incertezas, especificamente quando estamos a adicionar dois valores. Digamos que temos um valor. Vamos chamá-la de 𝑣 índice um. E este é igual a 𝑎 mais ou menos a incerteza em 𝑎. E da mesma forma, temos um segundo valor, 𝑣 dois, que é igual a 𝑏 mais ou menos a incerteza em 𝑏. Agora, se adicionássemos 𝑣 um a 𝑣 dois, a maneira como o faríamos seria adicionar e 𝑏 e, em seguida, com as incertezas, adicioná-las também. Podemos aplicar esta regra ao nosso cenário particular de adicionar os valores destas duas resistências.
Se determinarmos a resistência total, podemos chamá-la de 𝑅 maiúsculo, destas duas resistências juntas, então, pela nossa regra, isso seria igual a 20 mais 80 mais ou menos 0.1 mais 0.2 ohms ou, por outras palavras, 100 mais ou menos 0.3 ohms. Agora, não é a resistência geral que queremos obter, mas a incerteza total destas duas resistências juntas. Ao resolver em 𝑅, porém, descobrimos esta total incerteza. Vemos que é igual à soma das incertezas individuais. Este total é de 0.3 ohms.
Vamos resumir agora o que aprendemos sobre a combinação de incertezas. Primeiro aprendemos que quando os valores medidos e todos os valores medidos têm incertezas são somados ou subtraídos um do outro, então as suas incertezas são adicionadas. Matematicamente, se 𝑐 é igual a 𝑎 mais ou menos 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são valores medidos com incertezas, a incerteza nessa soma ou diferença é igual à incerteza em 𝑎 mais a incerteza em 𝑏. Esta foi a primeira regra que vimos para combinar incertezas.
A segunda regra que descobrimos foi que, quando os valores medidos são multiplicados ou divididos, as suas incertezas percentuais somam-se. Utilizando símbolos, se 𝑐 é igual a 𝑎 vezes 𝑏 ou 𝑐 é igual a 𝑎 dividido por 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são valores medidos, a incerteza em 𝑐 dividida por 𝑐 é igual à incerteza em 𝑎 dividida por 𝑎 mais a incerteza em 𝑏 dividido por 𝑏. E lembra-te de que estas incertezas fracionárias podem rapidamente transformar-se em incertezas percentuais. Fazemos isso multiplicando os dois lados da equação por 100%.
Por fim, aprendemos uma aplicação específica desta regra da multiplicação. Quando um valor medido, que chamamos 𝑎, é elevado a uma potência inteira, chamamos 𝑛, então a incerteza fracionária do resultado é igual a 𝑛 vezes a incerteza fracionária de 𝑎. Este é um resumo da combinação de incertezas.
