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Neste vídeo, aprenderemos como usar o triângulo de Pascal para encontrar os coeficientes da expansão algébrica de qualquer expressão binomial da forma 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência, onde 𝑛 é um número inteiro positivo. Vamos começar procurando alguns padrões distribuindo algumas expressões.
Vamos começar distribuindo a expressão 𝑎 mais 𝑏 para a potência zero. Agora, é claro, qualquer número elevado à potência de zero é um. Portanto, podemos dizer que 𝑎 mais 𝑏 elevado a zero é simplesmente um. E quanto a 𝑎 mais 𝑏 à primeira potência? Bem, é claro, qualquer número elevado à potência de um é simplesmente o número original, então temos 𝑎 mais 𝑏. Os coeficientes de 𝑎 e 𝑏 são um. Então, para expoentes maiores ou iguais a dois, as coisas começam a ficar um pouco interessantes. 𝑎 mais 𝑏 ao quadrado é 𝑎 mais 𝑏 vezes 𝑎 mais 𝑏. E distribuindo esses parênteses usando o método PEIU(distributiva) ou grade e obtemos 𝑎 ao quadrado mais dois 𝑎𝑏 mais 𝑏 ao quadrado. Desta vez, os coeficientes de 𝑎 ao quadrado e 𝑏 ao quadrado são um e então temos um terceiro coeficiente. O coeficiente de 𝑎𝑏 é dois.
Em seguida, consideramos o caso em que o expoente é três. 𝑎 mais 𝑏 ao cubo é o mesmo que multiplicar 𝑎 mais 𝑏 ao quadrado por 𝑎 mais 𝑏. E a distribuição nos dá 𝑎 ao cubo mais três 𝑎 ao quadrado 𝑏 mais três 𝑎𝑏 ao quadrado mais 𝑏 ao cubo. Desta vez, nossos coeficientes são um, três, três e depois um. Veremos mais um exemplo em que o expoente é igual a quatro. Desta vez, esse é o resultado da multiplicação de 𝑎 mais 𝑏 ao cubo por 𝑎 mais 𝑏. Quando expandimos esses parênteses, obtemos 𝑎 elevado à quarta potência mais quatro 𝑎 ao cubo 𝑏 mais seis 𝑎 ao quadrado 𝑏 ao quadrado mais quatro 𝑎𝑏 ao cubo mais 𝑏 elevado à quarta potência. Os coeficientes são um, quatro, seis, quatro e um.
Agora, é claro, se quisermos distribuir a expressão 𝑎 mais 𝑏 à 10ª potência, provavelmente ficaríamos aqui o dia todo. E então, em vez disso, precisamos encontrar um atalho. Vamos listar nossas expressões uma em cima da outra e procurar alguns padrões. Então, o que você percebe? Em primeiro lugar, vamos olhar para as arestas externas do nosso triângulo. Estes são bastante diretos. Todos os termos têm coeficiente de um. E na aresta esquerda, simplesmente temos o termo 𝑎 elevado à potência do expoente. À direita, ainda temos o coeficiente de um. E, desta vez, é o 𝑏 elevado à potência do expoente. Então, o que mais está acontecendo? Bem, podemos procurar mais alguns padrões, olhando para diferentes diagonais, ou podemos olhar para os termos em cada expressão individual.
Vamos levar 𝑎 mais 𝑏 à quarta potência. Observe como o expoente de 𝑎 reduz em um a cada vez. O expoente de 𝑏, no entanto, aumenta em um a cada vez. E também podemos notar que a soma de seus expoentes é igual a quatro, que é o expoente que estamos elevando a 𝑎 mais 𝑏 à potência de. Mas o que está acontecendo com os coeficientes? Bem, essa parte é realmente interessante. Vamos dar uma olhada em listar os próprios coeficientes em um triângulo. Mais uma vez, percebemos que as arestas externas do triângulo são todas uma, mas podemos ver que os outros algarismos são compostos encontrando a soma dos dois imediatamente acima deles. Então, por exemplo, um mais dois é igual a três, três mais três é igual a seis e assim por diante. Este triângulo tem um nome especial. É chamado de triângulo de Pascal e tem o nome de um matemático francês.
Vamos encontrar a próxima linha do triângulo usando os padrões que vimos. Sabemos que teremos um nas arestas externas. E então encontramos os outros valores adicionando os números diretamente acima. Um mais quatro são cinco, quatro mais seis são 10, seis mais quatro são 10 e quatro mais um são cinco. Agora, como o triângulo de Pascal é bastante fácil de listar para pequenos valores de 𝑛, ele pode ser realmente útil para nos ajudar a distribuir parênteses da forma 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência. Vamos combinar tudo o que vimos para encontrar um método geral para isso.
Para distribuir parênteses da forma 𝑎 mais 𝑏 à 𝑛-ésima potência para valores inteiros positivos de 𝑛, passamos pelos termos da esquerda para a direita. O expoente de 𝑎 começa com 𝑛 e depois reduz em um a cada vez até chegarmos a 𝑎 elevado a zero. Agora, é claro, 𝑎 elevado a zero é simplesmente um. Fazemos o inverso para o 𝑏. O expoente de 𝑏 aumenta em um a cada vez, e começamos com 𝑏 elevado a zero e terminamos em 𝑏 elevado a 𝑛. Então sabemos que os coeficientes de cada termo são os números que aparecem na linha 𝑛 igual a 𝑛 do triângulo de Pascal. Agora você verá em um momento porque eu não escrevi a 𝑛-ésima linha porque tecnicamente não é a 𝑛-ésima linha.
Vamos dar uma olhada em como podemos usar essa abordagem para expandir uma expressão binomial.
Use o triângulo de Pascal para calcular 𝑥 mais quatro elevado a quinta potência.
Lembre -se, o processo de distribuição de expressões binomiais da forma 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência para valores inteiros positivos de 𝑛 é o seguinte. Nós nos movemos pelos termos da esquerda para a direita. O expoente de 𝑎 começa com 𝑛 e diminui em um a cada vez até chegarmos a 𝑎 elevado a zero. Então, para a parte 𝑏, começamos com um expoente zero e aumentamos em um a cada vez até atingirmos 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência. Em seguida, encontramos os coeficientes para cada termo procurando os números que aparecem na linha 𝑛 igual a 𝑛 do triângulo de Pascal. Se compararmos a forma geral com o nosso binômio, vemos que vamos deixar 𝑎 ser igual a 𝑥, 𝑏 ser igual a quatro e, em seguida, deixar 𝑛 ser igual a cinco. E, de fato, vamos usar uma tabela para garantir que não percamos nenhum termo.
Podemos notar que haverá uma coluna a mais em nossa tabela do que o valor de 𝑛. Então, aqui estamos procurando seis colunas. Nós nos movemos da esquerda para a direita e começamos com 𝑎 elevado a 𝑛-ésima potência. Bem, 𝑎 é 𝑥 e 𝑛 é cinco. Então temos 𝑥 elevado a quinta. Em seguida, reduzimos essa potência em um a cada vez, dando-nos 𝑥 elevado a quatro, 𝑥 ao cubo, 𝑥 ao quadrado, 𝑥 elevado a um e 𝑥 elevado a zero. Agora, 𝑥 elevado a um é apenas 𝑥 e 𝑥 elevado a zero é um. E agora temos a parte 𝑥 de cada termo. Vamos agora olhar para as quatro partes. Começamos com 𝑏 elevado a zero. Então, aqui, são quatro elevado a zero. Então, aumentamos essa potência em um a cada vez, e isso nos dá quatro elevado a um, quatro ao quadrado, quatro ao cubo, quatro elevado a quatro e quatro elevado a um quinto.
Agora, mais uma vez, podemos, de fato, substituir quatro elevado a zero por um e quatro elevado a um é apenas quatro. Esta terceira linha eu chamei de 𝑐, e esse é o coeficiente para cada termo. Então, vamos listar as primeiras linhas do triângulo de Pascal. O triângulo de Pascal se parece com isso. A primeira linha é quando 𝑛 é igual a zero; nós temos um. Quando 𝑛 é igual a um, temos a segunda linha; nós temos um, um. Quando 𝑛 é igual a dois, temos um, dois, um. E continuamos mantendo as unidades do lado de fora e adicionando os números acima para obter o próximo. Então, um mais quatro é igual a cinco e assim por diante.
Observe que paramos em 𝑛 é igual a cinco, já que esse é o nosso expoente. Mas esta não é a quinta linha. Na verdade, é a sexta linha. E então, é claro, vale a pena ter muito cuidado ao definir o triângulo de Pascal. Os coeficientes são, portanto, um, cinco, 10, 10, cinco e um. Em seguida, para encontrar os termos em nossa expansão, multiplicamos os termos em cada coluna individual. E assim, o primeiro termo é 𝑥 elevado a cinco vezes um vezes um, que é simplesmente 𝑥 elevado a cinco. Em seguida, multiplicamos cada termo na segunda coluna. Então isso é 𝑥 elevado a quatro vezes quatro vezes cinco, que é 20𝑥 elevado a quatro.
Continuamos dessa maneira, então nosso terceiro termo é 𝑥 ao cubo vezes quatro ao quadrado vezes 10, que é 160𝑥 ao cubo. Então temos 𝑥 ao quadrado vezes quatro ao cubo vezes 10, que é 640𝑥 ao quadrado. Multiplicar os termos em nossa penúltima coluna nos dá 1280𝑥. E então nosso sexto e último termo é 1024. E assim nós achamos que 𝑥 mais quatro elevado a quinta potência pode ser escrito como 𝑥 elevado a quinta potência mais 20𝑥 elevado a quarta potência mais 160𝑥 ao cubo mais 640𝑥 ao quadrado mais 1280𝑥 mais 1024.
Vamos agora considerar um segundo exemplo.
Use o triângulo de Pascal para expandir a expressão 𝑥 mais um sobre 𝑥 elevado à quarta potência.
Lembre -se, para distribuir parênteses da forma 𝑎 mais 𝑏 à 𝑛-ésima potência para valores inteiros positivos de 𝑛, nos movemos da esquerda para a direita. Nosso expoente de 𝑎 começa com 𝑛 e reduz em um a cada vez até atingirmos 𝑎 elevado a zero. Fazemos o inverso com 𝑏. Aumentamos o expoente em um a cada vez, começando com 𝑏 elevado a zero até chegarmos a 𝑏 elevado a 𝑛. Então, os coeficientes de cada termo são os números que aparecem na linha 𝑛 igual a 𝑛 do triângulo de Pascal. E lembramos que esta é realmente a linha 𝑛 mais um.
Comparando nossa expressão com a forma geral, vamos deixar 𝑎 ser igual a 𝑥, 𝑏 ser igual a um sobre 𝑥 e 𝑛, nosso expoente, é igual a quatro. Agora vamos representar isso em forma de tabela, e também lembramos que haverá 𝑛 mais um termos na expansão. E então vamos precisar de cinco colunas em nossa tabela. Vamos começar lidando com o 𝑥. Sabemos que começamos com 𝑥 elevado a 𝑛, então 𝑥 elevado a quatro. Então reduzimos esse expoente em um a cada vez, lembrando é claro que 𝑥 elevado a um é 𝑥 e 𝑥 elevado a zero é um.
Então, para o nosso termo um sobre 𝑥, começamos com um expoente de zero e aumentamos esse valor em um a cada vez. Mais uma vez, sabemos que a potência de zero apenas nos deixa com um e um sobre 𝑥 elevado a um sobre 𝑥. Podemos então distribuir nosso expoente sobre cada termo em nossas frações e obtemos um sobre 𝑥 ao quadrado, um sobre 𝑥 ao cubo e um sobre 𝑥 elevado a quatro.
Vamos agora considerar os coeficientes. Vamos desenhar as primeiras linhas do triângulo de Pascal. Na verdade, vamos desenhar o 𝑛 igual a linha quatro, que na verdade será o quatro mais um, a quinta linha, no triângulo. Lembramos que o triângulo de Pascal se parece com isso. Nós temos um descendo pelas bordas externas. E então, para encontrar os valores restantes, adicionamos os dois números diretamente acima. Então, um mais três é igual a quatro, três mais três é igual a seis e assim por diante. E então os coeficientes são um, quatro; seis, quatro; e um. Observe que sabemos que provavelmente escolhemos a linha correta porque não temos um excesso de números, nem temos lacunas.
Para encontrar cada um de nossos respectivos termos na expansão de 𝑥 mais um sobre 𝑥 à quarta potência, multiplicamos cada termo em cada coluna. Então fazemos 𝑥 elevado a quatro vezes um vezes um, que é 𝑥 elevado a quatro, depois 𝑥 ao cubo vezes um sobre 𝑥 vezes quatro, o que simplifica para quatro 𝑥 ao quadrado. Em seguida, multiplicamos os termos na terceira, na quarta e na quinta colunas, e isso simplifica muito bem. 𝑥 mais um sobre 𝑥 elevado a quatro é, portanto, igual a 𝑥 elevado a quatro mais quatro 𝑥 ao quadrado mais seis mais quatro sobre 𝑥 ao quadrado mais um sobre 𝑥 elevado a quatro. Observe que, neste caso, devido à natureza de 𝑎 e 𝑏, acabamos com um termo constante de seis, apesar do fato de que 𝑎 e 𝑏 são expressões algébricas.
Agora, podemos não querer listar todas as linhas do triângulo de Pascal. Então, em vez disso, vamos encontrar um atalho. Sabemos que para um binômio 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência, onde 𝑛 é um inteiro positivo ou um número natural, a expansão se torna 𝑐 zero vezes 𝑎 elevado a 𝑛-ésima potência vezes 𝑏 elevado a zero mais 𝑐 um vezes 𝑎 elevado a potência de 𝑛 menos um vezes 𝑏 elevado a um e assim por diante, até 𝑐 𝑛 vezes 𝑎 elevado a zero vezes 𝑏 elevado a 𝑛. Nesse caso, esses 𝑐 subscritos 𝑛 são provenientes da 𝑛 mais uma linha do triângulo de Pascal. Diminuímos a potência de 𝑎 a cada vez e aumentamos a potência de 𝑏. Mas podemos redefinir os números 𝑐 zero, 𝑐 um, até 𝑐 𝑛.
Vamos voltar à expansão de 𝑎 mais 𝑏 à quarta potência, por exemplo. Pensando nesse segundo termo, o coeficiente quatro representa o número de maneiras pelas quais podemos escolher um único 𝑏 de nossos quatro conjuntos de parênteses 𝑎 mais 𝑏. Mas sabemos que podemos definir isso como quatro 𝑐 um ou quatro escolher um. Da mesma forma, se pensarmos sobre esse terceiro termo, o coeficiente de seis aqui representa o número de maneiras pelas quais podemos escolher dois 𝑏 de nossos quatro conjuntos de parênteses. E poderíamos definir isso como quatro escolher dois. E isso significa que agora podemos redefinir cada um dos nossos coeficientes como 𝑛 escolher zero, 𝑛 escolher um, 𝑛 escolher dois, até 𝑛 escolher 𝑛, onde 𝑛 escolher 𝑟 é 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Agora, como 𝑛 escolher zero e 𝑛 escolher 𝑛 são simplesmente um, podemos reescrever isso como mostrado. Vamos ver como podemos realmente aplicar essa fórmula.
Expanda a expressão três mais 𝑥 elevado à quarta potência.
Aqui temos um binômio elevado a uma potência inteira e, portanto, podemos usar o teorema binomial. Isto diz que 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛, onde 𝑛 é um número inteiro positivo, pode ser escrito como 𝑎 elevado a 𝑛 mais 𝑛 escolha um 𝑎 elevado a 𝑛 menos um 𝑏 mais 𝑛 escolha duas vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos dois 𝑏 ao quadrado, todas as maneiras até 𝑏 elevado a 𝑛. Percebemos que a potência de 𝑎 reduz em um a cada vez e a potência de 𝑏 aumenta em um a cada vez. E assim comparamos nossa expressão com a forma geral. E vemos que vamos deixar 𝑎 ser igual a três, vamos deixar 𝑏 ser igual a 𝑥 e, finalmente, 𝑛 é igual a quatro.
Então, vamos ver se podemos usar isso para expandir nossa expressão. O primeiro termo é 𝑎 elevado a 𝑛. Então são três elevado a quatro. Nós então temos 𝑛 escolher um, então isso é quatro escolher um vezes três elevado a terceira potência. E lembre-se, estamos reduzindo esses expoentes e multiplicamos isso por 𝑥. Então, nosso próximo termo é quatro escolher dois. Nós reduzimos a potência de três e aumentamos a potência de 𝑥. Então temos vezes três ao quadrado 𝑥 ao quadrado. Nosso quarto termo é quatro escolher três vezes três vezes 𝑥 ao cubo. E, na verdade, este é o nosso termo final. Então é 𝑏 elevado a 𝑛, que é 𝑥 elevado a quatro.
Observe que o número de termos que temos será sempre um a mais que o expoente. Então, temos cinco termos aqui. Vamos simplificar esses termos. Três elevado a quatro são 81. Então, quatro escolher um é quatro e três ao cubo é 27. E então nosso próximo termo é 108𝑥. Quatro escolher dois é seis e, portanto, nosso terceiro termo é seis vezes nove vezes 𝑥 ao quadrado, que é 54𝑥 ao quadrado. Quatro escolher três é quatro, e assim nosso quarto termo é 12𝑥 ao cubo, e nosso quinto e último termo ainda é 𝑥 elevado a quatro. Três mais 𝑥 à quarta potência são 81 mais 108𝑥 mais 54𝑥 ao quadrado mais 12𝑥 ao cubo mais 𝑥 à quarta potência.
Observe que também podemos identificar um termo específico usando o termo geral do teorema binomial. É 𝑛 escolher 𝑟 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 vezes 𝑏 elevado a 𝑟. E assim, digamos que queremos definir o quarto termo nesta expansão. Nós deixaríamos 𝑟 ser igual a três. E vemos mais uma vez que temos quatro escolher três vezes três elevado a quatro menos três vezes 𝑥 ao cubo, o que mais uma vez nos dá 12𝑥 ao cubo. Este pode ser um pequeno atalho.
Vamos agora considerar os pontos principais desta aula. Neste vídeo, vimos que podemos reproduzir rapidamente o triângulo de Pascal para pequenos valores de 𝑛 para expandir facilmente os binômios da forma 𝑎 mais 𝑏 à 𝑛-ésima potência. Alternativamente, especialmente quando 𝑛 é grande, podemos usar o teorema binomial. E isso diz que para valores inteiros de 𝑛, 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛 é 𝑎 elevado a 𝑛-ésima potência mais 𝑛 escolher um 𝑎 elevado a 𝑛 menos um 𝑏 e assim por diante, até 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência. Mas se quisermos identificar um termo específico, podemos usar o termo geral, que é 𝑛 escolher 𝑟 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 vezes 𝑏 elevado a 𝑟.
