Vídeo: Utilizando Funções Inversas para Resolver Equações Trigonométricas Modelando Situações Reais

A flutuação de temperatura em um dia de inverno frio (em graus Celsius) é modelada por cos 𝑇 = 3 cos ((𝜋/12) (𝑡 − 14)) + 2, onde 𝑡 é a hora do dia expressa em horas após a meia-noite. Em que horas do dia a temperatura era 0℃?

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A flutuação de temperatura em um dia frio de inverno, em graus Celsius, é modelada por 𝑇 é igual a três cos de 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14 mais dois, onde 𝑡 é a hora do dia expressa em horas após a meia-noite. Em que horas do dia a temperatura foi de zero graus Celsius?

O que esta pergunta está nos pedindo é achar 𝑡 minúsculo quando 𝑇 maiúsculo é igual a zero. Primeiro, vamos observar o intervalo de valores que 𝑡 minúsculo pode ter. Como 𝑡 é o tempo depois da meia-noite em horas e há 24 horas em um dia, isso significa que 𝑡 minúsculo pode ter valores entre zero e 24. E então nós temos nada é menor que ou igual a 𝑡, que é menor que 24.

Agora, quando olhamos a função para a temperatura, vemos que temos cos de 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14. E assim, para facilitar o cálculo desses valores, precisamos encontrar o intervalo de valores para a parte de dentro da função cos. Então, é 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14. Para encontrar esse intervalo, precisamos apenas adaptar o intervalo de valores de 𝑡 minúsculo que já encontramos.

Então, vamos começar subtraindo 14 de cada parte da inequação. E isso nos dá que menos 14 é menor ou igual a 𝑡 menos 14, que é menor que 10. Agora podemos multiplicar cada parte da inequação por 𝜋 sobre 12. E isso nos deixa com isso. E nós podemos simplificar isso para menos sete 𝜋 sobre seis é menor ou igual a 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14 é menor que cinco 𝜋 sobre seis. E agora encontramos o nosso intervalo de valores para 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14.

Agora vamos definir 𝑇 maiúsculo igual a zero. Isso nos dá que zero é igual a três cos 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14 mais dois. E podemos rearranjá-lo para que o cos seja o sujeito, o que nos dá que cos de 𝜋 sobre 12 vezes por 𝑡 menos 14 é igual a menos dois terços. Para fazer isto parecer um pouco melhor, podemos substituir por 𝜃 o 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14. Então, agora, tudo o que estamos resolvendo é cos de 𝜃 é igual a menos dois terços. E podemos usar o intervalo que encontramos anteriormente para nos ajudar a resolver isso.

E esse intervalo é 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14, exatamente o mesmo que 𝜃. Então, estamos encontrando valores de 𝜃 tais que menos sete 𝜋 sobre seis é menor ou igual a 𝜃 que é menor que cinco 𝜋 sobre seis. Agora estamos prontos para resolver cos de 𝜃 é igual a menos dois terços. Vamos desenhar um gráfico cos para nos ajudar a resolver isso. Aqui, temos nosso gráfico para 𝑦 igual cos 𝜃. Agora vamos marcar o intervalo para 𝜃. Nós temos que menos sete 𝜋 sobre seis é menor ou igual a 𝜃.

E assim podemos desenhar uma linha sólida em menos sete 𝜋 sobre seis. Então nós também temos que 𝜃 é menor que cinco 𝜋 sobre seis. Então desenhamos uma linha tracejada em cinco 𝜋 sobre seis. Em seguida, vamos adicionar a linha 𝑦 igual a menos dois terços. E assim as soluções para a nossa equação estão onde as duas linhas 𝑦 é igual a menos dois terços e 𝑦 é igual a cos 𝜃 se cruzam. Como podemos ver, temos duas soluções.

Digitando cos inverso de menos dois sobre três em nossa calculadora nos dá um valor de 2.300523983. E esse valor fica entre 𝜋 sobre dois e 𝜋. Portanto, esta é a solução à direita do nosso gráfico. Para encontrar a outra solução, podemos usar o fato de que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Isso significa que a segunda solução será simplesmente a negativa da primeira solução. Isso nos dá menos 2.300523983.

Nós poderíamos dar a volta aqui. No entanto, isso pode nos levar a perder a precisão em nossa resposta. Então vamos manter esses dois cos inversos de menos dois terços por enquanto. Nós temos que 𝜃 é igual a cos inverso de menos dois terços. Agora podemos substituir em 𝜃 que nós tivemos antes. Então nós temos que 𝜋 sobre 12 vezes 𝑡 menos 14 é igual a cos inverso de menos dois terços. Vamos reorganizar isso para 𝑡.

Podemos começar multiplicando ambos os lados por 12 sobre 𝜋. E agora, simplesmente adicionamos 14 a ambos os lados. E nós percebemos que 𝑡 é igual a 14 mais 12 sobre 𝜋 cos inverso de menos dois terços. Agora, tudo o que precisamos fazer é substituir os dois valores por cos inverso de menos dois terços que encontramos anteriormente. Substituir na solução positiva nos dá 𝑡 é igual a 22.78735433 horas. E substituir na solução negativa nos dá que 𝑡 é igual a 5.212645674 horas.

Agora, já que não podemos ter um ponto decimal de uma hora. Precisamos calcular esses pontos decimais em minutos. Para fazer isso, podemos pegar o ponto decimal e multiplicá-lo por 60. Assim, obtemos uma resposta de 47 minutos. Não há problema em arredondar aqui, pois não precisamos ser mais precisos do que minutos. Para a segunda parte que calculamos, agora precisamos multiplicar a parte após o ponto decimal por 60. E isso nos dá um tempo de 13 minutos. Portanto, era zero graus nas cinco horas e 13 minutos depois da meia-noite e 22 horas e 47 minutos depois da meia-noite.

Escrevendo estes como momentos do dia, obtemos uma solução de 5:13 AM e 10:47 PM.

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