Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como identificar o domínio e o contradomínio de funções a partir dos seus gráficos. Primeiro que tudo, vamos pensar sobre a definição de domínio e contradomínio. Se deixarmos esta máquina representar uma máquina de funções, o domínio será os valores com os quais começamos. O domínio é o conjunto completo de valores possíveis e estes valores são independentes. É o valor da variável independente. E num plano de coordenadas padrão, estes serão os valores de 𝑥. O eixo O𝑥 representa as variáveis independentes. E o contradomínio é o conjunto completo de todos os valores resultantes possíveis. É a variável dependente. E num plano de coordenadas padrão, este é o valor de 𝑦. Os valores de 𝑦 são os valores das imagens desta função. Os valores de 𝑥 são os objetos e os valores de 𝑦 são as imagens.
Para explorar isto ainda mais, começaremos a ver alguns gráficos e alguns exemplos de problemas.
O domínio da função 𝑓 de 𝑥 está em branco.
A função 𝑓 de 𝑥 aqui está representada por estes cinco pontos. Primeiro, lembramos que o domínio é o conjunto de todos os valores de 𝑥 possíveis para uma função. E a seguir, reconhecemos que num plano de coordenadas, o eixo O𝑥 é o eixo horizontal, o que significa que os valores de 𝑥 desta função serão determinados observando onde estes pontos caem horizontalmente. Percorrendo tudo para a esquerda, temos um ponto em menos sete. À direita, temos um ponto em menos seis, seguido por menos cinco, menos quatro e menos três.
É importante notar que estes pontos não estão relacionados com a reta. Por causa disso, sabemos que esta não é uma função contínua e que o domínio será apenas uma lista dos possíveis valores de 𝑥. Na notação de conjunto, será assim: menos sete, menos seis, menos cinco, menos quatro e menos três.
Se quiséssemos, poderíamos considerar o contradomínio também. O contradomínio será os possíveis valores de 𝑦 desta função. E esta será a distância em que os pontos estão localizados para cima ou para baixo, onde caem no eixo vertical. Para esta função, temos valores de 𝑦 de um, dois, três, quatro e cinco. E a notação de conjunto para o contradomínio ficará assim: um, dois, três, quatro, cinco.
Como esta questão pedia apenas o domínio, o domínio de 𝑓 de 𝑥 aqui é o conjunto menos sete, menos seis, menos cinco, menos quatro e menos três.
Vejamos outro exemplo.
Determine o domínio e o contradomínio da função 𝑓 de 𝑥 igual a menos quatro.
Na imagem, temos o gráfico da função 𝑓 de 𝑥 igual a menos quatro. Para calcular o domínio e o contradomínio, lembramos que o domínio é representado pelos valores de 𝑥 e o contradomínio é representado pelos valores de 𝑦 no gráfico. Também lembramos que o domínio é a variável independente. É a variável que inserimos na nossa função. Queremos saber qual é o conjunto de valores que 𝑥 pode ser.
Agora, neste gráfico, pode parecer que 𝑥 passa apenas de menos quatro para mais quatro. No entanto, reconhecemos que esta é uma função que continua em ambas os sentidos. Para a direita, 𝑥 continuará para positivo ∞ e para a esquerda menos ∞. Então, como devemos escrever isto como um domínio?
Poderemos utilizar este símbolo que se parece um pouco com um R. Este símbolo representa todos os números reais. O domínio para 𝑥 pode ser qualquer número real.
E o contradomínio? O contradomínio é um pouco diferente aqui. O contradomínio será os valores de 𝑦, ou seja, a distância para cima ou para baixo de zero. Para cada valor de 𝑥 nesta função, 𝑦 é sempre menos quatro. 𝑦 não muda. E isto significa que o único resultado, a única imagem desta função, é menos quatro. O contradomínio é o conjunto com menos quatro. E assim podemos dizer que para a função 𝑓 de 𝑥 igual a menos quatro, o domínio são todos os números reais e o contradomínio é o conjunto menos quatro.
No nosso próximo exemplo, temos o gráfico de uma função cúbica e precisamos de determinar o seu domínio e o seu contradomínio.
Determine o domínio e o contradomínio da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos um ao cubo no conjunto dos reais.
Já nos deram o gráfico desta função, 𝑥 menos um ao cubo. Agora só precisamos de pensar sobre quais são o domínio e o contradomínio. Quando temos um gráfico, o domínio é representado pelo conjunto de valores possíveis de 𝑥 e o contradomínio é o conjunto de todos os valores possíveis de 𝑦. É importante saber que quando temos este tipo de gráfico, sabemos que continuam nos dois sentidos. Embora estejamos a ver apenas um pouco desta função, de 𝑥 menos dois a 𝑥 mais três, sabemos que continua em ambos os sentidos. O mesmo acontece com os valores de 𝑦. Estamos a ver apenas valores de 𝑦 de mais 10 e até menos 10.
No entanto, esta função continua fora desta janela no nosso gráfico. Neste caso, não temos limites no nosso domínio ou contradomínio. O domínio pode ser todos números reais e o contradomínio pode ser todos números reais. Também é possível que queiramos escrever isto em notação de contradomínio em vez de em notação de conjunto. O contradomínio do domínio será escrito como menos ∞ a ∞. E, neste caso, o mesmo será verdadeiro para o intervalo do contradomínio, todos os números reais ou valores de menos ∞ a mais ∞.
Com a notação de intervalo aqui, é importante observar que utilizamos parêntesis quando não incluímos o que está no fim. Então, o que estes dizem é que queremos vamos para ∞, mas sem incluir ∞.
No próximo exemplo, veremos como determinar o domínio e o contradomínio de uma função por ramos.
Determine o domínio da seguinte função.
Sabemos que o domínio desta função será o conjunto de todos os valores de 𝑥 possíveis. E num plano de coordenadas, que é o eixo O𝑥, o eixo horizontal. Vemos valores estabelecidos de menos sete a mais sete positivos. No entanto, devemos saber que as setas em ambos os lados deste gráfico indicam que esta função continua. À esquerda, diremos que o gráfico poderá continuar para menos ∞ e à direita para mais ∞.
No entanto, vamos pensar com cuidado sobre o que está a acontecer em zero. Quando 𝑥 é igual a zero, esta função tem um resultado? Sabemos que sim porque o ponto está colorido em zero, quatro. Zero, quatro é um resultado, mas zero, menos quatro não está cheio e, portanto, não é um resultado desta função. Como temos um resultado zero, podemos confirmar que existe um domínio de todos os números reais.
Esta questão não nos pediu um contradomínio. Mas se quiséssemos adicionar o contradomínio, seriam os valores das imagens, o conjunto de possíveis valores de 𝑦. E vemos que existem dois valores possíveis: um valor em quatro e um valor em menos quatro. Em notação de conjunto, poderíamos escrever que o contradomínio é, portanto, menos quatro e quatro. Como a questão pediu-nos apenas para identificar o domínio, podemos simplesmente dizer que o domínio é todos os reais.
No nosso exemplo final, veremos um gráfico onde há limites para o domínio e o contradomínio.
Determine o domínio e o contradomínio da função 𝑓 de 𝑥 igual a menos um sobre 𝑥 menos cinco.
Já temos um gráfico desta função. E podemos utilizar o gráfico para identificar o domínio e o contradomínio da função. O domínio será o conjunto de todos os valores possíveis de 𝑥. E neste gráfico, podemos utilizar o eixo O𝑥 para os identificar. E o contradomínio será o conjunto de todos os valores possíveis de 𝑦. Utilizaremos o eixo O𝑦 para os identificar.
Mas antes de o fazer, vamos considerar cuidadosamente o comportamento da função no gráfico que estamos a ver. Vemos que tem duas partes: uma acima do eixo O𝑥 e uma abaixo do eixo O𝑥. E a seguir, temos esta reta tracejada. Quando temos uma reta tracejada como esta no gráfico, esta representa uma assíntota da função. Uma assíntota é uma reta na qual uma curva se aproxima à medida que avança no sentido de ∞. A curva nunca intersetará a assíntota. E esta assíntota está localizada em 𝑥 igual a cinco. E isto significa que podemos dizer, com certeza, que o domínio não inclui o valor 𝑥 igual a cinco.
Mas se olharmos para o resto da função, podemos ver que existem valores de 𝑥 estender-se para a esquerda e para a direita. E, portanto, 𝑥 pode ser qualquer coisa, exceto mais cinco, o que significa que o domínio é todos os reais menos o conjunto cinco. Agora, se vamos a pensar no contradomínio, vamos a pensar no comportamento vertical do nosso gráfico. E, novamente, notamos que há uma parte deste gráfico acima do eixo O𝑥 e uma parte abaixo deste. Mesmo que não tenham adicionado uma reta tracejada, o eixo O𝑥 representa outra assíntota desta função. O valor de 𝑦 desta função está a aproximar-se cada vez mais de zero, mas nunca atravessa zero. E isto é verdade tanto no lado esquerdo quanto no direito desta função. Isto significa que os valores de 𝑦 podem ser qualquer coisa, exceto zero.
E assim, de forma semelhante, dizemos que o contradomínio será todos os reais menos o conjunto zero. O conjunto com cinco no domínio e o conjunto com zero no contradomínio representam as assíntotas vertical e horizontal desta função, e identificámos corretamente o domínio e o contradomínio.
Antes de terminar, vamos rever alguns pontos principais deste vídeo. O domínio de uma função é o conjunto completo de valores possíveis da variável independente. O contradomínio de uma função é o conjunto completo de valores resultantes possíveis. Dado o gráfico de uma função, o domínio é todos os valores possíveis de 𝑥 e o contradomínio é todos os valores possíveis de 𝑦.
