Vídeo: Determinando o Intervalo de Tempo Durante o Qual a Velocidade de uma Partícula Aumenta Devido ao seu Deslocamento em Respeito ao Tempo

Uma partícula está se movendo em uma linha reta tal que seu deslocamento 𝑠 após 𝑡 segundos é dado por 𝑠 = (3𝑡³ − 54𝑡² + 38𝑡) m, 𝑡 ≥ 0. Determine o intervalo de tempo durante o qual a velocidade da partícula está aumentando.

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Transcrição do vídeo

Uma partícula está se movendo em linha reta de tal forma que seu deslocamento 𝑠 após 𝑡 segundos é dado por 𝑠 é igual a três 𝑡 ao cubo menos 54𝑡 ao quadrado mais 38 𝑡 metros, onde 𝑡 é maior que ou igual a zero. Determine o intervalo de tempo durante o qual a velocidade da partícula está aumentando.

Esta questão nos pergunta algo sobre a velocidade da partícula. Nós temos o deslocamento desta partícula 𝑠 em termos de tempo 𝑡. Então, tudo o que precisamos fazer para encontrar a velocidade da partícula é derivá-la em relação ao tempo. Ok, então vamos derivar.

Chamar a velocidade 𝑣, 𝑣 é a derivada em relação ao tempo 𝑡 do deslocamento 𝑠. E 𝑠 é três 𝑡 ao cubo menos 54 𝑡 ao quadrado mais 38 𝑡. Então, derivando termo por termo usando o fato de que a derivada 𝑑 por 𝑑𝑡 de 𝑎 vezes 𝑡 elevado a 𝑛 é 𝑎 vezes 𝑛 vezes 𝑡 elevado a 𝑛 menos um, temos que a velocidade é 9𝑡 ao quadrado menos 108𝑡 mais 38. Agora que temos a velocidade, podemos começar a considerar o problema que nos foi dado para determinar o intervalo de tempo durante o qual a velocidade está aumentando.

Uma maneira de fazer isso seria esboçar o gráfico de 9𝑡 ao quadrado menos 108𝑡 mais 38 novamente, é 𝑡. Espero que você saiba como fazer isso. Mas há outra maneira de resolver. A velocidade da partícula está aumentando se a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo - isto é, 𝑑𝑣 por 𝑑𝑡 - for maior que zero. Mais genericamente, uma função geral 𝑓 é crescente quando a derivada 𝑓 linha de 𝑥 é maior que zero.

Então vamos encontrar 𝑑𝑣 por 𝑑𝑡 derivando novamente. Novamente, nós derivamos termo por termo usando a propriedade de potência para obter 18𝑡 menos 108. Então quando 𝑑𝑣 por 𝑑𝑡 é maior que zero? Bem, 𝑑𝑣 por 𝑑𝑡 é 18𝑡 menos 108. Então é quando 18𝑡 menos 108 é maior que zero, que é quando 18𝑡 é maior que 108, que é quando 𝑡 é maior que seis.

Escrevendo isso na notação de intervalo, esse é o intervalo aberto de seis a infinito, incluindo nenhum ponto final e, portanto, usando parênteses em vez de colchetes. Este é o intervalo de tempo durante o qual a velocidade da partícula cujo deslocamento é dado por 𝑠 é igual a três 𝑡 ao cubo menos 54 𝑡 ao quadrado mais 38 𝑡 metros, onde 𝑡 é maior que zero, está aumentando.

Isso corresponde onde a derivada da velocidade em relação ao tempo é maior que zero. E, claro, conhecemos a derivada de uma velocidade em relação ao tempo por outro nome. É a aceleração da partícula. E assim, outra maneira de formular essa pergunta seria perguntar onde a aceleração da partícula é maior que zero.

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