Pop Video: Visualizando a Regra da Cadeia e a Regra do Produto

Video Transcript

Nos últimos vídeos, falei sobre as derivadas de funções simples. E o objetivo era ter em mente uma imagem clara ou uma intuição que realmente explica de onde vêm essas fórmulas. Mas é claro que a maioria das funções com as quais você lida na modelagem do mundo envolve, de alguma forma, misturar, combinar ou ajustar essas funções simples de alguma outra maneira. Portanto, nosso próximo passo natural é entender como você utiliza derivadas de combinações mais complicadas. E, novamente, não quero que isso seja algo para memorizar. Quero que você tenha uma imagem clara da origem de cada uma.

Agora, isso realmente se resume em três maneiras básicas de combinar funções. Você pode adicioná-las. Você pode multiplicá-las. E você pode colocar uma dentro da outra, conhecido como composição. Claro, você poderia dizer subtraindo-as. Mas, na verdade, isso apenas multiplica a segunda por menos um e as soma. Da mesma forma, dividir funções não adiciona nada, pois é o mesmo que substituir um dentro da função, um sobre 𝑥 e multiplicar as duas. Realmente, a maioria das funções que você encontra envolve apenas a criação de camadas desses três tipos diferentes de combinações. Embora não haja realmente um limite sobre como as coisas monstruosas podem se tornar. Mas desde que você saiba como as derivadas funcionam apenas com esses três tipos de combinação. Você sempre será capaz de fazer o passo a passo e procurar nas camadas uma expressão monstruosa.

Portanto, a questão é se você conhece a derivada de duas funções, qual é a derivada da soma, do produto e da composição da função entre elas? A regra da soma é mais fácil, se torcer um pouco a língua para dizer em voz alta. A derivada da soma de duas funções é a soma de suas derivadas. Mas vale a pena aquecer com este exemplo, pensando realmente no que significa obter a derivada da soma de duas funções. Já que os padrões de derivadas para produtos e composição de funções não serão tão diretos. E eles vão exigir esse tipo de pensamento mais profundo.

Por exemplo, vamos pensar sobre esta função 𝑓 de 𝑥 é igual a seno de 𝑥 mais 𝑥 ao quadrado. É uma função em que, para cada entrada, você soma os valores de seno de 𝑥 e 𝑥 ao quadrado nesse ponto. Por exemplo, digamos que 𝑥 seja igual a 0.5, a altura do gráfico senoidal é dada por esta barra vertical. E a altura da parábola 𝑥 ao quadrado é dada por esta barra vertical ligeiramente menor. E a soma deles é o comprimento que você obtém apenas empilhando-os juntos. Agora, para a derivada, você quer perguntar o que acontece quando alteramos um pouco a entrada. Talvez aumentando para 0.5 mais d𝑥. A diferença no valor de 𝑓 entre esses dois lugares é o que chamamos de d𝑓. E quando você imagina dessa maneira, acho que concorda que a mudança total na altura é qualquer que seja a alteração no gráfico senoidal, o que poderíamos chamar de dsen de 𝑥. Além disso, qualquer que seja a mudança para 𝑥 ao quadrado é, d𝑥 ao quadrado.

Agora sabemos que a derivada do seno é cosseno. E lembre-se do que isso significa. Isso significa que essa pequena mudança dsen de 𝑥 é cos de 𝑥 vezes d𝑥. É proporcional ao tamanho da nossa alteração inicial, d𝑥. E a constante de proporcionalidade é igual ao cosseno de qualquer entrada em que nós começamos. Da mesma forma, porque a derivada de 𝑥 ao quadrado é dois 𝑥. A mudança na altura do gráfico ao 𝑥 quadrado será cerca de duas vezes 𝑥 o que quer que seja d𝑥. Assim, reorganizando, d𝑓 dividido por d𝑥, a razão entre a pequena mudança e a função de soma e a pequena mudança em 𝑥 que a causou é de fato cos de 𝑥 mais dois 𝑥, a soma das derivadas de suas partes. Mas, como eu disse, as coisas são um pouco diferentes para os produtos. E vamos pensar no porquê. E vamos pensar sobre o porquê em termos de pequenas alterações novamente. Nesse caso, não acho que os gráficos sejam nossa melhor aposta para visualizar as coisas.

Geralmente, em matemática, em muitos níveis de matemática, se você está lidando com um produto de duas coisas, é útil entendê-lo como algum tipo de área. Nesse caso, talvez você tente configurar algumas configurações mentais de uma caixa em que os comprimentos laterais sejam seno de 𝑥 e 𝑥 ao quadrado. Mas o que isso significa? Bem, como essas são funções, você pode pensar nesses lados como ajustáveis, dependendo do valor de 𝑥. Que talvez você considere esse número que você pode ajustar livremente para cima e para baixo. Então, entendendo o que isso significa, concentre-se naquele lado superior, que muda conforme a função seno de 𝑥. À medida que você altera esse valor de 𝑥 acima de zero, ele aumenta até um comprimento de um, à medida que o seno de 𝑥 se move em direção ao seu pico. E depois disso, começa a diminuir quando o seno de 𝑥 desce a partir de um. E da mesma maneira, essa altura sempre muda conforme 𝑥 ao quadrado.

Então 𝑓 de 𝑥, definido como o produto dessas duas funções, será a área desta caixa. E para a derivada, vamos pensar em como uma pequena alteração em 𝑥 por d𝑥 influência nessa área. O que é essa mudança resultante na área, d𝑓? Bem, a alteração d𝑥 fez com que essa largura fosse alterada por um pequeno dsen de 𝑥. E fez com que a altura mudasse um d𝑥 ao quadrado. E isso nos dá três pequenos trechos da nova área. Um retângulo fino no fundo, cuja área é a sua largura, seno de 𝑥, vezes a sua altura fina, d𝑥 ao quadrado. E há esse retângulo fino à direita, cuja área é a sua altura, 𝑥 ao quadrado, vezes sua pequena largura fina, dsen de 𝑥. E também tem este pequeno bit no canto. Mas podemos ignorar isso, sua área será proporcional a d𝑥 ao quadrado. E, como vimos antes, isso se torna insignificante à medida que d𝑥 se aproxima a zero.

Quero dizer, toda essa configuração é muito semelhante à que mostrei no último vídeo com o diagrama 𝑥 quadrado. E, exatamente como antes, lembre-se de que estou usando alterações um pouco robustas aqui para desenhar coisas, apenas para que possamos realmente vê-las. Mas, em princípio, d𝑥 é algo muito, muito pequeno. E isso significa que d𝑥 ao quadrado e dsen de 𝑥 também são muito, muito pequenos. Então, aplicando o que sabemos sobre a derivada do seno e de 𝑥 ao quadrado, essa pequena mudança, d𝑥 ao quadrado, será cerca de dois 𝑥 vezes d𝑥. E essa pequena mudança, dsen de 𝑥, bem, isso será cerca de cos de 𝑥 vezes d𝑥. Como sempre, dividimos por esse d𝑥 para ver que a razão que queremos, d𝑓 dividida por d𝑥, é seno de 𝑥 vezes a derivada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado vezes a derivada do seno.

E nada do que fizemos aqui é específico ao seno ou a 𝑥 ao quadrado. Essa mesma linha de raciocínio funcionaria para quaisquer duas funções, 𝑔 e ℎ. E às vezes as pessoas gostam de lembrar desse padrão com um certo mnemônico que você meio que canta na sua cabeça: esquerda d direita, direita d esquerda. Neste exemplo, onde temos seno de 𝑥 vezes 𝑥 ao quadrado, esquerda d direita significa que você assume essa função esquerda, seno de 𝑥, vezes a derivada da direita, neste caso dois 𝑥. Então você adiciona à direita d esquerda. Essa função da direita, 𝑥 ao quadrado, vezes a derivada da esquerda, cos de 𝑥.

Agora, fora do contexto, apresentado como uma regra a ser lembrada, acho que isso seria bem estranho, não é? Mas quando você pensa realmente nessa caixa ajustável, pode ver o que cada um desses termos representa. Esquerda d direita é a área desse pequeno retângulo inferior. E direita d esquerda é a área desse retângulo ao lado. A propósito, devo mencionar que se você multiplicar por uma constante, digamos duas vezes o seno de 𝑥, as coisas acabam muito mais simples. A derivada é igual à constante multiplicada pela derivada da função. Nesse caso, duas vezes cos de 𝑥. Deixo para você fazer uma pausa e refletir e meio que verificar se isso faz sentido.

Além da adição e multiplicação, a outra maneira comum de combinar funções — e acredite, essa aparece o tempo todo — é empurrar uma para dentro da outra, composição de função. Por exemplo, talvez tomemos a função 𝑥 ao quadrado e apenas a colocamos dentro do seno de 𝑥, para obter essa nova função seno de 𝑥 ao quadrado. O que você acha que é a derivada dessa nova função? Para pensar bem, vou escolher outra maneira de visualizar as coisas. Apenas para enfatizar que, em matemática criativa, temos muitas opções. Vou colocar três retas numéricas diferentes. A primeira vai conter o valor de 𝑥. A segunda vai manter o valor de 𝑥 ao quadrado. E essa terceira reta vai manter o valor do seno de 𝑥 ao quadrado. Ou seja, a função 𝑥 ao quadrado leva você da reta um à reta dois. E a função seno leva você da reta dois à reta três.

À medida que alterno esse valor de 𝑥, talvez o mova para o valor três. Esse segundo valor permanece atrelado ao valor de 𝑥 ao quadrado, neste caso subindo para nove. E esse valor mais baixo, sendo seno de 𝑥 ao quadrado, vai para qualquer que seja o seno de nove. Então, para a derivada, vamos começar apenas alterando esse valor 𝑥 por um pequeno d𝑥. E sempre penso que é útil pensar em 𝑥 como começar em algum número concreto real, talvez 1.5 neste caso. A alteração resultante para esse segundo valor, a mudança em 𝑥 ao quadrado causada por esse d𝑥, é d𝑥 ao quadrado. E poderíamos expandir isso, como fizemos anteriormente, como dois 𝑥 vezes d𝑥, que para nossa entrada específica seria duas vezes 1.5 vezes d𝑥. Mas, na verdade, ajuda a manter as coisas escritas como d𝑥 ao quadrado, pelo menos por enquanto. E, de fato, vou dar um passo adiante. Vou dar um novo nome a esse 𝑥 ao quadrado, talvez ℎ. Então, em vez de escrever d𝑥 ao quadrado para essa alteração, escrevemos dℎ.

E isso torna mais fácil pensar sobre esse terceiro valor, que agora está atrelado ao seno de ℎ. Sua mudança é dsen de ℎ, a pequena mudança causada pela alteração dℎ. A propósito, o fato de estar se movendo para a esquerda enquanto o dℎ está indo para a direita, isso significa apenas que essa alteração, dsen de ℎ, será algum tipo de número negativo. E mais uma vez, podemos usar nosso conhecimento de derivada do seno. Este dsen de ℎ será cerca de cos de ℎ vezes dℎ. É isso que significa que a derivada do seno é cosseno. E desdobrando as coisas, podemos simplesmente substituir ℎ por 𝑥 ao quadrado novamente. Então, sabemos que essa alteração inferior terá um tamanho de cos de 𝑥 ao quadrado vezes d𝑥 ao quadrado. E, de fato, vamos desdobrar as coisas ainda mais. Essa alteração intermediária, d𝑥 ao quadrado, será cerca de dois 𝑥 vezes d𝑥.

E é sempre um bom hábito se lembrar do que uma expressão como essa realmente significa. Nesse caso, onde começamos em 𝑥 é igual a 1.5 no topo. Toda essa expressão está nos dizendo que o tamanho da alteração nessa terceira reta será cerca de cos de 1.5 ao quadrado vezes dois vezes 1.5 vezes o tamanho de d𝑥. É proporcional ao tamanho de d𝑥. E essa derivada está nos dando essa proporcionalidade constante.

Observe o que descobrimos aqui. Temos a derivada da função externa. E ainda está absorvendo a função interna inalterada. E então estamos multiplicando pela derivada dessa função interna. Novamente, não há nada de especial no seno de 𝑥 ou 𝑥 ao quadrado. Se você tiver duas funções, 𝑔 de 𝑥 e ℎ de 𝑥, a derivada de sua composição, 𝑔 de ℎ de 𝑥, será a derivada de 𝑔 calculada em ℎ multiplicada pela derivada de ℎ. Esse padrão aqui é o que geralmente chamamos de regra da cadeia. Observe que, para a derivada de 𝑔, estou escrevendo como d𝑔 dℎ em vez de d𝑔 d𝑥. No nível simbólico, isso é um lembrete de que a coisa que você substitui a essa derivada ainda será essa função intermediária, ℎ. Mais do que isso, é um reflexo importante do que essa derivada da função externa realmente representa.

Lembre-se, em nossa configuração de três retas, quando pegamos a derivada do seno naquele denominador, expandimos o tamanho dessa alteração, dsen, como cos de ℎ vezes dℎ. Isso ocorreu porque não sabíamos imediatamente como o tamanho dessa alteração inferior dependia de 𝑥. Essa é a coisa toda que estávamos tentando descobrir. Mas poderíamos pegar a derivada com relação a essa variável intermediária, ℎ. Ou seja, descubra como expressar o tamanho dessa alteração na terceira reta como um múltiplo de dℎ, o tamanho da alteração na segunda reta. E foi só depois disso que nos desdobramos ainda mais, descobrindo o que dℎ era.

Portanto, nesta expressão de regra de cadeia, estamos dizendo que a razão entre uma pequena mudança em 𝑔, a saída final, e uma pequena mudança em ℎ que a causou. ℎ sendo o valor ao qual substituímos 𝑔. Então multiplique isso pela pequena mudança em ℎ dividida pela pequena mudança em 𝑥 que a causou. Observe que esses cancelamentos dℎs são cancelados e nos dão uma razão entre a mudança na produção final e a mudança na entrada que, através de uma certa cadeia de eventos, a trouxe à tona. E esse cancelamento de dℎ não é apenas um truque notacional. Isso é um reflexo genuíno do que está acontecendo com as pequenas alterações que sustentam tudo o que fazemos com derivativas.

Portanto, essas são as três ferramentas básicas que você deve ter para lidar com derivadas de funções que combinam muitas coisas menores. Você tem a regra da soma, a regra do produto e a regra da cadeia. E serei honesto com você. Existe uma grande diferença entre saber qual é a regra da cadeia e qual é a regra do produto e ser realmente fluente em aplicá-las mesmo nas situações mais difíceis. Assistir a vídeos, qualquer vídeo, sobre a mecânica do cálculo nunca substituirá a prática dessas mecânicas e a construção dos músculos para você mesmo fazer esses cálculos.

Eu realmente gostaria de me oferecer para fazer isso por você, mas receio que a bola esteja em sua quadra, meu amigo, para procurar a prática. O que posso oferecer, e o que espero ter oferecido, é mostrar de onde essas regras realmente vêm. Para mostrar que elas não são apenas algo a ser memorizado e martelado. Mas são padrões naturais, coisas que você também poderia ter descoberto apenas pensando pacientemente no que uma derivada realmente significa.