Vídeo: Utilizando o Completamento do Quadrado Para Resolver Equações do Segundo Grau

Utilizando uma série de exemplos, explicaremos a técnica de completamento do quadrado para resolver, ou determinar as raízes de, equações do segundo grau mónicas em que o coeficiente de 𝑥² = 1.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, utilizaremos a técnica de completamento do quadrado para determinar as raízes de equações do segundo grau. Veremos vários exemplos e falaremos um pouco sobre alguns dos benefícios de responder a questões desta maneira. Provavelmente já sabe como resolver equações utilizando a fatorização ou a fórmula resolvente e são ótimos métodos. Mas, por enquanto, vamos concentrar-nos apenas em abordar o método de completamento do quadrado.

Então, aqui está o nosso primeiro exemplo. Resolva 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos três igual a zero. Agora, isto significa determinar os valores de 𝑥 para os quais esta equação é verdadeira. E às vezes diz-se “determinar as raízes da equação”. Na verdade, esta questão seria mais fácil de resolver por fatorização. Então, podemos ver que podemos fatorizar isto como 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos um. Portanto, se utilizarmos o método de fatorização, seria bem direto. Acabamos com dois parêntesis multiplicados para perfazer zero. Portanto, o primeiro parêntesis é zero ou o segundo parêntesis é zero. Por outras palavras, 𝑥 seria igual a menos três ou igual a um. Então, vamos avançar e analisar o método de completamento do quadrado agora.

Bem, tenho duas opções: poderia completar o quadrado para toda a expressão aqui ou poderia simplesmente completar o quadrado para aquela parte da expressão ali, 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥. E isso acaba por ser um pouco mais fácil; então é isto que vou fazer. Então, vamos adicionar três aos dois membros desta equação. E isso dá-nos 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 é igual a três. Então, procurando por um parêntesis que possamos colocar no quadrado do primeiro membro para criar uma expressão equivalente a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥, basicamente precisamos de ter algo vezes ele próprio para dar-nos 𝑥 ao quadrado; então isto vai ser 𝑥. E o outro termo precisamos que adicione basicamente para dar dois; então tomaremos metade do coeficiente de 𝑥 e este será o nosso outro termo. Mas lembre-se, se multiplicar 𝑥 mais um ao quadrado, obterei 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥. Mas tenho este mais um que vem da multiplicação um vezes um, um quadrado no final. Então, se eu quiser que esta expressão aqui seja igual à expressão na linha em cima, precisarei de subtrair a expressão que obtive aqui. Então, o 𝑥 mais um quadrado dá-nos isto. Se eu subtrair o quadrado, estou a livrar-me disto e tenho a expressão que estava à procura.

Então, apenas calculando um quadrado — claramente é apenas um — agora vamos adicionar um aos dois membros da equação apenas para nos deixar com 𝑥 mais um quadrado no primeiro membro, que é igual a quatro. Agora, quero saber a que 𝑥 é igual. Então, preciso de aplicar raízes quadradas em ambos os membros da minha equação. E a raiz quadrada de 𝑥 mais um ao quadrado é apenas 𝑥 mais um e a raiz quadrada de quatro — bem, sabemos que é dois. Mas, de facto, existem duas respostas: eu posso multiplicar dois por dois para obter quatro ou menos dois por menos dois para obter quatro. Então, preciso de colocar este sinal de mais ou menos aqui. E tenho 𝑥 mais um igual a mais ou menos dois. De facto, porque tenho parêntesis em todo o primeiro membro aqui, não preciso mais deles; posso removê-los. Então, 𝑥 mais um é igual a dois positivo ou negativo. Agora, quero 𝑥 isolado. Portanto, o oposto de adicionar um é subtrair um. Então, vou subtrair um dos dois membros da equação. Agora, a ordem em que faço isso no segundo membro não faz diferença. Eu poderia dizer que estou a começar com mais ou menos dois e, em seguida, estou a subtrair um ou posso ficar [dizer] que estou a começar com menos um e, em seguida, estou a adicionar dois ou a subtrair dois. Na verdade, acho esta segunda versão mais fácil de trabalhar, mas cabe a si qual destas utilizar.

Portanto, o sinal de mais ou menos indica que temos dois cálculos diferentes para fazer. Então, 𝑥 poderia ser menos um mais dois, o que obviamente é um, ou 𝑥 poderia ser menos um menos dois, o que seria menos três. E vamos colocar a nossa resposta numa caixa grande e agradável para torná-la linda e clara. Felizmente, as respostas estão de acordo com as respostas que obtivemos anteriormente utilizando o método de fatorização. Então, estas são boas notícias. Agora, obviamente, isso deu um pouco mais de trabalho do que o que eu, provavelmente, fui muito generoso com a quantidade desse trabalho que escrevi. E não tem necessariamente que escrever todos os passos ao longo do caminho. Portanto, existem alguns atalhos que pode utilizar. Mas, claramente, este método era mais longo e mais tortuoso do que apenas fatorizar. Portanto, se as suas equações quadráticas forem fatorizáveis, provavelmente esse será um método mais rápido e fácil de utilizar. Porém, como veremos mais adiante, existem outras vantagens em abordar a sua questão desta maneira específica, mas veremos isso noutro exemplo.

Ok, vamos para a próxima questão. Novamente, esta poderia ser fatorizada, mas vamos esquecer isso por enquanto. Bem, o motivo pelo qual estou a utilizar exemplos de fatorização é porque têm números fáceis de trabalhar, o que facilitará a demonstração do método. Portanto, resolva 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 mais dez igual a zero. Então, antes de mais, quero isolar 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 apenas para tornar a minha vida um pouco mais fácil. Então, vou subtrair dez a ambos os membros para dar-me 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 igual a menos dez. Agora vou tentar completar o quadrado nesta expressão. Então, é 𝑥 mais sete sobre dois. Metade de sete, poderia escrever isto como três ponto cinco. Mas geralmente é mais fácil deixar estas frações como veremos ao longo do resto dos exemplos. Agora, se eu puder — se eu resolver isto, descobrirei que tenho mais sete sobre dois ao quadrado no final, do qual me quero livrar. Então, para tornar esta expressão equivalente à expressão em cima, preciso de colocar este termo aqui e subtrair o sete sobre dois ao quadrado. E isso é igual a menos dez. Então agora vou adicionar sete sobre dois ao quadrado nos dois membros.

E é claro que sete sobre dois ao quadrado é quarenta e nove sobre quatro. Portanto, no primeiro membro, fico com 𝑥 mais de sete sobre dois, todos ao quadrado igual a dez negativos mais quarenta e nove sobre quatro. Portanto, para calcular o segundo membro, preciso de converter dez numa fração imprópria que possui um denominador comum de quatro. E é claro que será quarenta sobre quatro, porque quarenta sobre quatro é dez. Então, agora preciso de calcular isto. Menos quarenta sobre quatro mais quarenta e nove sobre quatro dá-me nove sobre quatro. Então, tenho esta expressão ao quadrado igual a nove sobre quatro. Então, se tenho raízes quadradas em ambos os membros, começo a avançar em direção a uma situação em que terminei com 𝑥 isolado.

E a raiz quadrada do primeiro membro é apenas 𝑥 mais sete sobre dois e a raiz quadrada de nove sobre quatro é a raiz quadrada de nove sobre quatro. Mas não esqueça que preciso ter a versão positiva e a versão negativa e agora posso calcular que a raiz quadrada de nove é três e a raiz quadrada de quatro é dois. E, novamente, coloquei parêntesis no primeiro membro. Livrei-me destes parêntesis, só para me deixar com 𝑥 mais sete sobre dois. Agora, eu quero ficar sozinho. Então eu vou ter que subtrair estes sete sobre dois nos dois membros. E quando faço isso no primeiro membro, fico com apenas 𝑥.

E no segundo membro, fico com menos sete sobre dois mais ou menos três sobre dois. Mais uma vez, poderia fazer isto de qualquer maneira. Eu tenho tendência a achar um pouco mais fácil fazer o cálculo nesta ordem. E, por sorte, já temos denominadores comuns aqui. Portanto, a primeira possibilidade é que 𝑥 é menos sete sobre dois mais três sobre dois, que é igual a menos quatro sobre dois. E menos quatro sobre dois é menos dois. E a segunda possibilidade é que 𝑥 é igual a menos sete sobre dois, subtrai outros três sobre dois, que é menos dez sobre dois e, claro, que é menos cinco. Portanto, a resposta para a questão é que existem dois valores que 𝑥 pode assumir e que satisfariam esta equação logo no início: 𝑥 pode ser menos dois ou 𝑥 pode ser menos cinco.

Portanto, foi em dois exemplos que provavelmente está a pensar por que está a dizer-me este método complicado, porque a factorização teria as mesmas respostas muito mais rapidamente. E sabe que este é um aspeto realmente muito importante, mas muitas vezes há um pouco mais sobre a questão. Por exemplo, deixe-me dar um exemplo do tipo de situações em que pode utilizar o completamento do quadrado. Digamos que nos pediram para esboçar o gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 mais dez e para determinar as coordenadas do ponto mais baixo do gráfico. Portanto, o tipo de razão pela qual estávamos a fazer esse tipo de cálculo aqui resolvendo 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 mais dez é igual a zero é para esboçar esta curva, precisamos de descobrir onde a curva interseta o eixo O𝑥. Portanto, se é tudo o que estamos a fazer, sim, a factorização será um ótimo método. Mas se estivermos a tentar fazer o esboço na análise geral e determinar as coordenadas do ponto mais baixo da curva, colocar a equação na forma de completamento do quadrado facilita a vida um pouco.

Então, o que estamos a fazer aqui, estamos a definir o nosso valor 𝑦 como zero. Portanto, se reorganizarmos esta linha aqui para ser 𝑥 mais sete sobre dois tudo ao quadrado menos nove sobre quatro igual a zero. Lembre-se de que a coordenada em 𝑦 era zero, então podemos substituí-la em 𝑦. Esta é a forma do completamento do quadrado da nossa equação e agora podemos determinar com muita facilidade o ponto mínimo na curva, porque, para torná-lo o menor possível, precisamos de determinar a coordenada em 𝑥 a qual quando substituída nesta equação, obtemos o menor valor possível. Mas lembre-se, 𝑥 só aparece neste termo ao quadrado aqui. Portanto, seja 𝑥 muito grande e positivo ou muito grande e negativo, não importa quão negativo o número que temos depois de adicionar sete sobre dois a este. Vamos fazer o quadrado desse valor. Então, terá um valor positivo. Portanto, este termo aqui o menor valor que pode ser obtido é zero e isso acontecerá quando 𝑥 for igual a menos sete sobre dois. E quando 𝑥 é menos sete sobre dois e esta parte se torna zero, a coordenada em 𝑦 correspondente será apenas zero menos nove sobre quatro. Então, agora temos as coordenadas do ponto mínimo, temos as coordenadas onde interseta o eixo O𝑥, temos a coordenada onde interseta o eixo O𝑦, e sabemos que este foi um valor positivo de 𝑥 ao quadrado aqui. Então, sabemos que é uma espécie de curva sorridente feliz. Então, sabemos que é assim; podemos esboçar facilmente esta curva. Portanto, o completamento do quadrado surge por si quando sabemos um pouco mais sobre a questão.

Bem, vamos dar uma olhadela noutra questão então. Então, uma forma um pouco diferente, resolva em ordem a 𝑥: 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais vinte e quatro igual a vinte. Agora, temos números nos dois membros do sinal de igual. Então, vamos tentar subtrair vinte e quatro de ambos os membros para nos deixar com apenas 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 no primeiro membro que podemos utilizar para o método do completamento do quadrado. E agora estamos de volta onde estávamos antes — o mesmo tipo de questão que acabámos de fazer muitas vezes. Então, vamos completar o quadrado no primeiro membro. Então, lembre-se de que temos um 𝑥 ao quadrado. Então, isto dá-nos 𝑥 como primeiro termo e depois reduzimos a metade o coeficiente de 𝑥 para nos dar o nosso segundo termo. E, em seguida, temos que subtrair este segundo termo ao quadrado. E subtrair menos cinco sobre dois ao quadrado. E agora as duas linhas, este termo aqui, são completamente equivalentes a este termo aqui. E isso é igual a menos quatro. Portanto, calculando menos cinco sobre dois ao quadrado, obtemos vinte e cinco sobre quatro. Então, vamos subtrair vinte e cinco sobre quatro. Então, vou tentar livrar-me disto adicionando vinte e cinco sobre quatro a ambos os membros. Manter os números de fora na forma de fração imprópria e fazer frações, adição e subtração, acredite ou não, é provavelmente a parte mais difícil disto. Isso é o que a maioria das pessoas acha difícil nas questões de completamento do quadrado. Mas uma vez que se habitue, obviamente é bem fácil de fazer. Portanto, menos quatro mais vinte e cinco sobre quatro, preciso de converter menos quatro numa fração equivalente — fração imprópria — com um denominador comum de quatro. Portanto, será menos dezasseis sobre quatro. Então, no primeiro membro, tenho menos dezasseis sobre quatro mais vinte e cinco sobre quatro, que é nove sobre quatro.

Agora, preciso de criar raízes quadradas em ambos os membros para simplificar o segundo membro. E a raiz quadrada do segundo membro é de apenas 𝑥 menos cinco sobre dois. E no primeiro membro, tenho uma raiz quadrada de nove; tenho uma raiz quadrada de quatro. Mas lembre-se de que preciso da versão positiva e negativa disto. Então, agora, para isolar 𝑥 — descubro a que é 𝑥 igual. Eu preciso de adicionar cinco sobre dois a ambos os membros. Portanto, existem duas versões possíveis de 𝑥: 𝑥 pode ser cinco sobre dois mais três sobre dois ou pode ser cinco sobre dois menos três sobre dois. E quando os calculo, obtenho 𝑥 igual a quatro ou 𝑥 igual a um. Então, é este agora. A única parte diferente era realmente isto no início; tivemos números nos dois membros das equações, mas pode rapidamente reorganizá-lo para algo com o qual esteja mais familiarizado.

Certo, vamos fazer outro então. Resolva 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 menos seis igual a zero. Então, exatamente a mesma técnica; é que no final desta questão os números ficarão um pouco mais complicados. Mas não importa, vamos descobrir como fazer isso quando chegarmos lá. Então, limparemos um pouco de espaço no segundo membro adicionando seis aos dois membros e completaremos o quadrado no primeiro membro. Então, temos 𝑥 e tomamos metade do coeficiente de 𝑥, três sobre dois; e colocamo-lo ao quadrado. Para tornar isto equivalente à expressão em cima, precisamos de remover este termo três sobre dois ao quadrado. Então, isso é igual a seis. E vou calcular três sobre dois ao quadrado. E tenho 𝑥 mais três sobre dois ao quadrado menos nove sobre quatro igual a seis e vou adicionar o nove sobre quatro aos dois membros. Então, eu tenho seis mais nove sobre quatro no segundo membro. Então, preciso de encontrar uma versão equivalente a seis, que seja na verdade uma fração imprópria sobre quatro. Então, tenho meus denominadores comuns. E isto é, obviamente, vinte e quatro sobre quatro, porque vinte e quatro sobre quatro é o mesmo que seis. Agora vinte e quatro sobre quatro mais nove sobre quatro é igual a trinta e três sobre quatro. Então, tenho 𝑥 mais três sobre dois ao quadrado igual a trinta e três sobre quatro. Agora, vou aplicar raízes quadradas em ambos os membros. E a raiz quadrada do primeiro membro é apenas 𝑥 mais três sobre dois e temos dois valores possíveis para o segundo membro: ou é a versão positiva da raiz quadrada de trinta e três sobre quatro ou é a versão negativa. Agora, obviamente, é o mesmo que raiz trinta e três sobre raiz quatro. Então, esta é a raiz de quatro e dois.

Portanto, isto é um pouco diferente das questões anteriores, porque antes, quando estávamos a fazer este passo da raiz quadrada, acabávamos com números simples e agradáveis. Mas a raiz quadrada de trinta e três não é nada agradável e fácil. Então, deixamo-la como raiz trinta e três. E no próximo passo para isolar 𝑥, no primeiro membro, subtraí três sobre dois de ambos os membros. E assim à direita torna-se menos três sobre dois mais ou menos raiz trinta e três sobre dois. Então, como a sorte o deseja, eu já tenho meu denominador comum. Então, agora tenho dois valores possíveis para 𝑥: pode ser menos três sobre dois mais a raiz de trinta e três sobre dois ou pode ser menos três sobre dois subtraído desta raiz de trinta e três sobre dois. Agora, eu poderia reunir estes termos, mas como estes números não são particularmente bons, tenho que deixá-los nesta forma. A questão poderia ter-me pedido para dar as minhas respostas arredondadas a uma casa decimal ou poderia ter-me pedido para deixá-las nesta forma exata. E apenas por uma questão de exemplificação, vou fingir que me pediam para deixá-la na forma exato neste caso. Às vezes, as respostas funcionam de maneira muito simples e, às vezes, os números são um pouco mais complicados, mas o método é o mesmo.

Então, vejamos outra questão. Neste caso, temos menos um 𝑥 ao quadrado e não sabemos como completar o quadrado quando temos um coeficiente de 𝑥 ao quadrado que não é igual a um. Então, o que vou fazer aqui é ajustar a questão um pouco. Vou multiplicar tudo por menos um em ambos os membros da minha equação e terei um 𝑥 quadrado positivo com o qual posso trabalhar. Então, multiplicando cada um destes termos por menos um, obtive menos cinco menos dois 𝑥 mais 𝑥 ao quadrado igual a zero. Na verdade, vou reorganizar um pouco o primeiro membro. Colocando os termos em ordem a partir do de maior potência de 𝑥 para baixo e agora temos uma questão como as que acabámos de ver. Muito rapidamente, adicionamos cinco aos dois membros. Em seguida, completamos o quadrado no primeiro membro, o que nos dá 𝑥 menos um porque metade de dois é um tudo ao quadrado. Subtraímos este menos um ao quadrado, que é 𝑥 menos um tudo ao quadrado menos um igual a cinco. Agora, vamos adicionar estes dos dois membros, dando-nos 𝑥 menos um quadrado ao quadrado igual a seis. Aplicamos raízes quadradas em ambos os membros. Novamente, precisamos de ter a versão positiva ou negativa da raiz quadrada de seis. E, novamente, a raiz de seis não se torna um número simples e agradável para nós, portanto, adicionaremos um a ambos os membros. E isto dá-nos dois valores possíveis para 𝑥: um mais a raiz de seis ou um menos a raiz de seis. E é claro que poderíamos arredondá-los a casa decimal, se é isso que a questão pede.

E, finalmente, mais uma variação rápida sobre o tema. Desta vez, temos dois 𝑥 ao quadrado. E tudo o que precisamos de fazer aqui é dividir tudo por dois. Como temos uma equação, podemos fazer as mesmas coisas em ambos os membros da equação para mantê-la na mesma. Então, se eu dividir tudo por dois, tenho uma equação totalmente equivalente. E pode ver aqui que agora tenho um monte de 𝑥 ao quadrado, pelo que posso aplicar o método como antes. E assim o resto da técnica é a mesma e termino com a minha resposta 𝑥 igual a três ou 𝑥 igual a menos sete.

Então, vamos resumir. Completar o quadrado um pouco mais complicado do que fatorizar ou utilizar a fórmula resolvente, mas fornece um pouco mais de informação sobre a curva. Às vezes tem que fazer um pouco de manipulação no início. Eu gosto de fazer este pequeno passo aqui, onde estamos a obter uma expressão mais simples para completar o quadrado. E lembre-se sempre de que, ao aplicar raízes quadradas em ambos os membros, terá duas respostas diferentes possíveis para trabalhar.

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