Vídeo: A Divisibilidade Surpreendente dos Números

Neste vídeo, analisamos a divisibilidade dos números de contagem positiva e investigamos por que parece que tantos números de 6 dígitos são divisíveis por 143.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos a divisibilidade dos números e encontraremos alguns resultados surpreendentes. Vamos apenas pensar nos números positivos da contagem: um, dois, três, quatro, cinco e assim por diante. Estes são chamados de números naturais, e nós temos esse símbolo especial, que representa os números naturais. Agora, as propriedades que veremos neste vídeo também funcionam com números negativos, mas não vamos nos preocupar com isso por enquanto.

Que proporção dos números naturais são divisíveis por dois? Bem, todos os outros números que são múltiplos de dois: dois, quatro, seis, oito, dez e assim por diante. Então, metade dos números naturais são divisíveis por dois. Se você escolhesse um número natural ao acaso, metade do tempo você escolheria um que fosse divisível por dois e a outra metade do tempo você escolheria um que não fosse divisível por dois.

Ok, vamos pensar na proporção de números que são divisíveis por três. Bem, todo terceiro número é um múltiplo de três. Portanto, um terço dos números é divisível por três. Se eu pedisse a todos que assistissem ao vídeo para escolher um número natural ao acaso, um terço deles teria escolhido um número divisível por três. E também podemos ver que um quarto dos números naturais são divisíveis por quatro, um quinto deles é divisível por cinco e assim por diante.

Então, vamos tentar uma experiência. Para ser honesto, isso funciona melhor se você estiver em um grupo de 30 ou mais pessoas e talvez alguns de vocês estejam - em uma sala de aula, por exemplo. Você vai precisar de uma calculadora, então se você não tiver uma, pause o vídeo agora e pegue uma. Certo! Então eu quero que você escolha um número aleatório de três dígitos, por exemplo, um dois três; embora eu tenha certeza que você venha com algo muito mais criativo do que isso. Agora digite-o na sua calculadora. Agora, para tornar isso um pouco mais interessante com números maiores, quero que você repita esses três dígitos para criar um número de seis dígitos. Então, o meu um dois três torna-se um dois três um dois três, por exemplo.

E agora, temos um número natural de seis dígitos aleatório. Agora, metade de vocês devem ter um número divisível por dois, um terço de vocês tem um número divisível por três, um quarto de vocês tem um número divisível por quatro e assim por diante. Mas que proporção de vocês terá um número divisível por sete? É um sétimo? Bem, tente dividir seu número de seis dígitos por sete. A resposta é um número inteiro? Aposto que é para todos vocês. Então essa proporção é um, 100%, todos vocês têm um número que é divisível por sete.

Ok, limpe sua calculadora e digite outro número de seis dígitos novamente. Qual proporção de vocês tem um número que é divisível por 91? Então, dividam esse número por 91 e vejam se vocês recebem uma resposta numérica inteira. Vocês acham que a resposta seria de 91%, cerca de 1%, mas a proporção é de 100%. Todos vocês devem ter um número divisível por 91.

Certo, uma última vez, limpe sua calculadora; digite um número de seis dígitos novamente. E a nova pergunta é qual a proporção de vocês tem um número divisível por 143? Bem, deveria ser um 143 avos de vocês, pouco mais de metade de um por cento. Mas dividam esse número por 143 e acho que todos vocês receberão uma resposta numérica inteira. A proporção é um, 100%, todos vocês. Então, por que nossas proporções de divisibilidade estão sendo quebradas? É estranho né? Bem, talvez não.

Vamos pensar sobre o que aconteceu quando eu lhe disse para repetir seus três dígitos aleatórios para criar um novo número aleatório de seis dígitos. Então começamos com um número de três dígitos. No meu caso, um estava na coluna do 100, dois na coluna do 10 e três na coluna do 1. Se eu multiplicar isso por 1000, recebo 123000. 1000 vezes 100 é 100000, 1000 vezes 10 é 10000 e 1000 vezes um é 1000. Assim, todos esses dígitos mudaram para colunas que têm um valor posicional 1000 vezes maior.

Agora, se eu adicionar meu número original novamente, temos 123123. Então, o que fiz foi pegar meu número original, multiplicá-lo por 1000 e depois adicionar outro. Eu tenho 1001 desses números. O que eu fiz foi multiplicar meu número original por 1001. Isso significa que o som inocente de repetir esses dígitos na verdade significa multiplicar seu número por 1001.

Agora vamos fazer um desvio rápido. Você provavelmente já ouviu falar de números primos; eles são números naturais que têm exatamente dois fatores. Você pode ter usado a definição de que eles são números, que são divisíveis por apenas um e por eles mesmos, mas tenha cuidado, porque um não é um número primo porque tem apenas um fator - um. Portanto, os números primos são dois, três, cinco, sete, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 e assim por diante.

Agora, você pode se surpreender ao saber que todos os números naturais maiores que um podem ser expressos como o produto de alguns números primos. Por exemplo, 210, duas vezes 105 é igual a 210 e dois é um número primo, lembre-se. E 105 pode ser expresso como três vezes 35 e três é um número primo. E 35 é cinco vezes sete, e ambos cinco e sete são números primos. Então duas vezes três vezes cinco vezes sete é 210. E chamamos duas vezes três vezes cinco vezes sete o produto de primos para 210.

Agora, o que é um pouco surpreendente, não importa em que número você comece, sempre é possível encontrar um grupo de números primos que se multiplicarão para formar esse número, desde que você comece com um número inteiro maior que um. Vamos fazer o mesmo para 1001. Bem, sete vezes 143 é 1001 e sete é um número primo. E 11 vezes 13 é 143, e ambos são números primos. Então sete vezes 11 vezes 13 é igual a 1001; esse é o produto de primos para 1001.

Agora, se pensarmos no nosso número de seis dígitos, que é 1001 vezes nosso número de três dígitos, podemos escrevê-lo assim. Com 1001 sendo igual a sete vezes 11 vezes 13, podemos substituir o 1001 por sete vezes 11 vezes 13. Agora, esperamos, podemos ver que o nosso número de seis dígitos é definitivamente divisível por sete porque é sete vezes o que quer que seja.

Então é assim que eu sabia que todos os seus números seriam divisíveis por sete. Mas a multiplicação é comutativa, o que é apenas uma maneira elegante de dizer que obteremos a mesma resposta, não importa em que ordem multiplicamos nossos números. Então, em vez de escrever sete vezes 11 vezes 13 vezes 123, eu poderia escrever sete vezes(.) 13 vezes 11 vezes 123. E como sete vezes 13 é igual a 91, eu sabia que seu número de seis dígitos era equivalente a 91 vezes alguma coisa. Em outras palavras, era divisível por 91 ou eu poderia multiplicar o 13 e o 11 para obter 143, e isso me dizia que seu número era divisível por 143.

Então, usando um pouco de conhecimento de matemática e habilidades analíticas, esclarecemos nosso pequeno mistério. Pensando cuidadosamente em quais operações matemáticas precisávamos aplicar para chegar ao número de seis dígitos do nosso número aleatório original de três dígitos, poderíamos ver que estávamos apenas multiplicando-o por 1001. E usando o fato de que todos os números naturais maiores do que um podem ser expressos como um produto de primos, podemos dizer que 1001 é equivalente a sete vezes 11 vezes 13. E combinando esses fatores primos de maneiras diferentes, podemos ver que nossos números de seis dígitos seriam todos divisíveis por sete, 11, 13 e sete vezes 11, então 77 e sete vezes 13, então 91, e 11 vezes 13, então 143, e, claro, sete vezes 11 vezes 13, que é 1001.

Então eu cuidadosamente escolhi esses números para você testar a divisibilidade, então eu sabia que todos eles seriam fatores de todos os seus números. Se eu escolhesse outros fatores para testar, então as proporções normais de divisibilidade teriam sido aplicadas. Se eu escolhesse 12, então apenas um 12 avos de vocês teriam números divisíveis por 12. Se eu escolhesse 142, então apenas um 142 avos de vocês teriam números divisíveis por 142. Então, essa divisibilidade surpreendente não é tão surpreendente, afinal.

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