Vídeo: Determinando o Deslocamento e a Velocidade de uma Partícula dada a Expressão de Aceleração

Uma partícula começou a se mover em linha reta a partir da origem, de modo que sua aceleração no tempo 𝑡 segundos é dada por 𝑎 = (6𝑡 − 2) m/s², 𝑡 ≥ 0. Dado que sua velocidade inicial era 14 m/s, determine sua velocidade 𝑣 e seu deslocamento 𝑠 quando 𝑡 = 2 segundos.

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Transcrição do vídeo

Uma partícula começou a se mover em linha reta a partir da origem, de modo que sua aceleração no tempo 𝑡 segundos é dada por 𝑎 é igual a seis 𝑡 menos dois metros por segundo ao quadrado, onde 𝑡 é maior que ou igual a zero. Dado que sua velocidade inicial era de 14 metros por segundo, determine sua velocidade 𝑣 e seu deslocamento 𝑠 quando 𝑡 é igual a dois segundos.

A velocidade da partícula pode ser calculada integrando a aceleração em relação a 𝑡. De um modo semelhante, o deslocamento pode ser calculado integrando a velocidade em relação a 𝑡. Em nosso exemplo, para calcular a velocidade, precisamos integrar seis 𝑡 menos dois. A integral de seis 𝑡 é três 𝑡 ao quadrado. E a integral de dois é dois 𝑡. Portanto, 𝑣 é igual a três 𝑡 ao quadrado menos dois 𝑡 mais 𝑐. Para calcular o valor da constante 𝑐, precisamos substituir nas condições iniciais. Quando 𝑡 é igual a zero, a velocidade 𝑣 é igual a 14. A substituição desses valores nos dá um valor 𝑐 igual a 14.

Isso significa que podemos calcular a velocidade a qualquer momento usando a equação três 𝑡 ao quadrado menos dois 𝑡 mais 14. Em nosso exemplo, somos solicitados a calcular a velocidade quando 𝑡 é igual a dois. Então, precisamos substituir 𝑡 é igual a dois na equação. Isto nos dá 𝑣 é igual a três multiplicado por dois ao quadrado menos dois multiplicado por dois mais 14. Três multiplicado por dois ao quadrado é igual a 12. E menos dois multiplicado por dois são menos quatro. Portanto, 𝑣 é igual a 12 menos quatro mais 14. Isso nos dá um valor para 𝑣, quando 𝑡 é igual a dois, de 22. A velocidade quando 𝑡 é igual a dois segundos é de 22 metros por segundo.

A segunda parte da questão nos pediu para calcular o deslocamento quando 𝑡 é igual a dois segundos. Para fazer isso, precisamos integrar três 𝑡 ao quadrado menos dois 𝑡 mais 14. A integral de três 𝑡 ao quadrado é 𝑡 ao cubo. A integral de dois 𝑡 é 𝑡 ao quadrado. E a integral de 14 é igual a 14𝑡. Portanto, 𝑠 é igual a 𝑡 ao cubo menos 𝑡 ao quadrado mais 14𝑡 mais 𝑐. Quando a partícula começou a se mover da origem, sabemos que quando 𝑡 é igual a zero, 𝑠, o deslocamento também é igual a zero. Substituindo esses valores na equação nos dá um valor 𝑐 igual a zero.

Podemos calcular o deslocamento da partícula a qualquer momento 𝑡 usando a equação 𝑠 igual a 𝑡 ao cubo menos 𝑡 ao quadrado mais 14𝑡. Mais uma vez, precisamos substituir 𝑡 é igual a dois nessa equação. Isso nos dá 𝑠 é igual a dois ao cubo menos dois ao quadrado mais 14 multiplicado por dois. Dois ao cubo é igual a oito. E dois ao quadrado é igual a quatro. Oito menos quatro mais 28 é igual a 32. Isso significa que o deslocamento da partícula quando 𝑡 é igual a dois segundos é de 32 metros.

Após dois segundos, a partícula está a 32 metros da origem e está viajando a uma velocidade de 22 metros por segundo.

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