Vídeo: Introduzindo Funções Lineares Utilizando 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Uma introdução detalhada da forma geral de uma função linear, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (or 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐). Explicamos como calcular o declive e a interseção com O𝑦 e mostramos como alterar estes parâmetros afeta o gráfico da função.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, exploraremos a forma geral da equação de uma função de uma reta: 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. Agora, dependendo de onde moras, podes ter visto isto escrito como 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑐. Bem, significam exatamente a mesma coisa. Mas alguma mente brilhante achou que seria uma boa ideia utilizar a letra “𝑐” em vez da letra “𝑏” para representar o valor da coordenada do ponto que interseta o eixo O𝑦. Agora, achas que será mais fácil lembrar qual o que indica o valor onde a reta corta o eixo O𝑦 — 𝑐 significa corte. Mas, depois de muitos anos de ensino em lugares onde utilizam 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐 em vez de 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, acredita em mim que não funciona. Também podes utilizar 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏. Seja qual for a versão da fórmula utilizada, esta é a grande ideia que veremos neste vídeo.

Então, vamos ver alguns gráficos primeiro. Vamos traçar 𝑦 igual 𝑥. Bem, 𝑦 igual 𝑥 também pode ser escrito como 𝑦 igual a um 𝑥 ou 𝑦 igual a um vezes 𝑥. Portanto, seja qual for a coordenada em 𝑥 que damos, apenas a multiplicamos por um e esta também será a coordenada em 𝑦. Então, temos uma série de pontos que têm exatamente as mesmas coordenadas em 𝑥 e em 𝑦. Por exemplo, se a minha coordenada em 𝑥 for zero, a minha coordenada em 𝑦 também será zero; se a minha coordenada em 𝑥 for cinco, a minha coordenada em 𝑦 também será cinco; ou se a minha coordenada em 𝑥 for menos sete, a coordenada em 𝑦 também será menos sete. E isso leva-nos a uma série de pontos e vários pontos entre estes que se parecem com isso no gráfico. E quando os uno, parecem-se com isto, fornecendo o gráfico da reta 𝑦 igual 𝑥.

Agora vamos traçar a reta 𝑦 igual a dois 𝑥. E para esta, tivemos que tomar a coordenada em 𝑥 e multiplicar por dois para obter a coordenada em 𝑦. Portanto, se a nossa coordenada em 𝑥 for zero, multiplicá-la-emos por dois e também obteremos zero. E se a coordenada em 𝑥 for três, multiplicá-la-emos por dois e obteremos seis e assim por diante. Portanto, o nosso gráfico ficará assim.

E da mesma maneira, podemos representar 𝑦 igual a três 𝑥. Agora já acho que vamos representar dois — representaremos 𝑦 igual a um meio 𝑥 e 𝑦 igual a zero 𝑥. Bem, claramente, 𝑦 igual a zero 𝑥 é apenas 𝑦 igual a zero. Portanto, a coordenada em 𝑦 será sempre zero neste caso. Portanto, 𝑦 igual a um meio 𝑥 e podemos ver que a coordenada em 𝑥 é dez neste ponto aqui e a nossa coordenada em 𝑦 é cinco. Portanto, a coordenada em 𝑦 é metade da coordenada em 𝑥 e isso é verdade para todas as coordenadas nesta reta. E temos 𝑦 igual a zero 𝑥, onde a coordenada em 𝑦 é sempre zero.

Então, agora traçamos todas estas retas. O que deves notar é que o multiplicador de 𝑥 diz-nos como essa reta vai ser íngreme. Temos uma série de retas que começam na horizontal e se tornam cada vez mais íngremes à medida que o multiplicador de 𝑥 aumenta. Vamos escolher um ponto numa destas retas e aumentar a nossa coordenada em 𝑥 uma unidade. Agora, quando fazemos isso, a coordenada em 𝑦 correspondente na reta subiu um meio e parece ser o coeficiente de 𝑥. Quando olho para a reta 𝑦 igual a um 𝑥, se eu considerar um ponto na reta, aumento a coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 correspondente, se eu voltar para a reta, também subiu uma unidade. Se fizer o mesmo na reta 𝑦 igual a dois 𝑥, aumento a coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 correspondente para voltar à reta sobe duas unidades e este é o coeficiente de 𝑥.

Portanto, para qualquer reta nesta forma 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏, então 𝑦 é igual a um número vezes 𝑥 mais ou menos outro número; quero dizer, no nosso caso, os números são mais zero, o número 𝑏 ou 𝑐 no final é zero, em qualquer reta nesta forma, o coeficiente de 𝑥 informa sobre o declive da reta — quão íngreme é ou quão raso é: é horizontal? ou está cada vez mais vertical? Mas o próprio número indica especificamente quanto a coordenada em 𝑦 mudará se eu aumentar a minha coordenada em 𝑥 uma unidade em qualquer ponto desta reta.

Certo, vamos fazer este exercício novamente. Mas desta vez os nossos coeficientes de 𝑥 serão números negativos. Então, vamos fazer zero 𝑥, menos um meio 𝑥, menos um 𝑥, menos dois 𝑥 e menos três 𝑥. Então, 𝑦 igual a zero 𝑥 ainda é esta reta horizontal. E para 𝑦 igual a menos um meio 𝑥, a coordenada em 𝑦 é menos um meio vezes a coordenada em 𝑥. Assim, por exemplo, quando a coordenada em 𝑥 é cinco, a coordenada em 𝑦 é menos um meio vezes isso. Portanto, é menos dois ponto cinco. Então, podes ver este ponto na reta aqui.

Agora também podemos representar 𝑦 igual a menos um 𝑥 ou apenas a 𝑥, e 𝑦 igual a menos dois 𝑥 e 𝑦 igual a menos três 𝑥. Agora novamente 𝑦 igual a zero 𝑥. Dissemos que era uma reta horizontal e verás que, à medida que este número se torna maior e mais negativo, a reta fica mais íngreme. Mas, em vez de ir do canto inferior esquerdo para o canto superior direito, a subir, está a ir na outra direção. Vai do canto superior esquerdo para o canto inferior direito; está a ir para onde chamaríamos de decrescente. Então, o número no coeficiente de 𝑥 fala-nos sobre o declive dessa reta, mas o sinal desse número também nos fornece algumas informações sobre o declive. Se for negativo, seguirá nesta direção descendente, da esquerda para a esquerda, na parte inferior direita. Se foi positivo, está a ir nesta direção, à medida que aumentamos 𝑥 da parte inferior esquerda para a parte superior direita.

Agora, porque sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade numa determinada reta, a coordenada em 𝑦 varia sempre na mesma quantidade; é isto que torna uma reta reta. Portanto, na reta 𝑦 igual a menos três 𝑥, se começar aqui e aumentar a coordenada em 𝑥 uma unidade, para voltar a esta reta, tenho que diminuir a coordenada em 𝑦 três. E a mesma coisa é verdadeira, não importa o local na reta em que comece. E olhando para 𝑦 igual a menos um meio 𝑥, a mesma coisa é verdadeira. Sempre que, não importa onde comece nesta reta, aumentar a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 diminuirá na mesma quantidade — menos um meio neste caso. Então, seja daqui ou aqui, aqui ou mesmo aqui, o declive desta reta é sempre o mesmo, em todos os lugares da reta.

Bem, agora vamos traçar algumas retas diferentes: 𝑦 igual a 𝑥 mais zero, 𝑦 igual a 𝑥 mais um, 𝑥 mais dois, 𝑥 mais três, 𝑥 mais quatro e 𝑥 mais cinco. E podes fazer isto utilizando um software ou utilizando tabelas de valores. Mas eu vou fazer isto por ti aqui; o que fazemos é considerar a nossa coordenada em 𝑥 e adicionar algo a esta. Agora, dependendo da equação que estamos a utilizar, adicionaremos um ou nada e dois ou três ou quatro ou cinco. Portanto, se eu tomar a minha coordenada em 𝑥 e não adicionar nada a esta para obter a minha coordenada em 𝑦, isto significa que todas as minhas coordenadas em 𝑥 e 𝑦 são iguais. Portanto, esta é a reta que obtemos. Se eu tomar a minha coordenada em 𝑥 e adicionar um a esta sempre, esta é a reta que obtenho. Vê que quando a minha coordenada em 𝑥 é zero, zero mais um é um, então a minha coordenada em 𝑦 será um; então este é o ponto que vou obter. Se a minha coordenada em 𝑥 for quatro, quatro mais um é cinco, então cinco será a coordenada em 𝑦 que obtenho. Então, esta é a reta 𝑦 igual a 𝑥 mais um. Agora, vou representar 𝑥 mais dois, 𝑥 mais três, 𝑥 mais quatro e 𝑥 mais cinco. E aqui estão as retas que obtenho. Agora, isso não é muito surpreendente, porque parece que todas elas têm o mesmo coeficiente em 𝑥. Não temos nada à frente; então é tudo um vezes 𝑥. Portanto, o declive destas retas deve ser o mesmo. Sempre que aumento minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 aumenta uma unidade. São retas paralelas porque têm todas o mesmo declive de um.

Mas agora vamos ver outra coisa: o mais 𝑏. Estamos a adicionar zero, um, dois, três, quatro e cinco. 𝑦 igual 𝑥 mais zero interseta o eixo O𝑦 aqui em zero, 𝑦 igual 𝑥 mais um interseta o eixo O𝑦 aqui em um, 𝑦 igual a 𝑥 mais dois interseta o eixo O𝑦 aqui em dois e sem surpresas 𝑦 igual a 𝑥 mais três, quatro e cinco interseta o eixo O𝑦 aqui em três, quatro e cinco. Portanto, este segundo termo aqui, o número positivo por si só ou o número negativo por si só, dir-nos-á onde esta reta intersetará o eixo O𝑦.

Ok, vamos dar uma olhadela nalgumas retas quando subtraímos um número em vez de adicionar um número no final. Então, 𝑦 igual a 𝑥 mais zero, 𝑥 menos um, 𝑥 menos dois e assim por diante até 𝑥 menos cinco. Então é assim que estas retas se parecem. Lembra-te, novamente, de que todas significam um vezes 𝑥. Portanto, o declive da reta é um. Todas têm o mesmo declive; portanto, são paralelas. E o que é diferente em todas estas retas é o número que estamos a adicionar no fim e que nos diz onde interseta o eixo O𝑦.

Então agora sabemos como funcionam as equações de retas; conhecemos as regras. Podemos representar facilmente gráficos lineares a partir das equações sem precisar de fazer primeiro uma tabela de valores. Portanto, precisamos de primeiro representar uma interseção com O𝑦; é menos três, então está aqui. E, à medida que aumenta a minha coordenada em 𝑥, a minha coordenada em 𝑦 aumenta em dois porque tenho dois positivo à frente do 𝑥. Então, quando eu aumentar a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a minha coordenada em 𝑦 aumentará duas, aumento a coordenada em 𝑥 um, a coordenada em 𝑦 aumentará em dois. E se eu começar a diminuir a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 fará a coisa oposta; vai descer duas unidades. Assim, à medida que diminuo a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 diminui duas, diminui uma unidade, diminui duas e assim por diante. Então, só tenho que juntar tudo isto. E aqui está a minha reta. Portanto, lembra-te de que o número à frente do 𝑥 indica o declive da reta. Se for positivo, é uma reta crescente. Se foi negativo, será uma reta decrescente. Portanto, é uma pequena verificação que precisas de aprender e recordar, e o número no fim indica onde interseta o eixo O𝑦. Assim, menos três; está a intersetar o eixo O𝑦 em menos três.

Agora, vamos traçar 𝑦 igual a um e meio 𝑥 mais dois. Então aqui é onde interseta o eixo 𝑦. E esse coeficiente de 𝑥 diz-nos o declive do gráfico. Sempre que aumento a coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 aumenta um e meio. Ou para facilitar com números inteiros fazendo o dobro destes, se eu aumentar a coordenada em 𝑥 duas unidades — o dobro, então a coordenada em 𝑦 aumentará três — o dobro. Então, aumentando a coordenada em 𝑥 duas unidades, a coordenada em 𝑦 aumenta três. Aumentando a coordenada em 𝑥 dois, a coordenada em 𝑦 aumenta três e assim por diante. E da mesma forma, voltando, se eu diminuir a coordenada em 𝑥 dois, a coordenada em 𝑦 diminuirá três, diminuo a coordenada em 𝑥 dois, a coordenada em 𝑦 vai na direção oposta descer três e assim por diante. E juntando os pontos, aqui está a nossa reta. O declive era um número positivo; o coeficiente de 𝑥 era um número positivo. Então, sabemos que deve ser uma reta crescente, que é; então isso é bom. E interseta o eixo O𝑦 em dois positivo, que o faz; então isso é bom.

Agora vamos representar 𝑦 igual a menos 𝑥 mais cinco. Então, olhando para menos 𝑥, lembra-te de que isto significa menos um 𝑥. Portanto, o nosso declive é menos um. Sempre que eu aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a minha coordenada em 𝑦 diminui uma. Agora, o número sozinho é mais cinco. Portanto, interseta o eixo O𝑦 em cinco; a interseção é cinco. Então, vamos representar esta interseção ali. E sempre que aumento a coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 diminui uma, aumenta 𝑥 um, a coordenada em 𝑦 diminui um. E vamos continuar com este padrão para obter estes pontos e depois retroceder. Sempre que diminuo a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 vai subir uma unidade; o oposto no lado negativo, vai subir um. Diminuo a minha coordenada em 𝑥 um, a coordenada em 𝑦 aumenta um e assim por diante. E juntando estes pontos, aqui está a minha reta. Lembra-te de intersetar o eixo O𝑦 em cinco. E é um declive negativo, então é decrescente. Sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a coordenada em 𝑦 diminui um; é menos um 𝑥, que corresponde ao meu gráfico.

Agora, o gráfico 𝑦 mais 𝑥 é igual a dois. Bem, temos um pequeno problema aqui, porque esta não está exatamente na forma certa. Não está na nossa forma 𝑦 igual a algo vezes 𝑥 mais outro número. Então, o que vou fazer é subtrair 𝑥 de ambos os membros da minha equação, o que me dá 𝑦 mais 𝑥 menos 𝑥 primeiro membro e dois menos 𝑥 no segundo membro. Então, se eu começar com positivo 𝑥 e depois tirar 𝑥, estas duas coisas vão anular-se. Já tenho 𝑦 no primeiro membro da minha equação. Agora, no segundo membro, tenho dois menos 𝑥; agora, não importa se digo dois menos 𝑥, ou se começo com menos 𝑥 e depois adiciono dois. Lembra-te de que este dois sozinho é mesmo dois positivo. E nesta forma, é realmente fácil reconhecer que o menos 𝑥 significa menos um 𝑥. Portanto, o declive é menos um. E que mais dois sozinho aqui diz-nos que estamos a intersetar o eixo O𝑦 em dois positivo. Então, posso coloca-lo no gráfico. Aqui vamos nós, interseto o eixo O𝑦 em dois positivo e, sempre que aumentar a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 diminuirá uma unidade. Então, estes são os pontos que irás gerar. E quando os juntares, é assim que ficarão.

Agora também vale a pena notar que, neste momento, eu desenhei todas estas pequenas retas alaranjadas e mostrei que o aumento de 𝑥 em uma unidade, a coordenada em 𝑦 diminui uma unidade, realmente não precisas de fazer isto. Então, só precisas de representar os pontos. Estou apenas a colocá-los na página para que possas vê-los. Isto torna claro e agradável o que estamos a fazer — como estamos a contar isto, mas normalmente não desenharia estas retas alaranjadas ao representar estes gráficos. Agora, o principal ponto de aprendizagem deste exemplo foi o facto de que, às vezes, temos que reorganizar a nossa equação para obter a forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, o que facilita muito o esboço.

Vamos fazer mais alguns exemplos. Portanto, para este, eu tenho 𝑥 mais 𝑦 mais três igual a zero. Vou ter que reorganizar um pouco mais. Então, primeiro, vou subtrair 𝑥 dos dois membros. E quando o faço, tenho 𝑥 e subtraio 𝑥 no primeiro membro, pelo que posso anulá-los. E no segundo membro, tenho zero menos 𝑥. Bem, isto é apenas menos 𝑥. Então, tenho 𝑦 mais três igual a menos 𝑥, ainda não é a forma certa. Então, preciso de subtrair três aos dois membros. E quando o faço no primeiro membro, tenho 𝑦 adiciona três e subtrai três. Então, se tiver que fazer três menos três, isto é nada; então estes dois termos aqui são anulados. Então, tenho 𝑦 igual a menos 𝑥 menos três. Ótimo, isto agora está na minha forma 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏. E menos 𝑥 é o mesmo que menos um 𝑥, então o nosso declive é menos um. Então, interseta o eixo O𝑦 em menos três é assim. E sem fazer todas as retas zigue-zaguearem por todo o lado, podemos ver que aumentar a nossa coordenada em 𝑥 diminui a nossa coordenada em 𝑦 uma unidade, sai com estes pontos que ficam assim quando os uno. Portanto, esta é a equação 𝑥 mais 𝑦 mais três é igual a zero, que eu reorganizei para 𝑦 igual a menos 𝑥 menos três para poder rapidamente ver qual era o declive, menos um, e onde a interseção com O𝑦 era, menos três.

Portanto, a grande lição deste exemplo é que às vezes precisamos de reorganizar a nossa equação para colocá-la na forma 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏 pelo que podemos calcular facilmente o declive e a interseção. Portanto, para resumir, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 ou 𝑚𝑥 mais 𝑐 é a forma geral da equação da reta. O coeficiente de 𝑥 é o declive, o que significa que quando aumentar a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 aumentará em qualquer valor que seja este 𝑚 — seja positivo ou negativo. E o valor de 𝑏 indica a coordenada em 𝑦 do ponto na reta que interseta o eixo O𝑦. Se o valor de 𝑚 for positivo, teremos uma reta crescente com esta aparência. E se for negativo, teremos uma reta decrescente como esta. Às vezes, precisamos de reorganizar a equação para obter a forma 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏 e, portanto, o declive e onde interseta o eixo O𝑦. E, por fim, lembra-te de que nem todas as equações estão reorganizadas na forma 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏. Nem todas as funções representam gráficos de retas.

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