Video Transcript
Neste vídeo, vamos explorar a forma geral da equação de uma função de linha reta: 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. Agora, dependendo de onde você mora, você pode ter visto isso escrito como 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Bem, isso significa a mesma coisa. Mas alguma faísca brilhante achou que seria uma boa ideia usar a letra “𝑐” em vez da letra “𝑏” para representar o valor da coordenada do ponto que corta o eixo 𝑦. Agora você acha que isso tornará mais fácil lembrar qual valor diz onde a reta corta o eixo 𝑦 - 𝑐 significa corte. Mas depois de muitos anos ensinando em lugares onde eles usam 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐 em vez de 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, acredite em mim, isso não funciona. Você também pode usar 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. De qualquer forma, qualquer que seja a versão da fórmula que você use, essa é a grande ideia que veremos neste vídeo.
Então, vamos ver alguns gráficos primeiro. Vamos desenhar 𝑦 igual a 𝑥. Bem, 𝑦 igual a 𝑥 também pode ser escrito como 𝑦 igual a um 𝑥 ou 𝑦 igual a uma vez 𝑥. Então, qualquer que seja a coordenada 𝑥 que dermos, nós apenas multiplicamos por um e essa também será a coordenada 𝑦. Portanto, temos uma série de pontos que têm exatamente as mesmas coordenadas 𝑥 e 𝑦. Então, por exemplo, se minha coordenada 𝑥 é zero, minha coordenada 𝑦 também seria zero; se minha coordenada 𝑥 é cinco, minha coordenada 𝑦 também é cinco; ou se minha coordenada 𝑥 for menos sete, a coordenada 𝑦 também seria menos sete. E isso nos leva a uma série de pontos e muitos pontos entre eles que se parecem com este no gráfico. E quando eu os uno, eles se parecem com isso, dando o gráfico da reta 𝑦 igual a 𝑥.
Agora vamos desenhar a reta 𝑦 igual a dois 𝑥. E para este, tivemos que pegar a coordenada 𝑥 e multiplicá-la por dois para obter a coordenada 𝑦. Então, se nossa coordenada 𝑥 fosse zero, multiplicaríamos isso por dois e também obteríamos zero. E se a coordenada 𝑥 fosse três, multiplicaríamos isso por dois e obteríamos seis e assim por diante. Então nosso gráfico ficaria assim.
E da mesma forma, podemos traçar 𝑦 é igual a três 𝑥. Agora já acho que vamos desenhar dois- vamos desenhar 𝑦 é igual a meio 𝑥 e 𝑦 é igual a zero 𝑥. Bem, claramente 𝑦 é igual a zero 𝑥 é apenas 𝑦 igual a zero. Então a coordenada 𝑦 sempre será zero nesse caso. Então, há 𝑦 igual a meio 𝑥 e podemos ver que a coordenada 𝑥 é dez neste ponto e nossa coordenada 𝑦 é cinco. Portanto, a coordenada 𝑦 é metade da coordenada 𝑥 e isso é verdade para todas as coordenadas dessa reta. E há 𝑦 igual a zero 𝑥, onde a coordenada 𝑦 é sempre zero.
Então agora nós traçamos todas essas retas juntas. O que você deve notar é que o multiplicador do 𝑥 nos diz o quão íngreme essa reta será. Nós temos uma série de retas que começam horizontais e ficam mais íngremes e mais íngremes à medida que o multiplicador de 𝑥 fica maior. Vamos escolher um ponto em uma dessas retas e aumentar nossa coordenada 𝑥 em um. Agora, quando fazemos isso, a coordenada 𝑦 correspondente na reta subiu pela metade e veja que é o multiplicador de 𝑥. Quando eu olho para a reta 𝑦 é igual a um 𝑥 se eu pegar um ponto na reta, aumente a coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 correspondente se eu voltar para a reta também aumentou em um. Se eu fizer o mesmo na reta 𝑦 igual a dois 𝑥, aumente a coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 correspondente para voltar à reta sobe em dois e esse é o multiplicador de 𝑥.
Portanto, para qualquer linha reta neste formato 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, então 𝑦 é igual a um número vezes 𝑥 mais ou menos outro número; Quero dizer, no nosso caso, os números são mais zero, de modo que os números 𝑏 ou 𝑐 no final é zero, qualquer reta nesse formato o multiplicador de 𝑥 informa sobre a inclinação da reta - quão íngreme ou rasa é: é horizontal? ou está ficando cada vez mais vertical? Mas o próprio número diz especificamente quanto a coordenada 𝑦 mudará se eu aumentar minha coordenada 𝑥 em um em qualquer ponto dessa reta.
Certo, vamos passar por esse exercício novamente. Mas desta vez nossos multiplicadores de 𝑥 serão números negativos. Então vamos fazer zero 𝑥, menos um meio 𝑥, menos um 𝑥, menos dois 𝑥 e menos três 𝑥. Então, 𝑦 igual a zero 𝑥 ainda é essa reta horizontal. E para 𝑦 igual a menos um meio 𝑥, a coordenada 𝑦 é menos um meio vezes a coordenada 𝑥. Então, por exemplo, quando a coordenada 𝑥 é cinco, a coordenada 𝑦 é menos um meio vezes isso. Então são menos dois vírgula cinco. Então você pode ver este ponto na reta aqui.
Agora também podemos representar graficamente 𝑦 igual a menos um 𝑥 ou apenas menos 𝑥, e 𝑦 igual a menos dois 𝑥 e 𝑦 igual a menos três 𝑥. Agora, novamente, 𝑦 é igual a zero 𝑥. Dissemos que era uma reta horizontal e você verá que à medida que esse número fica maior e mais negativo, a reta fica mais íngreme. Mas, em vez de ir do canto inferior esquerdo para o canto superior direito, subindo, está indo na outra direção. Vai do canto superior esquerdo para o canto inferior direito; está indo para onde chamaríamos ladeira abaixo. Portanto, o número no multiplicador de 𝑥 nos diz sobre a inclinação dessa reta, mas o sinal desse número também nos dá algumas informações sobre a inclinação. Se for negativa, está indo nessa direção descendente, da esquerda para a direita. Se for positiva, está indo nessa direção ascendente à medida que aumentamos 𝑥 da parte inferior esquerda para a parte superior direita.
Agora, como toda vez que eu aumento minha coordenada 𝑥 em um em uma determinada reta, a coordenada 𝑦 sempre muda na mesma proporção; é isso que a torna uma linha reta. Então, na reta 𝑦 é igual a menos três 𝑥 se eu começar aqui e aumentar a coordenada 𝑥 em um, para voltar a essa reta eu tenho que diminuir a coordenada 𝑦 em três. E a mesma coisa é verdade, não importa onde eu comece na linha reta. E olhando para 𝑦 é igual a menos um meio 𝑥, a mesma coisa é verdade. Todas as vezes, não importa onde eu comece nessa reta, se eu aumentar minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 diminui na mesma quantidade - menos a metade neste caso. Então, seja daqui ou daqui ou daqui ou mesmo daqui, a inclinação dessa reta é sempre a mesma, em todos os lugares da reta.
Bem, agora vamos traçar algumas retas diferentes: 𝑦 é igual a 𝑥 mais zero, 𝑦 é igual a 𝑥 mais um, 𝑥 mais dois, 𝑥 mais três, 𝑥 mais quatro e 𝑥 mais cinco. E você pode fazer isso usando algum software ou você pode fazer isso usando tabelas de valores. Mas eu vou fazer isso por você aqui; o que fazemos é pegar nossa coordenada 𝑥 e adicionar algo a ela. Agora, dependendo de qual equação estamos usando, vamos adicionar um ou nada e dois ou três ou quatro ou cinco. Então, se eu pegar minha coordenada 𝑥 e não adicionar nada a ela para obter minha coordenada 𝑦, isso significa que todas as minhas coordenadas 𝑥 e 𝑦 são as mesmas. Então esta é a reta que temos. Se eu pegar minha coordenada 𝑥 e adicionar um a ela o tempo todo, então esta é a reta que eu recebo. Veja quando minha coordenada 𝑥 é zero, zero mais um é um, então minha coordenada 𝑦 será um; então este é o ponto que eu vou entender. Se minha coordenada 𝑥 é quatro, quatro mais um são cinco, então cinco será a coordenada 𝑦 que eu obtenho. Então essa é a reta 𝑦 igual a 𝑥 mais um. Agora vou traçar 𝑥 mais dois, 𝑥 mais três, 𝑥 mais quatro e 𝑥 mais cinco. E aqui estão as retas que eu recebo. Agora, isso não é muito surpreendente, porque olhe que todos eles têm o mesmo multiplicador de 𝑥. Nós não tínhamos nada na frente dele; então é tudo uma vez 𝑥. Portanto, a inclinação dessas retas deve ser a mesma. Cada vez que eu aumento minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 sobe em um. Elas são retas paralelas porque todas têm a mesma inclinação de um.
Mas agora vamos ver essa outra coisa: o mais 𝑏. Estamos adicionando zero, um, dois, três, quatro e cinco. 𝑦 é igual a 𝑥 mais zero corta o eixo 𝑦 aqui em zero, 𝑦 é igual a 𝑥 mais um corta o eixo 𝑦 aqui em um, 𝑦 é igual a 𝑥 mais dois corta o eixo 𝑦 aqui em dois e sem surpresas 𝑦 é igual a 𝑥 mais três , quatro e cinco cortam o eixo 𝑦 aqui em três, quatro e cinco. Portanto, este segundo termo aqui, o número positivo por si só ou o número negativo por si só, nos dirá onde essa reta vai cortar o eixo 𝑦.
Ok, vamos dar uma olhada em algumas retas, então, quando estamos subtraindo um número em vez de adicionar um número no final. Então, 𝑦 é igual a 𝑥 mais zero, 𝑥 menos um, 𝑥 menos dois e assim por diante até 𝑥 menos cinco. Então é assim que essas retas se parecem. Lembre-se novamente de que todas elas significam uma vez 𝑥. Portanto, a inclinação da reta é um. Todos elas têm a mesma inclinação; portanto, elas são paralelas. E a coisa que é diferente sobre todas essas retas é o número que estamos adicionando no final e que nos diz onde corta o eixo 𝑦.
Então agora sabemos como funcionam as equações de retas; nós conhecemos as regras. Podemos traçar facilmente gráficos lineares a partir das equações sem ter que fazer uma tabela de valores primeiro. Então, primeiro precisamos traçar um 𝑦 interceptado; é menos três, então está aqui. E então, conforme eu aumento minha coordenada 𝑥, minha coordenada 𝑦 está aumentando em dois porque eu tenho um dois positivo na frente do 𝑥. Então, à medida que eu vou aumentar minha coordenada 𝑥 em um, minha coordenada 𝑦 vai subir em dois, aumentar a coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 sobe em dois. E se eu começar a diminuir minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 fará o oposto; vai descer por volta de dois. Então, conforme eu diminuo minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 diminui em dois, diminui em um, diminui em dois e assim por diante. Então eu só tenho que juntar tudo isso. E aqui está minha reta. Então lembre-se de que o número na frente do 𝑥 nos diz a inclinação da reta. Se for positivo, é uma reta ascendente. Se for negativo, será uma reta descendente. Então, essa é uma pequena verificação que você precisa aprender e lembrar e o número no final informa onde corta o eixo 𝑦. Então, menos três; está cortando o eixo 𝑦 em menos três.
Agora vamos desenhar 𝑦 é igual a um meio 𝑥 mais dois. Então, aqui é onde ela corta o eixo 𝑦. E esse multiplicador de 𝑥 nos diz a inclinação do gráfico. Cada vez que eu aumento a coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 sobe em um e meio. Ou para tornar mais fácil com números inteiros dobrando-os, se eu aumentar a coordenada 𝑥 em dois-isso é o dobro, então a coordenada 𝑦 sobe em três-isso é o dobro. Portanto, aumentando a coordenada 𝑥 em dois, a coordenada 𝑦 aumenta em três. Aumentando a coordenada 𝑥 em dois, a coordenada 𝑦 aumenta em três e assim por diante. E da mesma forma, voltando, se eu diminuir a coordenada 𝑥 em dois, a coordenada 𝑦 vai diminuir em três, diminuir a coordenada 𝑥 em dois, a coordenada 𝑦 vai na direção oposta para baixo em três, e assim por diante. E juntando os pontos, aí está a nossa reta. A inclinação era um número positivo; o multiplicador de 𝑥 era um número positivo. Portanto, sabemos que deve ser uma reta ascendente, o que é verdade; então isso é bom. E corta o eixo 𝑦 em dois positivos, o que acontece; então isso é bom.
Agora vamos desenhar 𝑦 igual a menos 𝑥 mais cinco. Então, olhando para menos 𝑥, lembre-se de que isso significa menos 𝑥. Então nossa inclinação é menos um. Cada vez que eu aumento minha coordenada 𝑥 em um, minha coordenada 𝑦 diminui em um. Agora, o número por si só é cinco positivo. Então, isso corta o eixo 𝑦 em cinco positivos; a interceptação é cinco. Então, vamos traçar essa interceptação lá. E então toda vez que eu aumento a coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 diminui em um, aumento o 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 diminui em um. E vamos continuar com esse padrão para obter esses pontos e depois voltar. Cada vez que eu diminuo minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 sobe em um; o oposto do lado negativo, vai subir um. Diminuir minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 aumenta em um e assim por diante. E juntando esses pontos, aí está a minha reta. Lembre-se de cortar o eixo 𝑦 em cinco yup. E é uma inclinação negativa, então é uma inclinação em declive. Cada vez que eu aumento minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 diminui em um; isso é menos um 𝑥, o que corresponde ao meu gráfico.
Agora vamos desenhar 𝑦 mais 𝑥 é igual a dois. Bem, temos um pequeno problema aqui porque não está exatamente neste formato. Não está em nosso 𝑦 igual a algo vezes 𝑥 mais outro formato de número. Então, o que vou fazer é subtrair 𝑥 de ambos os lados da minha equação, o que me dá 𝑦 mais 𝑥 menos 𝑥 no lado esquerdo e dois menos 𝑥 no lado direito. Então, se eu começar com 𝑥 positivo e depois tirar 𝑥, essas duas coisas vão se anular. Então eu só tenho 𝑦 no lado esquerdo da minha equação. Agora, do lado direito, tenho dois menos 𝑥; agora não importa se eu digo dois menos 𝑥 ou se eu começo com menos 𝑥 e depois adiciono dois a ele. Lembre-se de que esse dois por si só é realmente um dois positivo. E neste formato, é realmente fácil reconhecer que o menos 𝑥 significa menos um 𝑥. Então a inclinação é menos um. E isso mais dois aqui nos diz que estamos cortando o eixo 𝑦 em dois positivos. Então eu posso colocar isso no gráfico. Aqui vamos nós, cortamos o eixo 𝑦 em dois positivos e, em seguida, toda vez que eu aumento minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 diminui em um. Então, esses são os pontos que você vai gerar. E quando você juntar os pontos, é assim que eles vão parecer.
Agora, também vale a pena notar que neste momento eu tenho desenhado todas essas pequenas retas laranja e mostrando que você sabe que aumenta 𝑥 por um a coordenada 𝑦 desce por um, você realmente não precisa estar fazendo isso. Então você só precisa traçar os pontos. Então, estou apenas colocando-os na página para que você possa vê-los. Isso deixa claro o que estamos fazendo - como estamos contando isso, mas você normalmente não desenharia essas retas laranja quando estiver desenhando esses gráficos. Agora, o principal ponto de aprendizado para este exemplo foi o fato de que às vezes temos que reorganizar nossa equação para obter o formato 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, o que torna muito mais fácil para desenhar.
Vamos fazer mais alguns exemplos então.
Então, para este, eu tenho 𝑥 mais 𝑦 mais três é igual a zero. Eu vou ter que reorganizar um pouco mais. Então, primeiro de tudo, vou subtrair 𝑥 de ambos os lados. E quando eu faço isso, eu tenho 𝑥 e estou subtraindo 𝑥 do lado esquerdo, então eu posso cancelar esses dois. E do lado direito, eu tenho zero menos 𝑥. Bem, isso é apenas menos 𝑥. Então eu tenho 𝑦 mais três é igual a menos 𝑥, ainda não é o formato certo. Então eu preciso subtrair três de ambos os lados. E quando eu faço isso no lado esquerdo, eu tenho 𝑦 mais três menos três. Então, se eu tiver que fazer três menos três, isso não é nada; então esses dois termos aqui se cancelam. Então eu tenho 𝑦 é igual a menos 𝑥 menos três. Ótimo, agora está no meu formato 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. E menos 𝑥 é o mesmo que menos um 𝑥, então nossa inclinação é menos um. Então, cortar o eixo 𝑦 em menos três se parece com isso. E sem fazer todas as retas em ziguezague por todo o lugar, podemos ver que aumentar nossa coordenada 𝑥 diminui nossa coordenada 𝑦 em um, fica com esses pontos que se parecem com isso quando eu os uno. Então essa é a equação 𝑥 mais 𝑦 mais três é igual a zero, que eu rearranjei em 𝑦 igual a menos 𝑥 menos três para poder ver rapidamente qual era a inclinação, menos um, e onde o 𝑦 interceptado estava, menos três.
Portanto, a grande lição deste exemplo é que às vezes precisamos reorganizar nossa equação para colocá-la no formato 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 para que possamos calcular facilmente a inclinação e a interceptação.
Então, para resumir, 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 ou 𝑚𝑥 mais 𝑐 é a forma geral da equação da reta. O multiplicador 𝑥 é a inclinação, o que significa que quando eu aumento minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 aumentará por qualquer que seja o valor de 𝑚 - seja positivo ou negativo. E o valor de 𝑏 nos diz a coordenada 𝑦 do ponto na reta que corta o eixo 𝑦. Se o valor de 𝑚 for positivo, teremos uma reta ascendente parecida com esta. E se for negativo, teremos uma reta em declive como essa. Às vezes, precisamos reorganizar a equação para obter o formato 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 e, portanto, a inclinação e onde corta o eixo 𝑦. E, por último, lembre-se de que nem todas as equações são reorganizadas no formato 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. Nem todas as funções representam gráficos de linhas retas.
