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Vídeo da aula: Intervalos Mathematics

Neste vídeo, aprenderemos como determinar intervalos limitados e ilimitados.

15:17

Transcrição do vídeo

Nesta aula, aprenderemos como determinar intervalos limitados e ilimitados. Um intervalo é uma maneira de descrever um subconjunto dos números reais. E fazemos isso entre um limite superior e um inferior.

Por exemplo, podemos descrever o conjunto de números positivos 𝑥 que são menores que dois, como a inequação mostrada. O conjunto equivalente em notação de intervalo é representado usando parênteses ou colchetes. Então, se escrevermos 𝑥 é um elemento do intervalo aberto de zero a dois, isso significa que está entre zero e dois, não incluindo zero e dois. Chamamos isso de intervalo limitado, pois tem um limite superior e um inferior.

Então, vamos generalizar isso. Suponha que tenhamos dois números reais 𝑎 e 𝑏, onde 𝑏 é maior que 𝑎. Usar parênteses significa que temos um intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏. E esse é o intervalo entre 𝑎 e 𝑏, mas não incluindo 𝑎 e 𝑏. O que faríamos então se quiséssemos representar a seguinte inequação como um intervalo? Essa inequação nos diz que 𝑥 está entre zero e dois e pode ser igual a zero e dois. Bem, desta vez, usamos os colchetes. E lemos isso como 𝑥 é um elemento do intervalo fechado de zero a dois. Se generalizarmos isso, o intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏 é o intervalo entre 𝑎 e 𝑏, incluindo 𝑎 e 𝑏. É importante notar que podemos misturar e combinar esses parênteses para representar diferentes tipos de intervalos. Vamos demonstrar isso.

Nós mostramos que para números reais 𝑎 e 𝑏, usando os parênteses nos dá o intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏. E isso equivale a dizer o conjunto contendo 𝑥 onde 𝑥 é maior que 𝑎, menor que 𝑏 e um número real. Então, se usarmos colchetes, esse é o intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏. E, neste caso, 𝑥 pode ser maior ou igual a 𝑎 e menor ou igual a 𝑏. Se usarmos um parêntese e um colchete como mostrado, podemos ler isso como o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de 𝑎 a 𝑏. E isso nos diz que estamos interessados no conjunto contendo 𝑥 onde 𝑥 é maior que 𝑎, menor ou igual a 𝑏 e ainda um número real. E, claro, podemos inverter esses parênteses para nos dar o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita.

Agora, essas definições permitem alguns casos interessantes. Considere, por exemplo, o intervalo fechado de 𝑏 a 𝑏. Bem, isso contém todos os números reais que satisfazem a inequação 𝑥 é maior ou igual a 𝑏 e menor que ou igual a 𝑏. Mas esse é apenas o número 𝑏. Portanto, esse intervalo é equivalente ao conjunto contendo o único número 𝑏. De maneira semelhante, o intervalo aberto de 𝑎 a 𝑎 contém todos os números reais, que satisfazem a inequação 𝑥 é maior que 𝑎 e menor que 𝑎. Agora, é claro, não há números maiores e menores que 𝑎. Então, isso envolve o conjunto vazio. Finalmente, se 𝑏 for menor que 𝑎, todos esses intervalos estão vazios.

Vamos agora demonstrar como descrever uma determinada notação de intervalo usando retas numéricas.

Qual das seguintes figuras representa o intervalo aberto à esquerda, e fechado à direita de menos um a zero?

Agora, quando lemos esse intervalo, lemos como aberto à esquerda, e fechado à direita. Então, se dissermos que 𝑥 é um elemento desse intervalo, estamos dizendo que 𝑥 pode ser maior que menos um. Mas também pode ser menor ou igual a zero. Agora, se olharmos para todos os intervalos representados nas retas numéricas, vemos que eles se encontram entre menos um e zero. Para restringir isso ainda mais, vamos nos lembrar do que os pontos ou círculos no final de cada intervalo significam. Se tivermos um ponto aberto ou vazio, isso significa maior que ou menor que. Então, se tivermos um ponto sólido ou fechado, isso significa que precisamos incluir o número que está acima. Portanto, significa menor ou igual a ou maior ou igual a.

Para representar o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos um a zero, precisamos ter um ponto aberto em menos um e um ponto fechado em zero. Olhando para cada uma das retas numéricas, vemos que é a opção (b). Na verdade, vamos percorrer e representar os intervalos para as três retas numéricas restantes.

No exemplo (a), temos um ponto aberto em cada extremidade. Isso significa que temos um intervalo aberto de menos um a zero. Então, na opção (c), estamos olhando para o oposto da opção (b). É fechado à esquerda, e aberto à direita. Finalmente, na opção (d), ambos os nossos pontos estão fechados. Portanto, precisamos incluir menos um e zero em nosso intervalo. É o intervalo fechado de menos um a zero.

Agora demonstramos como representar intervalos em retas numéricas. Em nosso próximo exemplo, vamos considerar como usar a definição dessa notação de intervalo para determinar se um número é um elemento de algum intervalo dado.

Qual das alternativas a seguir é verdadeira? É (A) cinco é um elemento do intervalo aberto da raiz de seis a raiz de 26? Ou (B) cinco não é um elemento do intervalo aberto da raiz de seis à raiz de 26?

Quando lemos essas duas opções, nós as lemos, respectivamente, pois cinco é um elemento e cinco não é um elemento desse intervalo. Em outras palavras, como o intervalo está aberto, na opção (A), estamos dizendo que cinco está entre a raiz de seis e a raiz de 26. E na opção (B), estamos dizendo que não está entre esses dois números. Para identificar o que é verdade, poderíamos usar uma calculadora para calcular a raiz de seis e a raiz de 26.

No entanto, vamos usar um método que não usa calculadora. Este método envolve citar os seis primeiros números quadrados. Um ao quadrado é um, dois ao quadrado é quatro, até seis ao quadrado é 36. Então, nós os comparamos com o primeiro número em cada intervalo. Como tirar a raiz quadrada é a operação inversa de elevar um número ao quadrado, podemos dizer que a raiz quadrada de seis deve estar entre a raiz quadrada de quatro e a raiz quadrada de nove. Em outras palavras, a raiz quadrada de seis está entre dois e três. Então, olhamos para o segundo número em nosso intervalo, a raiz quadrada de 26. A raiz quadrada de 26 deve estar entre a raiz quadrada de 25 e a raiz quadrada de 36. Em outras palavras, a raiz quadrada de 26 é maior que cinco e menor que seis.

Agora, de fato, mostramos que cinco é menor que a raiz quadrada de 26. E, claro, como cinco é maior que três, por definição, cinco também devem ser maior que a raiz quadrada de seis. Se representarmos isso em notação de inequação, podemos dizer que cinco é maior que a raiz de seis e menor que a raiz de 26 e que, por sua vez, significa que podemos usar a notação de intervalo para dizer que cinco é um elemento do intervalo aberto da raiz de seis à raiz de 26. A resposta correta é (A).

Agora, até este ponto, analisamos apenas intervalos limitados, em outras palavras, intervalos que tinham um limite superior e um inferior. Vamos agora considerar o que queremos dizer quando falamos sobre um intervalo ilimitado.

Dizemos que um intervalo é ilimitado ou ilimitado se não tiver limites superior e inferior. Então, por exemplo, queríamos representar a inequação 𝑥 é maior ou igual a 𝑎 usando a notação de intervalo. Este é um intervalo ilimitado. Ele tem um limite inferior apenas. Isso nos diz que 𝑥 pode ser maior ou igual a 𝑎. Mas isso poderia ir até ∞ positivo. Como não podemos definir facilmente ∞ como um número real, temos que usar parênteses para representar o final do intervalo. Portanto, se 𝑥 é maior ou igual a 𝑎, isso é equivalente a dizer que 𝑥 é um elemento do intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de 𝑎 a ∞. E, claro, podemos usar parênteses para representar uma inequação estrita. Então, 𝑥 é menor que 𝑏 seria equivalente a dizer que 𝑥 é um elemento do intervalo aberto de menos ∞ a 𝑏.

Com isso em mente, vamos ver como representar um determinado conjunto como um intervalo ilimitado.

Expresse o seguinte conjunto usando a notação de intervalo. 𝑋 é igual ao conjunto contendo 𝑥 minúsculo onde 𝑥 é maior ou igual a dois e 𝑥 é um número real.

Primeiro, sabemos que como 𝑥 pode ser maior ou igual a dois, mas não tem limite superior, vamos representar isso como um intervalo ilimitado. Não tem limite superior. Portanto, podemos escrever o limite superior como ∞ positivo. Lembre-se, é claro, que quando o fazemos, não podemos definir ou quantificar ∞ positivo facilmente. E assim, usamos um parêntese para representar um intervalo aberto nesse ponto. Queremos, no entanto, incluir o número dois. E assim representamos nossa resposta como um intervalo fechado à esquerda e aberturo à direita. Especificamente, o conjunto 𝑋 usando a notação de intervalo é representado pelo intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de dois a ∞.

Agora que demonstramos como representar um conjunto ilimitado usando a notação de intervalo, vamos determinar qual de um grupo de afirmações sobre um número é verdadeira.

Qual das alternativas a seguir é verdadeira? É (A) a raiz de 49 é um elemento do intervalo aberto de cinco a ∞? É (B) a raiz de 49 não é um elemento desse intervalo aberto? É (C) a raiz de 49 é um subconjunto desse intervalo? Ou (D) a raiz de 49 não é um subconjunto desse intervalo.

Agora, quando lemos as opções (C) e (D), dissemos que isso significa que é um subconjunto ou não é um subconjunto desse intervalo, respectivamente. Agora, é claro, para que essa notação seja válida, tanto a raiz de 49 quanto o intervalo aberto de cinco a ∞ devem ser conjuntos. Mas é claro que a raiz quadrada de 49 não é um conjunto. E isso significa que podemos desconsiderar instantaneamente as opções (C) e (D).

Para determinar qual de (A) e (B) é verdadeiro, vamos calcular a raiz quadrada de 49. Agora, este é um que devemos saber de cor. A raiz quadrada de 49 é igual a sete. Então, podemos notar que o limite inferior de cada um dos nossos intervalos é cinco. E sabemos que sete é maior que cinco. Isso, por sua vez, significa que a raiz quadrada de 49 deve ser maior que cinco. Mas é claro, são apenas sete. Definitivamente, não é tão grande quanto ∞. Portanto, podemos dizer que a raiz quadrada de 49 é maior que cinco e menor que ∞. E isso equivale a dizer que a raiz quadrada de 49 é um elemento do intervalo aberto de cinco a ∞. Portanto, a resposta correta é (A).

Agora, como os intervalos são conjuntos, podemos realmente realizar operações de conjunto nesses intervalos. Portanto, podemos usar a união de intervalos para representar números reais em qualquer um dos intervalos. Podemos encontrar a intersecção dos intervalos. Esses são os números reais em ambos. Podemos encontrar a diferença entre dois intervalos, o que remove elementos de um intervalo de outro. E, finalmente, podemos pegar o complemento de um intervalo. E isso representa todos os números reais que não estão nesse intervalo. Vamos demonstrar isso com um exemplo.

Qual das seguintes expressões representa o conjunto mostrado na reta numérica? É (A) o conjunto de números reais menos o intervalo aberto de menos quatro para um? (B) O conjunto de números reais menos o intervalo fechado de menos quatro a um. É (C) o conjunto de números reais menos o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de menos quatro para um? Ou (D) o conjunto de números reais menos o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos quatro a um. Ou é (E) a união do intervalo aberto de menos ∞ para menos quatro e o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de um a ∞?

Bem, na verdade, existem várias maneiras de responder a esse problema. Vamos começar identificando as regiões em que estamos interessados em nosso diagrama. Suponha que digamos que 𝑥 está no conjunto mostrado na reta numérica. Podemos dizer que 𝑥 deve ser menor ou igual a menos quatro, pois esse ponto é sólido. Também podemos dizer que 𝑥 deve ser maior que um, pois esse ponto está aberto. Agora, se representarmos cada um deles individualmente usando a notação de intervalo, esse é o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos ∞ a quatro e o intervalo aberto de um a ∞.

Para mostrar que 𝑥 pode estar em qualquer um desses intervalos, usamos a notação de união. Então, uma maneira de representar isso é dizer que é a união do intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de menos ∞ a quatro e o intervalo aberto de um a ∞. E, é claro, isso nos permite desconsiderar a opção (E), pois os colchetes estão ao contrário.

Vamos agora considerar o que esse conjunto não é. Como 𝑥 pode ser menor ou igual a menos quatro e maior que um, também não pode ser maior que menos quatro e menor que ou igual a um. Em outras palavras, não está no intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos quatro a um, que podemos representar usando a notação de complemento, como mostrado. Mas é claro que, como isso equivale a dizer que é um conjunto de números reais excluindo esse conjunto, podemos representar isso equivalentemente como o conjunto de números reais menos o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos quatro para um. E essa é a opção (D).

Agora, podemos generalizar o que acabamos de mostrar. Em outras palavras, se 𝐼 é algum intervalo, o complemento de 𝐼 é simplesmente o conjunto de números reais menos esse intervalo 𝐼. Agora, é claro, isso é verdade para qualquer subconjunto de ℝ, não apenas intervalos. Mas é útil gravar esse resultado na memória.

Vamos agora recapitular os pontos principais desta aula.

Nesta aula, vimos que para números reais 𝑎 e 𝑏, podemos definir intervalos usando colchetes e parênteses. Vimos que podemos misturar e combinar esses parênteses e colchetes, dando intervalos semiabertos ou semifechados. Também vimos que um intervalo é chamado de ilimitado se não tiver um limite superior e um inferior. E podemos usar ∞ negativo e ∞ positivo com parênteses para representá-los. Vimos que podemos usar operações de conjunto, como união, intersecção, diferença e complemento em intervalos, e que, se tivermos algum intervalo 𝐼, o complemento de 𝐼 pode ser escrito equivalentemente como o conjunto de números reais menos 𝐼.

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