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Cada ângulo interior de um polígono é de 179 graus. Quantos lados esse polígono tem?
Então a questão nos diz o tamanho de cada ângulo interior em um polígono. E nos pedem para determinar quantos lados tem. Existem duas abordagens possíveis que consideraremos para essa pergunta. No primeiro método, vamos pensar na soma dos ângulos internos.
Um fato importante sobre polígonos é que a soma de seus ângulos internos pode ser
encontrada multiplicando 180 por 𝑛 menos dois, onde 𝑛 representa o número de lados
no polígono e também é o número de ângulos internos no polígono.
Nesse polígono, todos os ângulos internos são do mesmo tamanho. E, portanto, cada ângulo interior pode ser encontrado dividindo a soma por quantos
existem. Portanto, cada ângulo interno é igual a 180 multiplicado por 𝑛 menos dois sobre
𝑛. Como sabemos o tamanho de cada ângulo interior neste polígono, podemos formar uma
equação que podemos resolver para encontrar o valor de 𝑛.
Nós temos a expressão para cada ângulo interior, 180 multiplicado por 𝑛 menos dois
sobre 𝑛 é igual a 179. Agora, vamos resolver essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por 𝑛. Isto dá 180 multiplicado por 𝑛 menos dois é igual a 179𝑛. Em seguida, vou expandir o parêntese no lado esquerdo da equação. Isto dá 180𝑛 menos 360 é igual a 179𝑛.
Em seguida, adicionarei 360 a ambos os lados. Isto dá 180𝑛 é igual a 179𝑛 mais 360. O passo final é subtrair 179𝑛 de cada lado. Isso resolve a equação e nos diz que 𝑛 é igual a 360. Esse é o nosso primeiro método: considerando a soma dos ângulos internos e, portanto,
uma expressão para o tamanho de cada ângulo interno.
Nosso segundo método vai se concentrar nos ângulos externos. Lembre-se, a relação entre os ângulos interior e exterior de qualquer polígono é que
eles somam 180 graus, porque eles estão em linha reta. Portanto, neste polígono, cada ângulo externo pode ser encontrado subtraindo o ângulo
interno de 179 graus de 180 graus. E assim cada ângulo exterior é igual a um grau.
Agora, um fato-chave sobre os ângulos externos em polígonos regulares, como o
polígono tem todos os seus ângulos internos iguais, é que eles podem ser calculados
dividindo 360 pelo número de lados ou o número de ângulos no polígono, 360 sobre
𝑛. Assim, podemos formar uma equação usando essa expressão e o fato de que sabemos que o
ângulo exterior é de um grau.
Nós temos a equação simples 360 sobre 𝑛 é igual a um. Esta equação pode ser resolvida multiplicando ambos os lados por 𝑛. Isso dá 360 é igual a 𝑛. Então, ambos os métodos nos levam à mesma conclusão, que é o polígono tem 360
lados.
