Lesson Video: Multiplicação de Números Complexos

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Neste vídeo, aprenderemos a ampliar as operações em números complexos para a multiplicação. Começaremos observando como realizar a multiplicação de um número complexo primeiro por números reais e depois por outro número complexo. Em seguida, estenderemos isso para incluir a derivação de uma regra geral para elevar os números complexos ao quadrado e considerar como isso pode nos ajudar a elevar um número complexo a expoentes superiores a dois. Por fim, aprenderemos a aplicar esses processos para nos ajudar a resolver equações.

Se você já estuda números complexos há algum tempo, pode estar ciente de que as operações em números complexos são muito semelhantes, se não às vezes idênticas às operações em expressões algébricas. De fato, multiplicar números complexos é como multiplicar expressões algébricas, exceto que lembramos que a letra 𝑖 não é uma variável. 𝑖 é a solução para a equação 𝑥 ao quadrado é igual a menos um. Isso significa que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um e, de fato, costumamos dizer que 𝑖 é igual à raiz quadrada de menos um.

Então, vamos começar considerando como podemos multiplicar o número complexo da forma 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖 por uma constante. Vamos chamar nossa constante 𝑐, onde 𝑐 é um número real. 𝑐 multiplicado por 𝑧 — escrito simplesmente como 𝑐𝑧 — é exatamente o mesmo que 𝑐 multiplicado por todo o número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖. E adicionamos parênteses para mostrar que esse é o caso.

Lembramos a propriedade distributiva que nos permite multiplicar cada parte do número complexo pelo número real 𝑐. Ao fazer isso, vemos que 𝑐𝑧 é igual a 𝑐𝑎 mais 𝑐𝑏𝑖. E para maior clareza, isso pode ser escrito como 𝑎𝑐 mais 𝑏𝑐𝑖. E isso provavelmente não é surpresa. Isso é exatamente o que esperaríamos se multiplicássemos qualquer expressão algébrica de dois termos por uma constante real.

Vamos agora dar uma olhada em um exemplo de como isso pode funcionar: se 𝑟 é igual a menos cinco mais dois 𝑖 e 𝑠 é igual a menos oito menos dois 𝑖, encontre dois 𝑟 mais três 𝑠.

Aqui, recebemos dois números complexos 𝑟 e 𝑠. Queremos encontrar a soma de dois 𝑟 e três 𝑠. Então vamos dividir o problema e começar a trabalhar dois 𝑟 e três 𝑠 separadamente. Dois 𝑟 são dois multiplicados pelo número complexo menos cinco mais dois 𝑖. Vamos distribuir esses colchetes multiplicando cada parte do número complexo pela constante dois. Dois multiplicados por menos cinco é menos 10 e dois multiplicado por dois 𝑖 é quatro 𝑖. E vemos que dois 𝑟 é igual a menos 10 mais quatro 𝑖.

Agora vamos repetir esse processo para três 𝑠. Desta vez, multiplicamos cada parte do número complexo 𝑠 pela constante três. Três multiplicado por menos oito são menos 24 e três multiplicado por menos dois 𝑖 são menos seis 𝑖. E agora que conhecemos os números complexos dois 𝑟 e três 𝑠, precisamos encontrar a soma deles. Isso é menos 10 mais quatro 𝑖 mais menos 24 menos seis 𝑖.

E lembre-se para adicionar dois números complexos, nós simplesmente adicionamos suas partes reais e adicionamos suas partes imaginárias individualmente. Menos 10 mais menos 24 é menos 34 e quatro 𝑖 mais menos seis 𝑖 é menos dois 𝑖. Assim, para os números complexos dados, dois 𝑟 mais três 𝑠 é igual a menos 34 menos três 𝑖.

Agora está tudo bem e certo. Mas o que seria se realmente estivéssemos multiplicando nossos números complexos por um número puramente imaginário? Já vimos que a propriedade distributiva é realmente útil na multiplicação de números complexos por uma constante real. E, de fato, podemos usar essa propriedade para multiplicar um número complexo por um número puramente imaginário. Esse é um número da forma 𝑐𝑖, onde 𝑐 é um número real e 𝑖 é um número imaginário, a solução para a equação 𝑥 ao quadrado é igual a menos um.

Desta vez, vamos multiplicar um número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖 por 𝑐𝑖. Quando fazemos isso, temos 𝑐𝑖 multiplicamos por 𝑎 mais 𝑏𝑖. 𝑐𝑖 multiplicado por 𝑎 é 𝑐𝑎𝑖 e 𝑐𝑖 multiplicado por 𝑏𝑖 é 𝑐𝑏𝑖 ao quadrado. Mas como 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, podemos escrever isso como menos 𝑐𝑏. E se, em vez disso, escrevermos isso em forma de número complexo, veremos que nosso número complexo multiplicado por um número puramente imaginário é menos 𝑐𝑏 mais 𝑐𝑎𝑖.

Agora nós desenvolvemos uma fórmula para multiplicar um número complexo por um número puramente imaginário. Devemos realmente nos concentrar em aplicar os processos a cada vez, em vez de tentar aprender isso de cor. Aqui, vamos considerar um exemplo de como podemos aplicar esses processos para multiplicar um número complexo por um número puramente imaginário.

Quanto é menos sete 𝑖 multiplicado por menos cinco mais cinco 𝑖?

Nós temos um número complexo menos cinco mais cinco 𝑖 e queremos multiplicá-lo por um número puramente imaginário menos sete 𝑖. E sabemos que multiplicar números complexos é como multiplicar expressões algébricas. Aqui, podemos aplicar a propriedade distributiva para expandir os colchetes. Nós multiplicamos cada parte dentro dos parênteses pelo número do lado de fora. Isso é menos sete 𝑖 multiplicado por menos cinco que é 35𝑖 e menos sete 𝑖 multiplicado por cinco 𝑖 que é menos 35𝑖 ao quadrado.

E aqui, recordamos o fato de que 𝑖 é a solução para a equação 𝑥 ao quadrado igual a menos um tal que 𝑖 ao quadrado deve ser igual a menos um. Então, menos 35𝑖 ao quadrado é o mesmo que menos 35 multiplicado por menos um que é simplesmente 35. E como agora temos um número complexo que é naturalmente o resultado da adição de um número real e um número puramente imaginário, escrevemos como 35 mais 35𝑖.

Agora, como poderíamos esperar, podemos estender essas ideias para multiplicar dois números complexos. E começaremos considerando o produto geral de dois números complexos. Digamos que temos dois números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois de modo que 𝑧 um é igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖 e 𝑧 dois é igual a 𝑐 mais 𝑑𝑖. Seu produto 𝑧 um 𝑧 dois é o produto 𝑎 mais 𝑏𝑖 e 𝑐 mais 𝑑𝑖.

E já vimos que podemos aplicar técnicas algébricas a números complexos. Aqui podemos usar qualquer técnica que desejarmos para multiplicar dois binômios. O método PEIU e o método de grade são dois métodos comuns. Vamos ver o método PEIU.

P significa primeiro. Nós multiplicamos o primeiro termo no primeiro parêntese pelo primeiro termo no segundo parêntese. 𝑎 multiplicado por 𝑐 é simplesmente 𝑎𝑐. E significa exterior. Nós multiplicamos os termos externos e obtemos 𝑎𝑑𝑖. I significa interior. Nós multiplicamos os termos internos e conseguimos 𝑏𝑐𝑖. E U significa último. Nós multiplicamos o último termo em cada parêntese que é 𝑏𝑑𝑖 ao quadrado.

E como 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, podemos escrever essa última parte como menos 𝑏𝑑. E podemos rearranjá-lo um pouco e vemos que os produtos de 𝑧 um e 𝑧 dois são 𝑎𝑐 menos 𝑏𝑑 e mais 𝑎𝑑 mais 𝑏𝑐𝑖. É um número complexo com uma parte real 𝑎𝑐 menos 𝑏𝑑 e uma parte imaginária 𝑎𝑑 mais 𝑏𝑐. Agora, mais uma vez, desenvolvemos uma fórmula para multiplicar um número complexo por outro número complexo. Mas devemos nos concentrar em aplicar os processos de cada vez.

Multiplique menos três mais 𝑖 por dois mais cinco 𝑖.

Multiplicar dois números complexos é como multiplicar dois binômios e podemos usar qualquer técnica de que gostamos. Vamos tentar o método de grade. Dois multiplicado por menos três são menos seis e dois multiplicado por 𝑖 são dois 𝑖. Cinco 𝑖 multiplicado por menos três é menos 15𝑖 e cinco 𝑖 multiplicado por 𝑖 é cinco 𝑖 ao quadrado. E, claro, 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então cinco 𝑖 ao quadrado é cinco multiplicado por menos um que é menos cinco.

Vamos simplificar em um momento agrupando termos semelhantes. Mas atualmente, adicionando cada parte, obtemos menos seis menos cinco mais dois 𝑖 menos 15𝑖. Menos seis menos cinco é menos 11 e dois 𝑖 menos 15𝑖 é menos 13𝑖. Então, quando multiplicamos menos três mais 𝑖 por dois mais cinco 𝑖, obtemos menos 11 menos 13𝑖.

Em nosso próximo exemplo, veremos como estenderemos essas ideias para elevar números complexos ao quadrado: Se 𝑟 for igual a menos dois mais quatro 𝑖 e 𝑠 for igual a oito menos 𝑖, encontre 𝑟 menos 𝑠 tudo ao quadrado.

Nessa pergunta, recebemos dois números complexos e estamos sendo solicitados a encontrar o quadrado da diferença deles, 𝑟 menos 𝑠. Agora, podemos escrever 𝑟 menos 𝑠 ao quadrado como 𝑟 menos 𝑠 multiplicado por 𝑟 menos 𝑠 e expandir esses parênteses normalmente. Quando o fazemos, vemos que temos três partes únicas: 𝑟 ao quadrado, 𝑠 ao quadrado e menos dois 𝑟𝑠. É muito trabalhoso calcularmos cada um desses números complexos.

Em vez disso, encontraremos a diferença entre os termos primeiro e depois os elevamos ao quadrado. 𝑟 menos 𝑠 é menos dois mais quatro 𝑖 menos oito menos 𝑖. E para subtrair números complexos, subtraímos suas partes reais e suas partes imaginárias. Alternativamente, podemos pensar um pouco nisso, em como agrupar termos semelhantes. Antes de fazermos isso, vamos distribuir o segundo vezes os parênteses multiplicando cada parte dentro do parêntese por menos um. Isso dá menos oito mais 𝑖.

Menos dois menos oito é menos 10 e quatro 𝑖 mais um é cinco 𝑖. Então 𝑟 menos 𝑠 é menos 10 mais cinco 𝑖. Isso significa que 𝑟 menos 𝑠 ao quadrado é menos 10 mais cinco 𝑖 ao quadrado. Mas como elevar um número ao quadrado é o mesmo que multiplicá-lo por si mesmo, escrevemos isso como menos 10 mais cinco 𝑖 multiplicado por menos 10 mais cinco 𝑖.

E multiplicar dois números complexos é como multiplicar binômios. Nós podemos usar qualquer técnica que quisermos. Vamos ver o método PEIU. Começaremos multiplicando o primeiro termo no primeiro parêntese pelo primeiro termo no segundo parêntese. Menos 10 multiplicado por menos 10 é 100, multiplicamos os termos externos: menos 10 multiplicado por cinco 𝑖 é menos 50𝑖. E nós obtemos o mesmo se multiplicarmos os dois termos internos.

Por fim, multiplicamos o último termo em cada parêntese. E nós temos 25𝑖 ao quadrado. Mas como 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, podemos escrever isso como 25 multiplicado por menos um, que é menos 25. 100 menos 25 é 75. E menos 50 menos 50 é menos 100. Portanto, obtemos menos 100𝑖. E podemos ver que 𝑟 menos 𝑠 ao quadrado é 75 menos 100𝑖.

Agora que vimos um exemplo de como elevar um número complexo ao quadrado, vamos estender isso e obter a forma geral. Digamos que temos um número complexo 𝑧 na forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. 𝑧 ao quadrado é 𝑎 mais 𝑏𝑖 tudo ao quadrado. Mas sabemos que podemos elevar um número complexo ao quadrado multiplicando-o por ele mesmo e aplicando as mesmas técnicas que usamos para expandir os parênteses.

Nós multiplicamos o primeiro termo em cada parêntese e obtemos 𝑎 ao quadrado. Quando multiplicamos os termos externos, obtemos 𝑎𝑏𝑖. E quando multiplicamos os termos internos, mais uma vez obtemos 𝑎𝑏𝑖. E quando multiplicamos os últimos termos, temos 𝑏 ao quadrado 𝑖 ao quadrado. Mas é claro que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então, este último termo é menos 𝑏 ao quadrado. E vemos que 𝑧 ao quadrado é igual a 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado mais dois 𝑎𝑏𝑖.

E podemos dizer que, em geral, quando elevamos um número complexo ao quadrado 𝑧 na forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, a parte real de 𝑧 ao quadrado é 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado e a parte imaginária é dois 𝑎𝑏. No decorrer deste vídeo, vimos que lembrar a técnica é mais importante do que lembrar da fórmula. Nesse caso, aprender a fórmula para o quadrado de um número complexo pode ser extremamente útil.

Vejamos um exemplo de como isso pode nos ajudar a simplificar um cálculo: Encontre a parte real de sete menos dois 𝑖 tudo ao quadrado.

Aqui, recebemos um número complexo sete menos dois 𝑖 para o qual estamos sendo solicitados a encontrar a parte real de seu quadrado. Poderíamos começar escrevendo sete menos dois 𝑖 ao quadrado como sete menos dois 𝑖 multiplicados por sete menos dois 𝑖 e depois expandindo os parênteses totalmente. E poderíamos usar qualquer técnica para multiplicar binômios. Por exemplo, poderíamos usar o método PEIU.

Nós multiplicamos o primeiro termo no primeiro parêntese pelo primeiro termo no segundo parêntese. Isso é sete multiplicado por sete, que é 49. Nós multiplicamos os termos externos. São sete multiplicado por menos dois 𝑖, que é menos 14𝑖. E obtemos o mesmo número quando multiplicamos os termos internos. Podemos multiplicar o último termo em cada parêntese e obtemos quatro 𝑖 ao quadrado. Mas é claro que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então isso simplifica um pouco para 49 menos 28𝑖 menos quatro, que é 45 menos 28𝑖.

Agora, para um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, sua parte real é 𝑎 e sua parte imaginária é 𝑏. E neste caso, podemos dizer que a parte real do nosso número complexo é 45. Agora, enquanto este método é perfeitamente válido, a quantidade de trabalho é um pouco desnecessária. Em vez disso, vamos relembrar a forma geral para o quadrado de um número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖. É dado pela fórmula 𝑧 ao quadrado é igual a 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado mais dois 𝑎𝑏𝑖.

A parte real é 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado e a parte imaginária é dois 𝑎𝑏. Agora, em nosso número complexo, a parte real é sete; 𝑎 é igual a sete. E a parte imaginária 𝑏 é igual a menos dois. Portanto, podemos dizer que a parte real de 𝑧 ao quadrado é sete ao quadrado menos menos dois ao quadrado ou 49 menos quatro. 49 menos quatro é igual a cinco. E essa é a mesma resposta que resolvemos anteriormente.

As regras que aprendemos para elevar números complexos ao quadrado também podem nos ajudar a encontrar maiores potências desses números: Se 𝑟 é igual a dois mais 𝑖, expresse 𝑟 ao cubo na forma 𝑎 mais 𝑏𝑖.

Vamos começar aqui reescrevendo 𝑟 ao cubo. 𝑟 ao cubo é o mesmo que 𝑟 vezes 𝑟 vezes 𝑟, que é o mesmo que dois mais 𝑖 vezes dois mais 𝑖 vezes dois mais 𝑖. Começaremos multiplicando dois mais 𝑖 por dois mais 𝑖. E poderíamos expandir esses dois parênteses como se expandissem os binômios.

Alternativamente, lembramos que para o número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖, o quadrado desse número complexo é 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado mais dois 𝑎𝑏𝑖. A parte real do nosso número complexo 𝑎 é ​​dois. E a parte imaginária é o coeficiente de 𝑖; é um. Podemos elevar este número ao quadrado, substituindo 𝑎 é igual a dois e B é igual a um nessa fórmula. Nós temos dois ao quadrado menos um ao quadrado mais duas vezes dois vezes um 𝑖 e isso tudo é multiplicado por dois mais 𝑖.

Dois ao quadrado são quatro e um ao quadrado é um. Então, dois ao quadrado menos um ao quadrado é três e duas vezes dois vezes um é quatro. Então temos três mais quatro 𝑖 multiplicado por dois mais 𝑖. E podemos multiplicar esses parênteses usando o método PEIU. Nós multiplicamos o primeiro termo em cada parêntese. Três vezes dois é seis. Nós multiplicamos os termos externos para obter três 𝑖. E para os termos internos, é quatro 𝑖 multiplicado por dois, que é oito 𝑖. Nós então multiplicamos os últimos termos quatro 𝑖 multiplicado por 𝑖 é quatro 𝑖 ao quadrado.

E então, como sabemos que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, quatro 𝑖 ao quadrado torna-se menos quatro. E também sabemos que três 𝑖 mais oito 𝑖 é 11𝑖. Então, vemos que nossa expressão simplifica para dois mais 11𝑖. Então, 𝑟 ao cubo na forma exigida é dois mais 11𝑖.

Agora existem técnicas que existem para simplificar este processo para potências superiores de 𝑧, que aprenderemos à medida que nos tornamos mais confiantes em trabalhar com números complexos. Nosso último exemplo, porém, demonstrará como resolver uma equação usando números complexos.

Resolva a equação 𝑖𝑧 é igual a menos quatro mais três 𝑖.

Normalmente, procuramos aplicar as regras para resolver expressões algébricas. Aqui isso será dividido por 𝑖. Mas há outra técnica que podemos usar. Sabemos que 𝑖 ao quadrado é menos um. Então vamos multiplicar ambos os lados dessa equação por 𝑖. Em seguida, distribuímos os parênteses multiplicando cada termo dentro do parêntese por 𝑖. E como 𝑖 ao quadrado é menos um, obtemos menos 𝑧 é menos quatro 𝑖 menos três 𝑖. Nós vamos multiplicar por menos um e vemos que 𝑧 é igual a três mais quatro 𝑖.

E é sempre bom verificar nossas respostas substituindo-as de volta à equação original: 𝑖 multiplicado por três mais quatro 𝑖 é três 𝑖 mais quatro 𝑖 ao quadrado. E como quatro 𝑖 ao quadrado é quatro multiplicado por menos um, obtemos menos quatro. E isso é claro o mesmo que menos quatro mais três 𝑖.

Neste vídeo, aprendemos que podemos multiplicar dois números complexos usando métodos padrão, como o método de grade ou o método PEIU. Vimos que o quadrado de um número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖 é 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado mais dois 𝑎𝑏𝑖. E também vimos como podemos usar essas técnicas para maiores potências, embora esse não seja necessariamente o método mais eficiente.