Vídeo: Movimento Retilíneo e Integração

Neste vídeo, aprenderemos como aplicar integrais para resolver problemas que envolvem movimentos retilíneos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como aplicar integrais para resolver problemas que envolvem movimentos retilíneos. Começaremos por recapitular os métodos para integrar algumas funções-chave e o processo de integração por substituição antes de considerar como a integração se vincula ao movimento retilíneo. Consideraremos uma variedade de exemplos que demonstram estas técnicas.

As técnicas de cálculo que utilizaremos neste vídeo são as seguintes. Precisamos de saber como integrar uma potência de 𝑥. Esta é uma função da forma 𝑎𝑥 à 𝑛-ésima potência, onde 𝑎 e 𝑛 são constantes reais e 𝑛 não é igual a menos um. Adicionamos ao expoente e dividimos por este novo valor. Portanto, o integral de 𝑎𝑥 à 𝑛-ésima potência é 𝑥 elevado a 𝑛 mais um dividido por 𝑛 mais um, e é claro que temos esta constante de integração 𝑐. No caso em que 𝑛 é igual a menos um, estamos a integrar uma função da forma 𝑎 sobre 𝑥, o que nos dá um resultado de 𝑎 vezes o log natural do módulo de 𝑥 mais 𝑐. Também consideraremos funções exponenciais e trigonométricas cujos integrais são os apresentados. Por fim, é benéfico que tenha à vontade a aplicar a integração por substituição, embora possa entender a maior parte deste vídeo sem essa capacidade.

Então, como o cálculo se relaciona com o movimento? Em particular, movimento retilíneo. Este é o movimento ao longo de uma linha reta. Vamos recordar as definições de deslocamento, velocidade e aceleração. Deslocamento — às vezes dado como 𝑠 na notação de função — é o vetor que descreve a posição de um objeto de um determinado ponto de partida. Velocidade é então a taxa de variação do deslocamento deste objeto em ordem ao tempo. E aceleração é a taxa de variação da velocidade do objeto em ordem ao tempo. E isso significa que, se definirmos 𝑠 como uma função que mede o deslocamento no tempo 𝑡, a velocidade será a derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡. Na notação de função, isso é 𝑠 linha de 𝑡. E na notação de Leibniz, pode vê-la como d𝑠 sobre d𝑡.

Da mesma forma, podemos dizer que se 𝑣 é uma função que mede a velocidade no tempo 𝑡, então a aceleração é a derivada de 𝑣 em ordem a 𝑡. É 𝑣 linha de 𝑡 ou d𝑣 sobre d𝑡. E, é claro, como 𝑣 é a derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡, então podemos dizer que a aceleração também pode ser escrita como a segunda derivada de 𝑠. Isso é 𝑠 duas linhas de 𝑡. E como a integração é o processo inverso da diferenciação, podemos desenhar um pequeno diagrama de fluxo para mostrar a relação entre o deslocamento, a velocidade e a aceleração. Para determinar uma expressão para a velocidade, dada uma expressão para a aceleração em ordem ao tempo, integramos. Da mesma forma, para determinar uma expressão para o deslocamento, dada uma expressão para a velocidade em termos de tempo, integramos em ordem ao tempo. Agora também vale lembrar que distância e velocidade são quantidades escalares, às vezes chamadas de módulo do deslocamento e da velocidade, respetivamente.

Vamos agora dar uma olhadela em vários exemplos que demonstram estas ideias.

Uma partícula está a mover-se em linha reta, de modo que a sua velocidade no instante 𝑡 segundos é dada por 𝑣 igual a 15𝑡 ao quadrado menos oito 𝑡 metros por segundo quando 𝑡 é maior ou igual a zero. Dado que a sua posição inicial a partir de um ponto fixo é de 20 metros, determine uma expressão para o seu deslocamento no instante 𝑡 segundos.

Lembre-se de que velocidade é a taxa de variação do deslocamento de um objeto. Isso significa que podemos diferenciar uma função do deslocamento para determinar uma função da velocidade. Por outro lado, podemos dizer que o integral da função da velocidade nos dará uma função para o deslocamento. Portanto, para responder a esta questão, integraremos a nossa função com ordem a 𝑡 e, em seguida, utilizaremos as informações sobre a posição inicial para determinar uma expressão completa para o deslocamento. 𝑠 é igual ao integral de 15𝑡 ao quadrado menos oito 𝑡 em ordem a 𝑡.

Lembre-se de que o integral da soma ou da diferença de duas ou mais funções é igual à soma ou à diferença do integral de cada função. Assim, podemos integrar 15𝑡 ao quadrado e menos oito 𝑡 individualmente. Também sabemos que, para integrar um termo desta forma, adicionamos simplesmente um ao expoente e depois dividimos por este novo número. E obtemos o integral de 15𝑡 ao quadrado para ser 15𝑡 ao cubo dividido por três. Agora, de facto, também obtemos uma constante de integração. Mas vamos tratar desta em breve.

O integral de menos oito 𝑡 é menos oito 𝑡 ao quadrado dividido por dois. Em seguida, combinamos as duas constantes de integração obtidas pela integração de 15𝑡 ao quadrado e menos oito 𝑡. E vemos que 𝑠 é igual a 15𝑡 ao cubo sobre três mais menos oito 𝑡 ao quadrado sobre dois mais 𝑐. Podemos simplificar isto um pouco. E o que realmente conseguimos é a equação geral para o deslocamento do nosso objeto. É cinco 𝑡 ao cubo menos quatro 𝑡 ao quadrado mais 𝑐. Agora podemos calcular a equação específica. Que envolvem determinar o valor de 𝑐. E podemos fazê-lo porque informamos a posição inicial de um ponto fixo, ou seja, o seu deslocamento inicial. Dizem que a sua posição inicial a partir do ponto fixo é de 20 metros. Então, quando 𝑡 é igual a zero, 𝑠 é igual a 20.

Então, vamos substituir estes valores no nosso resultado. Temos 20 igual cinco vezes zero ao cubo menos quatro vezes zero ao cubo mais 𝑐. Bem, isso simplifica para 20 é igual a 𝑐. Portanto, a resposta aqui é 𝑠 igual a cinco 𝑡 ao cubo menos quatro 𝑡 ao quadrado mais 20 metros. E, é claro, podemos inverter este processo e diferenciar esta expressão em ordem a 𝑡 para verificar a nossa solução. Quando o fazemos, obtemos d𝑠 sobre d𝑡. E, é claro, é lido três vezes cinco 𝑡 ao quadrado menos dois vezes quatro 𝑡, o que simplifica para 15𝑡 ao quadrado menos oito 𝑡, conforme pretendido.

Agora veremos como podemos utilizar a integração duas vezes para resolver os problemas que envolvem movimento retilíneo.

Uma partícula está a mover-se em linha reta, de modo que a sua aceleração no tempo 𝑡 segundos é dada por 𝑎 é igual a 𝑡 dois menos 18 metros por segundo ao quadrado, onde 𝑡 é maior ou igual a zero. Dado que a sua velocidade inicial é de 20 metros por segundo e o seu deslocamento inicial é de zero metros, determine uma expressão para o deslocamento da partícula no instante 𝑡.

Lembre-se de que a aceleração é a taxa de variação da velocidade de um objeto. Isso significa que diferenciamos a função da velocidade para determinar a função da aceleração. Por outro lado, podemos dizer que o integral da função da aceleração nos dará a função da velocidade. Da mesma forma, a velocidade é igual à derivada do deslocamento em ordem ao tempo. Então, podemos dizer que, para determinar o deslocamento, podemos integrar a função da velocidade em ordem ao tempo.

Para responder a esta questão, precisaremos de integrar a nossa função da aceleração em ordem ao tempo duas vezes. Durante este processo, utilizaremos o facto de conhecermos a sua velocidade inicial e o seu deslocamento inicial. Isso ajudar-nos-á a determinar uma expressão específica para o deslocamento. Portanto, a velocidade é o integral indefinido de dois 𝑡 menos 18 em ordem a 𝑡. O integral de dois 𝑡 é dois 𝑡 ao quadrado sobre dois. O integral de menos 18 é menos 18𝑡. E, é claro, não devemos esquecer que temos esta constante de integração 𝑐. E vemos que 𝑣 é igual a 𝑡 ao quadrado menos 18𝑡 mais 𝑐. Isto é conhecido como a expressão geral. Entretanto, sabemos que a sua velocidade inicial é de 20 metros por segundo. Então, podemos dizer que quando 𝑡 é igual a zero, 𝑣 é igual a 20.

E podemos utilizar estas informações para determinar a expressão específica para a velocidade. Substituímos 𝑡 igual a zero e 𝑣 igual a 20 nesta equação. E obtemos 20 igual a zero ao quadrado menos 18 vezes zero mais 𝑐, o que nos dá 20 iguais 𝑐. E nós temos a expressão da velocidade no instante 𝑡. É 𝑡 ao quadrado menos 18𝑡 mais 20. Vamos integrar mais uma vez para determinar a expressão para o deslocamento. É o integral de 𝑡 ao quadrado menos 18 𝑡 mais 20 em ordem a 𝑡.

Desta vez, o integral de 𝑡 ao quadrado é 𝑡 ao cubo sobre três. O integral de menos 18𝑡 é menos 18𝑡 ao quadrado sobre dois. O integral de 20 é 20𝑡 e temos uma constante de integração. Observe que a chamei de 𝑑 em vez de 𝑐 porque já utilizámos 𝑐 nesta questão. Então 𝑠 é igual a 𝑡 ao cubo sobre três menos nove 𝑡 ao quadrado mais 20𝑡 mais 𝑑. Mais uma vez, temos informações suficientes para calcular o valor de 𝑑. Sabemos que o deslocamento inicial é de zero metros. Então, quando 𝑡 é igual a zero, 𝑠 é igual a zero. E substituímos estes valores. E obtemos zero igual a zero ao cubo sobre três menos nove vezes zero ao quadrado mais 20 vezes zero mais 𝑑, o que nos diz que zero é igual a 𝑑. E terminámos! Encontrámos a expressão para o deslocamento da partícula no instante 𝑡. É 𝑡 ao cubo sobre três menos nove 𝑡 ao quadrado mais 20𝑡 metros.

No próximo exemplo, veremos como podemos utilizar a integração para resolver problemas que envolvem otimização.

Uma partícula começou a mover-se em linha reta. A sua aceleração no tempo 𝑡 segundos é dada por 𝑎 igual a menos cinco 𝑡 ao quadrado mais cinco metros por segundo quadrado, quando 𝑡 é maior ou igual a zero. Determine a velocidade máxima da partícula 𝑣 max e a distância 𝑥 que ela percorreu antes de atingir esta velocidade, dado que a velocidade inicial da partícula é zero metros por segundo.

Para responder a esta questão, começamos por recordar que podemos determinar uma expressão da velocidade integrando a expressão da aceleração em ordem ao tempo. Da mesma forma, podemos determinar uma expressão do deslocamento integrando a expressão da velocidade em ordem ao tempo. Também precisamos de lembrar que podemos determinar o máximo procurando primeiro os pontos críticos de uma função e estes ocorrem em locais onde a derivada dessa função é igual a zero ou não existe.

Bem, para determinar os pontos críticos e, finalmente, o máximo para a velocidade, queremos saber quando d𝑣 sobre d𝑡 é igual a zero. Mas d𝑣 sobre d𝑡 é, obviamente, a aceleração. Então, vamos definir a nossa expressão para 𝑎 igual a zero e resolver em ordem a 𝑡. Isso é menos cinco 𝑡 ao quadrado mais cinco é igual a zero. Adicionando cinco ao quadrado a ambos os membros, obtemos cinco 𝑡 ao quadrado igual a cinco. E a seguir, dividindo por cinco, obtemos 𝑡 ao quadrado igual a um. O nosso passo final é aplicar a raiz quadrada a ambos os membros. E lembre-se, não precisamos de nos preocupar em determinar a raiz quadrada positiva e negativa de um, pois o tempo deve ser um valor positivo. Então 𝑡 é igual a um. E descobrimos que há um ponto crítico para a nossa função da velocidade e ocorre quando 𝑡 é igual a um.

Como este é o único ponto crítico, é seguro supor que provavelmente seja o máximo. Mas vamos verificar determinando a segunda derivada. Se a segunda derivada for menor que zero quando 𝑡 for igual a um, então teremos realmente um máximo. E, é claro, a segunda derivada da velocidade em ordem ao tempo é igual à primeira derivada da aceleração em ordem ao tempo. Bem, a primeira derivada de menos cinco 𝑡 ao quadrado mais cinco é simplesmente menos 10 𝑡. Vamos calcular isto quando 𝑡 é igual a um. Portanto, isso é menos 10 vezes um, o que é, é claro, menos 10. Como menos 10 é menor que zero, de facto temos um máximo quando 𝑡 é igual a um.

Agora, estamos realmente a tentar determinar a velocidade máxima da partícula. E sabemos que ocorre quando 𝑡 é igual a um. Então, vamos determinar a função da velocidade e calculá-la quando 𝑡 for igual a um. Dissemos que este era o integral da função da aceleração. Então, estamos a integrar menos cinco 𝑡 ao quadrado mais cinco. Bem, isso dá-nos menos cinco 𝑡 ao cubo sobre três mais cinco 𝑡 mais a sua constante de integração 𝑐. Podemos descobrir qual é esta constante de integração utilizando o facto de que a velocidade inicial da partícula é zero metro por segundo. Por outras palavras, quando 𝑡 é igual a zero, 𝑣 é igual a zero. Substituir estes valores dá-nos zero igual a menos cinco vezes zero ao cubo sobre três mais cinco vezes zero mais 𝑐. E isso diz-nos que zero é igual a 𝑐. E a nossa expressão final para velocidade é menos cinco 𝑡 ao cubo sobre três mais cinco 𝑡.

Queremos saber a velocidade máxima. E vimos que isso ocorre quando 𝑡 é igual a um. Então, agora vamos substituir 𝑡 igual a um nesta expressão. Isso é menos cinco vezes um ao cubo sobre três mais cinco vezes um, ou seja, dez terços. E nós temos a primeira parte da nossa solução. O máximo é igual a dez terços. E é importante perceber que não há outro máximo no ponto final em que 𝑡 é igual a zero, pois não há outros pontos de inflexão no intervalo de zero a um.

Agora, vamos calcular a distância 𝑥 que percorreu antes de atingir essa velocidade. Agora, precisamos de ter um pouco de cuidado aqui. A distância é a versão escalar do deslocamento. É o módulo do deslocamento. Sabemos que podemos integrar a nossa função da velocidade para determinar uma função do deslocamento. E a seguir, podemos calcular isto entre um e zero para determinar o deslocamento total. O que faremos para verificar se isto nos dará o mesmo valor que a distância é verificar a forma do gráfico. Se a curva estiver completamente acima ou abaixo do eixo O𝑥, sabemos que o módulo do deslocamento será igual à distância. Bem, entre zero e um, o gráfico fica realmente acima do eixo O𝑥 ou do eixo O𝑡 neste caso.

Portanto, a distância total percorrida será dada pela área entre a curva e o eixo O𝑡 delimitado pelas retas 𝑡 igual a zero e 𝑡 igual a um. Este é simplesmente o integral definido entre zero e um da função da velocidade em rdem ao tempo. A integração dá-nos menos cinco 𝑡 elevado a quatro sobre 12 mais cinco 𝑡 ao quadrado sobre dois. E quando calculamos isto entre um e zero, ficamos com. menos cinco sobre 12 mais cinco sobre dois menos zero, ou seja, 25 12avos. 𝑣 max é igual a dez terços e a distância 𝑥 percorrida antes de atingir 𝑣 max é 25 sobre 12 metros.

Neste exemplo, vimos que podemos utilizar um integral definido para calcular a distância total percorrida de uma partícula. Vamos considerar mais um exemplo desta forma.

Uma partícula move-se ao longo do eixo O𝑥 com uma velocidade 𝑣 metros por segundo de 𝑣 igual a cos de 𝑡. Determine a distância total percorrida durante o intervalo de tempo em que zero é menor ou igual a 𝑡, que é menor ou igual a três 𝜋 sobre 𝑡.

Temos que ter cuidado aqui. Lembre-se de que distância é o módulo do deslocamento. Determinamos o deslocamento calculando o integral da função da velocidade. Agora que, é claro, pode ser considerada como a área entre a curva e o eixo O𝑥. O problema que temos aqui é que cos de 𝑡 é positivo e negativo ao longo do intervalo de tempo 𝑡 é maior ou igual a zero e menor ou igual a três 𝜋 por dois. Então, vamos calcular isto em duas partes.

Diremos que a distância total percorrida é igual à soma do módulo do deslocamento entre 𝑡 igual a zero e 𝑡 igual a 𝜋 sobre dois e o módulo do deslocamento entre 𝑡 igual a 𝜋 sobre dois e 𝑡 igual a três 𝜋 sobre dois. O módulo do deslocamento entre 𝑡 igual a zero e 𝑡 igual a 𝜋 por dois é bastante direto. É o integral definido de cos de 𝑡 calculado entre zero e 𝜋 sobre dois. O módulo do deslocamento entre 𝜋 sobre dois e três 𝜋 sobre dois é um pouco mais complicado. Como esta parte dos gráficos fica abaixo do eixo O𝑥, sabemos que teremos um valor negativo quando integrarmos. Podemos, portanto, dizer que o módulo é igual a menos integral de cos de 𝑡 entre 𝜋 sobre dois e três 𝜋 sobre dois ou o integral calculado entre três 𝜋 sobre dois e 𝜋 sobre dois de cos de 𝑡.

Lembre-se, inverter os nossos limites apenas tem o efeito de alterar o sinal da nossa solução. O integral de cos de 𝑥 d𝑥 é sen de 𝑥 mais 𝑐. Portanto, o integral de cos de 𝑡 é sen de 𝑡. E não precisamos desta constante de integração porque estamos a lidar com um integral definido. Calculando isto entre os nossos limites, obtemos o sen de 𝜋 sobre dois menos sen de zero mais o sen de 𝜋 sobre dois menos sen de três 𝜋 sobre dois. sen de 𝜋 sobre dois é um e o sen de zero é zero. Também sabemos que o sen de três 𝜋 sobre dois é menos um. Portanto, temos um menos zero mais um menos menos um, que é igual a três. E, portanto, podemos dizer que a distância total percorrida no intervalo de tempo 𝑡 é maior ou igual a zero e menor ou igual a três 𝜋 sobre dois é de três metros.

Neste vídeo, vimos que podemos utilizar a integração para deduzir funções para a velocidade e o deslocamento de funções da aceleração e da velocidade, respetivamente. Também vimos que podemos integrar uma função da aceleração duas vezes para nos ajudar a determinar uma função do deslocamento, mas que precisamos de valores iniciais da velocidade e do deslocamento para determinar uma solução específica. Também vimos que integrais definidos podem ser utilizado para nos ajudar a determinar o deslocamento total ou a distância percorrida. Mas, neste último caso, precisaremos de considerar a forma do gráfico antes de calcular.

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