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Vídeo: Introdução as Potências

Aprenda a calcular 𝑎^𝑥, (𝑎^𝑥) ∗ (𝑏^𝑦), (𝑎^𝑥)/(𝑏^𝑦) e (𝑎^𝑥)^𝑦, com exemplos. Também abordaremos potências, índices, expoentes, adição, subtração e regras de multiplicação.

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Transcrição do vídeo

Potências, Índices e Exponentes: Estrelando Expoentes e as Três Propriedades

Vamos dar uma olhada na lógica e nas convenções sobre potências, índices e expoentes. Na verdade, eles são todos a mesma coisa; mas dependendo de onde você mora, você os conhece por um desses nomes. Também vamos falar sobre as três propriedades de potências: a propriedade de multiplicação de potência de mesma base, a propriedade de divisão de potência de mesma base e a propriedade de potência de potência. Portanto, temos potências, índices ou expoentes. Mas vou chamá-los de potências neste vídeo. Elas consistem em um número base - aqui cinco é o número base - e um sobrescrito, que é esse pequeno número logo acima dele - chamado potência ou índice ou expoente.

Em casos simples, o expoente informa quantas vezes devemos escrever o número base e, em seguida, colocar sinais de multiplicação entre eles e realizar o cálculo. Portanto, nossa base de cinco é escrita duas vezes porque o expoente é dois. Então, escreva os cinco duas vezes, coloque os sinais de multiplicação entre eles e depois faça os cálculos: cinco vezes cinco é igual a vinte e cinco. Agora, com três elevado ao expoente quatro, três é o número base; quatro é o expoente. Então, vamos escrever três quatro vezes, vamos colocar sinais de multiplicação entre eles e depois vamos fazer o cálculo. Então três vezes três é nove; três vezes três é nove. Então temos nove vezes nove, o que equivale a oitenta e um. Assim, três elevado a quatro, escrevemos três quatro vezes, multiplicamos e obtivemos uma resposta de oitenta e um.

Ela também funciona exatamente da mesma maneira com frações: a base aqui é um meio e a potência é quatro. Então escrevemos um meio quatro vezes, colocamos nossos sinais de multiplicação entre eles, e vou multiplicá-los: um vezes um vezes um vezes um no numerador é um, e duas vezes dois vezes dois vezes dois no denominador - dois, quatro, oito - é dezesseis. Então a resposta é um sobre dezesseis. Agora vale a pena mencionar que há uma maneira um pouco diferente de escrever isso porque temos um vezes um vezes um vezes um no numerador, podemos escrever um elevado a quatro no numerador e tivemos duas vezes dois vezes dois vezes dois no denominador, podemos escrever dois elevado a quatro no denominador.

Essas duas coisas são podem ser trocadas ​​e representam exatamente a mesma coisa. Então você deve ter notado que eu usei parênteses em torno da minha fração original e isso nos diz que tudo nos parênteses que é elevado a quatro: o um que está no numerador e o dois no denominador. Se eu tivesse escrito minha fração da seguinte forma: um meio elevado a quatro, seria o mesmo que um elevado a quatro sobre o dois que não seria incluído na potência. É por isso que nossa dica principal é usar parênteses para deixar as coisas totalmente claras. Se você quiser que a fração inteira seja elevada à potência quatro, coloque-a entre parênteses para torná-la clara.

Potências também podem ser aplicadas a bases numéricas negativas, mas novamente os parênteses são altamente recomendados para maior clareza. Tente digitar três negativos elevado a dois na sua calculadora, como está escrito aqui. Será um teste de quão precisa é a sua calculadora. Tecnicamente, o expoente dois tem uma precedência maior do que o sinal negativo. Isso significa que a calculadora deve calcular três ao quadrado primeiro e então aplicar o sinal negativo para obter uma resposta de menos nove; essa é a resposta correta. Se você quisesse fazer o quadrado de três negativo, então deveria colocar o três negativo entre parênteses. Menos três todos elevados a dois, isso significa menos três vezes menos três. E neste caso, menos vezes menos é mais. Então, esta resposta será nove positivo.

A escrita é muito importante; então use parênteses para maior clareza. Agora você também tem que ter muito cuidado com os sinais negativos e pensar se o expoente é ímpar ou par. Então, vamos ver alguns exemplos. Dois negativos todos elevados a quatro: nós escrevemos nossos dois negativos quatro vezes, colocamos nossos sinais de multiplicação no meio, e agora vamos fazer o cálculo. Então, podemos calculá-los aos pares: menos dois vezes menos dois temos quatro positivo; menos dois vezes menos dois também faz quatro positivo. Agora multiplicando os dois números, quatro vezes quatro é igual a dezesseis positivos. Então, com potências pares, nossos negativos se juntaram para fazer números positivos. E quando multiplicamos todos os números positivos, obtivemos uma resposta positiva.

Agora vamos ver um expoente ímpar: dois negativo elevado a cinco. Nós escrevemos menos dois cinco vezes e colocamos os sinais de multiplicação entre eles e agora vamos fazer o cálculo. Novamente calculando-os, menos dois vezes menos dois é mais quatro; menos dois vezes menos dois é mais quatro. Mas agora temos menos dois sobrando por conta própria. Então, com um expoente ímpar, combinamos os valores negativos para criar positivos. E isso vai funcionar até o fim, mas ficaremos com um número negativo no final. Então, vamos ter quatro vezes quatro vezes menos dois. E neste caso dezesseis vezes menos dois é menos trinta e dois. Então, com um expoente ímpar, vamos receber uma resposta negativa.

Então, a regra geral: se você tem uma base negativa com um expoente par, o resultado será positivo, porque todos os negativos se combinam para formar positivos quando você os multiplica. Se você tem uma base negativa com uma potência ímpar, o resultado será negativo porque todos os números de base negativa, com exceção de um, vão se juntar para cancelar e fazer números positivos e, em seguida, você terá um outro número negativo para multiplicar tudo no final. E o resultado será negativo.

Então essa é a coisa básica que você precisa saber sobre os casos mais simples de potências. Quando a potência é um inteiro positivo, corresponde à multiplicação repetida da base. Assim, 𝑎 elevado a 𝑥 é 𝑎 vezes 𝑎 vezes 𝑎 vezes 𝑎 vezes 𝑎. E nós escrevemos os 𝑎 𝑥 vezes e depois os multiplicamos. Você tem que ser um pouco cuidadoso sobre como você a descreve, porque muitas vezes é dito que o expoente diz quantas vezes você multiplica a base por si só, mas isso não está certo. Por exemplo, com cinco elevado a dois, você não multiplica cinco por si só duas vezes; você escreve o número cinco duas vezes e depois multiplica esses números. Então você multiplica isso apenas uma vez. Este método abreviado de escrever um número, multiplicá-lo muitas vezes é uma convenção que tem sido usada por matemáticos há centenas de anos. E foi ampliado de potências inteiras positivas para potências negativas e até potências fracionárias, mas isso é uma história para outro dia.

Agora vamos ver o que acontece quando multiplicamos dois números em forma de potência de mesma base. Nós temos três elevado a dois vezes três elevado a quatro. Então nós temos dois três escritos aqui multiplicados e nós temos quatro três escritos aqui multiplicados. Então, no total, temos seis deles. Então três vezes três vezes três vezes três vezes três vezes três é três elevado a seis. Então, o que fizemos foi adicionar esse dois e esse quatro sobrescrito, então dois mais quatro, o que nos deu seis que são todos esses três multiplicados juntos.

Vamos fazer outra: sete elevado a três vezes sete elevado a cinco. Eu tenho três setes multiplicados aqui e cinco setes multiplicados aqui. Se eu multiplicar por completo, eu tenho uma grande e longa sequência de três mais cinco que são oito setes. Então, isso vai ser sete elevado a oito. São sete escrito oito vezes e todos eles multiplicados.

Agora é muito importante que tenhamos a mesma base. caso contrário, você não pode simplesmente adicionar os expoentes. Por exemplo, dois elevado a três vezes três elevado a quatro. Nós temos três dois multiplicados e temos quatro três multiplicados, mas não podemos combiná-los; não podemos simplificar isso ainda mais. Não são dois elevado a sete e não são três elevado a sete; são apenas dois elevado a três vezes três elevado a quatro. Então, quando não temos a mesma base, não podemos adicionar os expoentes. Para descrever este processo, poderíamos dizer que quando multiplicamos dois números em forma de potência com a mesma base, simplesmente adicionamos os expoentes ou 𝑎 elevado a 𝑥 vezes 𝑎 elevado a 𝑦 nos dá 𝑎 elevado a 𝑥 mais 𝑦.

Agora vamos ver o que acontece quando dividimos dois números em forma de potência com a mesma base. Nós temos três elevado a quatro dividido por três elevado a dois. Então isso significa três vezes três vezes três vezes três no numerados - três elevado a quatro - e três vezes três no denominador - que são nossos três ao quadrado. Agora posso dividir o numerador por três e posso dividir o denominador por três, então anulo esses dois três. Eu posso dividir o numerador por três e posso dividir o denominador por três, então eu cancelo esses três. Mas agora não há mais nada que eu possa cancelar, então acabei com três vezes três no numerador e um no denominador. Bem, dividindo por um, podemos simplesmente deixar o que significa que eu acabei de ficar com três ao quadrado. Então, olhando para trás com o que começamos, quatro três se multiplicaram no numerador porque tínhamos três elevado a quatro e nós efetivamente tiramos dois deles - nós riscamos dois deles, cancelamos dois deles - porque nós tínhamos dois três no denominador que acabamos por anular. Então começamos com quatro três; tiramos dois deles, o que nos deixou dois.

Mais um exemplo rápido, cinco elevado a seis dividido por cinco elevado a três. Temos seis cinco no numerador e três no denominador. Podemos cancelar três dos conjuntos de cinco. Então, podemos tirar três desses seis, o que nos deixa com três. Então, estamos subtraindo os expoentes; começamos com seis cinco, tiramos três cinco e ficamos com cinco elevado a três. Para descrever esse processo, poderíamos dizer que ao dividir dois números em forma de potência de mesma base, simplesmente subtraímos os expoentes. E nós temos 𝑎 elevado a 𝑥 dividido por 𝑎 elevado a 𝑦; nós simplesmente subtraímos os expoentes 𝑎 elevado 𝑥 menos 𝑦. Novamente, é muito importante que você tenha a mesma base para que isso funcione. Se tivéssemos cinco elevado a três dividido por sete elevado a quatro, temos cinco no numerador e sete no denominador. Nada cancela; nós não podemos simplificar isso. Os expoentes não podem ser subtraídos neste caso.

Por fim, vamos dar uma olhada no que acontece quando elevamos uma base a um expoente e então elevamos esse número inteiro para outro expoente. Então, quantos dois estamos multiplicando aqui? Bem, dois elevado a três significa que temos três dois multiplicados. Mas como a coisa toda é elevada a quatro, vamos fazer isso quatro vezes. Então nós temos quatro lotes de três, então vamos basicamente multiplicar esses dois expoentes para nos dar dois elevado a doze.

Outro exemplo rápido, cinco elevado a dois elevado a sete. Bem, cinco elevado a dois é apenas dois cinco multiplicados, e faremos isso sete vezes; nós pegamos este parênteses inteiro aqui e repetimos sete vezes - multiplique por si só sete vezes. Quantos cincos eu multipliquei no total? Bem, são sete lotes de dois; são catorze cincos. Então, multiplicando os expoentes, isso nos dá a resposta que estamos procurando, desde que tenhamos a mesma base.

Para descrever esse processo, poderíamos dizer que ao elevar uma base a um expoente e então elevar esse resultado a outro expoente, simplesmente multiplicamos os expoentes ou 𝑎 elevado a 𝑥 todos elevado a 𝑦 é igual a 𝑎 elevado a 𝑥 vezes 𝑦. Precisamos ter bastante cuidado ao escrever isso; então, novamente, parênteses são importantes. Porque se nós apenas escrevermos 𝑎 elevado a 𝑥 elevado a 𝑦 como temos aqui, a convenção é calcular o 𝑥 para o 𝑦 primeiro e então elevar 𝑎 para esse expoente; isso não é o mesmo que 𝑎 elevado a 𝑥 elevado a 𝑦. Assim, por exemplo, se escrevemos dois elevado a três elevado a quatro, como temos aqui, isso significa dois elevado a três elevado a quatro, que é dois elevado a oitenta e um. E a resposta é mais de dois septilhões; Este é um número maior do que a minha calculadora pode suportar. então eu não sei o que são todos esses dígitos, mas são basicamente dois com vinte e quatro dígitos depois disso. Mas se fizermos dois elevado a três, todos elevado a quatro, isso significa que dois elevado a três é oito, oito elevado a quatro, e oito elevado a quatro é apenas quatro mil e noventa seis. Então, claramente, essas duas coisas são respostas muito, muito diferentes. Portanto, use parênteses para maior clareza; caso contrário, você pode acabar fazendo o cálculo errado.

Apenas um resumo rápido então, 𝑎 elevado a 𝑥: o 𝑎 é ​​a base e o expoente ali 𝑥 - às vezes chamado de potência, às vezes chamado de índice, e às vezes chamado de expoente. Quando escrevemos nosso número nesse formato, chamamos de potência. Quando fazemos o cálculo real e criamos um número, apenas o chamamos de número comum. Quando aplicamos isso a frações, usando o parêntese, indicamos que a fração inteira precisa ser elevada à potência que especificamos. E quando escrevemos isso, podemos ver que temos o dois elevado a três e o três elevado a três neste caso específico. Quando estamos lidando com bases negativas, se tivermos um expoente ímpar, acabaremos com uma resposta negativa. se tivermos um expoente par teremos uma resposta positiva. E, finalmente, aprendemos sobre a propriedade de multiplicação de potência de mesma base onde adicionamos os expoentes, a propriedade de divisão de potência de mesma base onde subtraímos os expoentes e a propriedade de potência de potência onde temos que multiplicar os expoentes. E lembre-se em caso de dúvida, use parênteses.