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Neste vídeo, veremos como podemos relacionar o gráfico de uma função aos
gráficos da sua primeira e segunda derivadas. Veremos como utilizar os gráficos da primeira e da segunda derivadas de
uma função para fazer deduções sobre o gráfico e as propriedades da
própria função. Já deve estar familiarizado com os principais recursos do gráfico de uma
função, como mínimos locais e máximos locais. Também deve estar familiarizado com a definição de concavidade de uma
função e a sua relação com os pontos de inflexão de uma função. Por fim, deve estar familiarizado com o que significa uma função
crescente ou decrescente num intervalo específico, embora cada um
destes conceitos seja brevemente recapitulado no contexto de
exemplos.
Vamos começar por considerar uma função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo mais
três 𝑥 ao quadrado menos nove 𝑥. Podemos utilizar a diferenciação para determinar a sua primeira derivada,
𝑓 linha de 𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos nove,
e também a sua segunda derivada, 𝑓 duas linhas de 𝑥, que é igual a
seis 𝑥 mais seis. Agora, vamos esboçar os gráficos de cada uma destas funções, talvez
utilizando uma calculadora gráfica para ajudar, se necessário, e
depois considerar o que nos dizem. Aqui estão estes três gráficos. O gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 a é uma cúbica. O gráfico de 𝑦 é igual a 𝑓 linha de 𝑥 é uma quadrática. E o gráfico 𝑦 é igual a 𝑓 duas linhas de 𝑥 é uma reta. A partir do gráfico de 𝑦 igual 𝑓 de 𝑥 em primeiro lugar, vemos que a
nossa função tem dois pontos críticos que ocorrem nos valores de 𝑥
de menos três e de um positivo.
No gráfico da nossa primeira derivada, 𝑓 linha de 𝑥, podemos ver que o
valor de 𝑓 linha de 𝑥 é zero em cada um destes valores de 𝑥 à
medida que a curva interseta o eixo O𝑥 nestes dois pontos. Já sabemos pela nossa definição de pontos extremos que 𝑓 linha de 𝑥 é
igual a zero ou é indefinido num ponto extremo da função. Mas, olhando apenas para o gráfico da primeira derivada, poderíamos
deduzir que a função 𝑓 de 𝑥 teria pontos extremos. Portanto, este é o máximo local, o mínimo local ou os pontos de inflexão
nestes dois valores de 𝑥.
Outra propriedade da nossa função 𝑓 de 𝑥 que podemos ver no seu gráfico
é que está, por exemplo, a crescer no intervalo aberto menos
infinito, menos três. Considerando o gráfico de 𝑓 linha de 𝑥, vemos que 𝑓 linha de 𝑥 é
sempre positivo nesse intervalo, porque o gráfico de 𝑓 linha de 𝑥
está acima do eixo O𝑥. Portanto, considerando o sinal de 𝑓 linha de 𝑥, ou seja, se a curva
está acima ou abaixo do eixo O𝑥 num intervalo específico, podemos
deduzir se uma função está a crescer ou a decrescer nesse mesmo
intervalo. Podemos, portanto, fazer estas deduções sobre se uma função está a
crescer ou a decrescer a partir do gráfico da sua primeira derivada
sem precisar de esboçar o gráfico da própria função.
Além disso, vemos que, no gráfico de 𝑓 de 𝑥, parece que 𝑓 tem um ponto
de inflexão em 𝑥 igual a menos um, pois aqui a concavidade do
gráfico muda de concavidade para baixo para concavidade para
cima. Observando os gráficos de 𝑓 linha de 𝑥 e 𝑓 duas linhas de 𝑥, podemos
ver que duas coisas também ocorrem neste momento. Em primeiro lugar, o declive do gráfico de 𝑓 linha de 𝑓 muda de
negativo para positivo. Ou podemos dizer que a primeira derivada muda de decrescente para
crescente a cerca de 𝑥 igual a menos um. Isso significa que a segunda derivada também muda de negativa para
positiva em 𝑥 igual a menos um, o que é consistente com o que vemos
no terceiro gráfico. A linha rosa está abaixo do eixo O𝑥 para valores de 𝑥 menores que menos
um e acima do eixo O𝑥 para valores de 𝑥 maiores que menos um.
Em 𝑥 igual ao menos um em si, a reta cruza o eixo O𝑥, dando 𝑓 duas
linhas de menos igual a zero. Isso, combinado com a mudança no sinal de 𝑓 linha duas linhas de 𝑥, a
nossa segunda derivada, seria suficiente para deduzirmos que o
gráfico de 𝑓 tem um ponto de inflexão 𝑥 igual a menos um sem
precisar de desenhar os gráficos de 𝑓 de 𝑥 ou 𝑓 linha de 𝑥. Finalmente, também podemos utilizar o gráfico da nossa segunda derivada
para classificar os pontos extremos da nossa função 𝑓. Vemos que o valor da segunda derivada em 𝑥 igual a menos três é
negativo. E, portanto, pelo teste da segunda derivada, o ponto extremo em 𝑥 igual
a menos três é um máximo local, que é consistente com o que vemos no
gráfico da função 𝑓.
O valor de 𝑓 duas linhas de um, no entanto, é positivo. Portanto, pelo teste da segunda derivada, sabemos que o ponto extremo em
𝑥 igual a um é um mínimo local que é novamente consistente com o
que vemos no gráfico de 𝑓. Vamos agora considerar como aplicar alguns dos princípios gerais que
discutimos nalguns exemplos.
O gráfico da primeira derivada 𝑓 linha de uma função 𝑓 é o
apresentado. Em que intervalos 𝑓 tem concavidade para cima ou para baixo?
Vamos começar por recordar o que significam estes dois termos,
concavidade para cima e concavidade para baixo. Se uma função te concavidade para cima num intervalo específico,
significa que todas as tangentes ao gráfico dessa função ficam
abaixo da própria curva nesse intervalo específico. Ao esboçar essas tangentes, também podemos ver que o declive dessas
tangentes está a aumentar. Talvez isso seja mais óbvio no esboço à direita. Mas no esboço à esquerda, vemos que as tangentes têm um declive
negativo. E estão a tornar-se menos inclinadas, então os valores estão a tornar-se
menos negativos e, portanto, a aumentar.
Portanto, podemos ver uma relação entre a concavidade de uma função e a
sua primeira derivada. Quando uma função tem concavidade para cima, a sua primeira derivada é
crescente. Se, no entanto, uma função tem concavidade para baixo, num intervalo
específico, significa que todas as tangentes ao gráfico estão acima
da própria curva nesse intervalo. A partir deste esboço, podemos ver que o declive da tangente está a
diminuir. E, portanto, vemos que quando uma função tem concavidade para baixo, a
sua primeira derivada estará a decrescer. Isso dá-nos uma pista importante de como podemos utilizar a figura
fornecida, que, lembre-se, é o gráfico da primeira derivada desta
função, a fim de determinar algo sobre a concavidade da função.
Para determinar onde as funções têm concavidade para cima, precisamos de
ver se o gráfico da primeira derivada está a crescer, o que
significa que terá um declive positivo. Podemos ver que isso é verdade no intervalo aberto zero, antes de mais
nada. Também é verdade no intervalo aberto dois, três e durante o intervalo
aberto cinco, sete. Ao considerar onde o declive da nossa primeira derivada é negativo e,
portanto, onde a primeira derivada está decrescer, podemos deduzir
onde a função 𝑓 é tem concavidade para baixo. Em primeiro lugar, o intervalo aberto um, dois; o intervalo aberto três,
cinco; e finalmente o intervalo aberto sete, nove. E assim temos a nossa resposta para o problema.
Precisamos de ter cuidado e clareza sobre o que estamos à procura. Não estamos à procura de onde a primeira derivada é positiva ou negativa,
mas crescente ou decrescente, o que é determinado não pelo sinal da
primeira derivada, mas pelo declive do seu gráfico.
No próximo exemplo, utilizaremos o gráfico de uma função para determinar
o sinal da sua primeira e segunda derivadas.
O gráfico de uma função 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 é o apresentado, no ponto em
que são d𝑦 sobre d𝑥 e d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado ambos
negativos.
Então, temos o gráfico de uma função em si. E somos solicitados a utilizá-lo para determinar em qual destes cinco
pontos a primeira e a segunda derivadas da função são negativas. Primeiro, vamos considerar o sinal da primeira derivada d𝑦 sobre d𝑥 em
cada ponto. Lembre-se de que a primeira derivada de uma função num ponto fornece o
declive da tangente para a curva naquele ponto. Assim, desenhando tangentes à curva em cada ponto, podemos determinar o
sinal da sua primeira derivada.
Vemos que, no ponto 𝐴, a tangente está inclinada para baixo. Portanto, a primeira derivada, d𝑦 sobre d𝑥, é de facto negativa no
ponto 𝐴. No entanto, nos pontos 𝐵 e 𝐶, as tangentes estão cada uma inclinada
para cima, o que nos diz que a primeira derivada d𝑦 por d𝑥 será
positiva em 𝐵 e 𝐶. No ponto 𝐷, a tangente à curva é horizontal. Portanto, a primeira derivada será igual a zero, não negativa neste
ponto. Finalmente, no ponto 𝐸, vemos que a tangente está inclinada para
baixo. Portanto, a primeira derivada também será negativa no ponto 𝐸. Ficamos, portanto, com apenas duas opções 𝐴 e 𝐸. Em seguida, precisamos de considerar o sinal da segunda derivada em cada
um destes pontos. E isso está ligado à concavidade da curva em cada ponto.
Lembre-se de que a curva tem concavidade para baixo num intervalo
específico, se as tangentes à curva nesse intervalo estiverem acima
da própria curva. Também podemos ver que, quando uma curva tem concavidade para baixo, o
declive da sua tangente diminui. E, portanto, a sua primeira derivada também está a diminuir. Quando uma função está a diminuir, a sua derivada é negativa. E como a derivada da primeira derivada é a segunda derivada, segue-se que
d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado será menor que zero quando uma curva
tem concavidade para baixo.
Isso não é necessário aqui, mas uma curva tem concavidade para cima
quando o inverso é verdadeiro. As tangentes ao gráfico estão abaixo do próprio gráfico. A primeira derivada está a crescer e, portanto, a segunda derivada é
positiva. Considerando o gráfico de 𝑓 de 𝑥, podemos ver que a tangente que
desenhámos no ponto 𝐸 fica acima da curva. E, de facto, a forma da curva tem concavidade para baixo nessa
região. No entanto, se olharmos para o ponto 𝐴, a tangente que desenhámos aqui
está abaixo da curva. E assim o gráfico tem concavidade para cima no ponto 𝐴. Isso diz-nos que a segunda derivada será negativa no ponto 𝐸, enquanto
que será positiva no ponto 𝐴.
Ficamos então com apenas um ponto em que a primeira e a segunda derivadas
são negativas. É o ponto 𝐸. Vimos neste exemplo como determinar algo acerca da primeira e da segunda
derivadas de uma função a partir de um gráfico da própria
função.
Agora vamos considerar como podemos determinar algo sobre o gráfico de
uma função e formar um gráfico da sua segunda derivada.
Utilize o gráfico fornecido da função 𝑓 duas linhas para determinar as
coordenadas em 𝑥 dos pontos de inflexão de 𝑓.
Então, temos o gráfico da segunda derivada de uma função e pedem-nos para
utilizá-la para determinar algo sobre a própria função. Primeiro, lembramos que, num ponto de inflexão, a segunda derivada 𝑓
duas linhas de 𝑥 é igual a zero. E agora, esta não é uma condição suficiente para que um ponto seja um
ponto de inflexão, pois também é possível que a segunda derivada
seja zero no mínimo local ou no máximo local. Mas isso dá-nos um ponto de partida. A partir da figura apresentada, podemos ver que 𝑓 duas linhas de 𝑥 é
igual a zero em três sítios, quando 𝑥 é igual a um, quando 𝑥 é
igual a quatro e quando 𝑥 é igual a sete. Portanto, estas são as coordenadas em 𝑥 dos três possíveis pontos de
inflexão da nossa função 𝑓.
Agora, vamos considerar um pouco mais sobre o que sabemos sobre pontos de
inflexão. Existem pontos no gráfico de uma função em que a sua concavidade muda de
concavidade para baixo para concavidade para cima ou vice-versa. Lembramos também que, quando uma função tem concavidade para baixo, a sua
segunda derivada, 𝑓 duas linhas de 𝑥, é negativa. E quando uma função tem concavidade ou não, a sua segunda derivada é
positiva. No próprio ponto de inflexão, 𝑓 duas linhas de 𝑥, é igual a zero, que é
o que já utilizamos para determinar os nossos possíveis pontos de
inflexão. Mas o ponto principal é que, quando ocorrer uma mudança na concavidade,
haverá também uma mudança no sinal da segunda derivada. A partir da figura apresentada, podemos ver que o sinal da segunda
derivada muda de negativo para positivo em torno de 𝑥 igual a um e
muda de positivo para negativo em torno de 𝑥 igual a sete.
No entanto, um dos lados de 𝑥 é igual a quatro, a segunda derivada é
positiva e, portanto, nenhuma mudança de sinal ocorre aqui. Portanto, não há mudança na concavidade da função em 𝑥 igual a quatro,
mas existe em 𝑥 igual a um e 𝑥 igual a sete. Portanto, podemos concluir que a nossa função 𝑓 possui pontos de
inflexão em 𝑥 igual a um e 𝑥 igual a sete.
No nosso exemplo final, veremos como determinar se uma função é crescente
ou decrescente num determinado intervalo utilizando um gráfico da
sua primeira derivada.
O gráfico da derivada 𝑓 linha de uma função 𝑓 é o apresentado. Em que intervalos 𝑓 é crescente ou decrescente?
Para responder a esta questão, precisamos de recordar a relação entre se
uma função é crescente ou decrescente e a sua primeira derivada. Formalmente, uma função é crescente num intervalo 𝐼 se 𝑓 de 𝑥 um for
menor que 𝑓 de 𝑥 dois para todos os pares de valores de 𝑥, 𝑥 um
e 𝑥 dois, com 𝑥 um menor que 𝑥 dois no intervalo 𝐼. Em termos práticos, porém, isso significa apenas que o gráfico da função
está inclinado para cima. E, portanto, a sua primeira derivada, que, lembre-se, é a função do
declive da curva, é positiva. Por outro lado, uma função é decrescente num intervalo 𝐼 se 𝑓 de 𝑥 um
for maior que 𝑓 de 𝑥 dois para todos 𝑥 um menos que 𝑥 dois no
intervalo 𝐼, o que em termos práticos significa apenas que a curva
está inclinada para baixo. E, portanto, a primeira derivada, 𝑓 linha de 𝑥, é negativa.
Para determinar os intervalos nos quais qualquer função é crescente ou
decrescente, basta considerar o sinal da sua primeira derivada. Portanto, a função 𝑓 será crescente quando o gráfico da sua primeira
derivada 𝑓 linha estiver acima do eixo O𝑥. A partir da figura apresentada, vemos que isso é verdade no intervalo
aberto, um a cinco. 𝑓 será decrescente quando o gráfico da sua primeira derivada estiver
abaixo do eixo O𝑥. A partir da figura, vemos que isso é verdade em dois intervalos abertos,
o intervalo zero, um e o intervalo cinco, seis. Portanto, podemos concluir que 𝑓 é crescente no intervalo aberto de um a
cinco e decrescente nos intervalos abertos de zero a um e de cinco a
seis.
Neste vídeo, vimos como utilizar os gráficos da primeira e da segunda
derivadas de uma função para fazer deduções sobre as propriedades
principais da própria função e também como utilizar o gráfico de uma
função para fazer deduções sobre a sua primeira e a sua segunda
derivadas. Vimos que, quando a primeira derivada de uma função é igual a zero, a
própria função tem um ponto extremo. E, portanto, podemos determinar os valores de 𝑥 dos pontos extremos da
função a partir de um gráfico da sua primeira derivada. Ao considerar onde esse gráfico interseta o eixo O𝑥. Também sabemos que o sinal da primeira derivada determina se uma função é
crescente ou decrescente num determinado intervalo. Portanto, considerando se o gráfico da primeira derivada está acima ou
abaixo do eixo O𝑥 num determinado intervalo, podemos determinar se
a função em si é crescente ou decrescente.
Também vimos que podemos utilizar o gráfico da segunda derivada de uma
função para determinar se a função possui pontos de inflexão. Nos pontos em inflexão, a segunda derivada é igual a zero. Mas há também uma mudança no sinal da segunda derivada, refletindo uma
mudança na concavidade da função. Ao considerar onde o gráfico da segunda derivada é igual a zero e se
sofre uma mudança de sinal em torno desse valor, podemos determinar
as coordenadas em 𝑥 de qualquer ponto de inflexão da função. Portanto, entendendo as relações entre os gráficos de uma função e as
suas derivadas, podemos deduzir informações importantes sobre a
própria função sem precisar de esboçar o seu próprio gráfico. Ou podemos utilizar o gráfico de uma função para determinar as principais
propriedades das suas derivadas.
