Vídeo: Transformações Lineares em Três Dimensões

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Transformações Lineares em Três Dimensões

04:45

Transcrição do vídeo

Olá pessoal! Eu tenho um vídeo relativamente rápido para vocês hoje, apenas uma espécie de nota de rodapé entre capítulos. Nos últimos dois vídeos, falei sobre transformações lineares e matrizes, mas mostrei apenas o caso específico de transformações que levam vetores bidimensionais para outros vetores bidimensionais.

Em geral, ao longo da série, trabalharemos principalmente em duas dimensões, principalmente porque é mais fácil de visualizar no ecrã e da sua mente compreender. Mas, mais importante do que isso, quando obtém todas as ideias centrais em duas dimensões, estas transferem-se perfeitamente para dimensões superiores. No entanto, é bom colocarmos a cabeça fora do mundo plano de vez em quando para ver o que significa aplicar estas ideias em mais do que apenas as duas dimensões.

Por exemplo, considere uma transformação linear com vetores tridimensionais como objetos e vetores tridimensionais como imagens. Podemos visualizar isto espalmando em torno de todos os pontos no espaço tridimensional, representado por uma grelha, de tal forma que mantém as linhas da grelha paralelas e uniformemente espaçadas e que mantém a origem no lugar. E, assim como em duas dimensões, cada ponto do espaço que vemos mover-se é realmente apenas um representante de um vetor que tem a sua ponta nesse ponto, e o que estamos a fazer é pensar nos vetores objeto “moverem-se” para os seus vetores imagem correspondentes. E assim como em duas dimensões, uma destas transformações é completamente descrita por onde os vetores da base vão. Mas agora, existem três vetores da base canónica que normalmente utilizamos: o vetor unitário na direção O𝑥, 𝑖-chapéu; o vetor unitário na direção O𝑦, 𝑗-chapéu; e um tipo novo, o vetor unitário na direção O𝑧 chamado de 𝑘-chapéu.

Na verdade, acho mais fácil pensar nestas transformações seguindo apenas estes vetores da base, já que a grelha 3D inteira que representa todos os pontos pode tornar-se um pouco confusa. Ao deixar uma cópia dos eixos originais em segundo plano, podemos pensar nas coordenadas de onde cada um destes três vetores da base aterra. Registe as coordenadas desses três vetores como as colunas de uma matriz três por três. Isso fornece uma matriz que descreve completamente a transformação utilizando apenas nove números. Como um exemplo simples, considere a transformação que roda o espaço 90 graus em torno do eixo O𝑦. Então isso significaria que levaria um 𝑖-chapéu para as coordenadas zero, zero, menos um no eixo O𝑧. Não move 𝑗-chapéu, de modo que fica nas coordenadas zero, um, zero. E depois 𝑘-chapéu move-se para o eixo O𝑥 em um, zero, zero. Estes três conjuntos de coordenadas tornam-se as colunas de uma matriz que descreve esta transformação de rotação.

Para ver onde o vetor com coordenadas 𝑥𝑦𝑧 aterra, o raciocínio é quase idêntico ao que era para duas dimensões: cada uma dessas coordenadas pode ser considerada como instruções de como redimensionar cada vetor da base para que sejam somadas para obter o seu vetor. E a parte importante, assim como no caso 2D, é que este processo de redimensionamento e adição funciona antes e depois da transformação. Então, para ver onde o seu vetor está, multiplica essas coordenadas pelas colunas correspondentes da matriz e depois soma os três resultados. Multiplicar duas matrizes também é semelhante. Sempre que vir duas matrizes três por três a multiplicar-se, deverá primeiro aplicar a transformação codificada pela da direita e depois aplicar a transformação codificada pela da esquerda. Acontece que a multiplicação de matrizes em três dimensões é realmente muito importante para campos como computação gráfica e robótica, já que coisas como rotações em três dimensões podem ser bem difíceis de descrever, mas são mais fáceis de entender se puder dividi-las como a composição de rotações separadas e mais fáceis de pensar.

Realizar essa multiplicação de matrizes numericamente é, mais uma vez, bastante semelhante ao caso bidimensional. De facto, uma boa maneira de testar a sua compreensão do último vídeo seria tentar raciocinar sobre o que essa multiplicação de matrizes deverá ser especificamente, pensando atentamente como esta se relaciona com a ideia de aplicar duas transformações sucessivas no espaço.

No próximo vídeo, vou começar com o determinante.

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