Vídeo: Primitivas

Neste vídeo, vamos aprender como determinar a primitiva de uma função. A primitiva de uma função 𝑓(𝑥) é a função 𝐹(𝑥) tal que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

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Transcrição do vídeo

Primitivas

Neste ponto, sabe como calcular derivadas de muitas funções. E foi apresentado a uma variedade das suas aplicações. Neste vídeo, queremos responder a uma questão que inverte esse processo. Dada uma função 𝑓, como determinamos uma função com a derivada 𝑓? E por que estaríamos interessados ​​em tal função?

A resposta para a primeira parte desta questão é a primitiva. Sendo essa questão, dada uma função 𝑓, como determinamos uma função com derivada 𝑓? A primitiva de uma função 𝑓 é uma função com derivada 𝑓. Por outras palavras, é uma função que inverte o que a derivada faz. Vamos considerar que a função 𝑓 de 𝑥 igual a dois 𝑥. Para obter a primitiva desta função, precisamos de uma função cuja derivada seja dois 𝑥. Sabemos que quando tomamos a derivada de 𝑥 ao quadrado, obtemos dois 𝑥. E isso significa que a primitiva de dois 𝑥 será 𝑥 ao quadrado. No entanto, 𝑥 ao quadrado não é a única primitiva de dois 𝑥. 𝑥 ao quadrado mais um também é uma primitiva de dois 𝑥. E isso porque a derivada de uma constante é zero. Para explicar isto, dizemos que a primitiva de dois 𝑥 é 𝑥 ao quadrado mais 𝑐, onde 𝑐 é qualquer valor constante.

Agora, vamos ver por que podemos estar interessados ​​em fazer algo assim. Vamos considerar o que sabemos sobre movimento. Se começarmos com a posição de um objeto e a função 𝑠 de 𝑡, podemos determinar a velocidade desse objeto, o 𝑣 de 𝑡, tomando a derivada da nossa função posição. E se tomarmos a derivada da nossa função velocidade, podemos calcular a aceleração do nosso objeto, o 𝑎 de 𝑡. Mas e se quiséssemos avançar na outra direção? Se soubéssemos a nossa aceleração e desejássemos calcular a posição, precisaríamos da primitiva. Este é apenas um dos muitos casos em que precisamos de uma primitiva. Vamos seguir em frente e ver alguns exemplos de como determinar a primitiva.

Determine a primitiva mais geral 𝐹 maiúsculo de 𝑥 da função 𝑓 minúsculo de 𝑥 igual a dois 𝑥 elevado a sete menos três 𝑥 elevado a cinco menos 𝑥 ao quadrado.

Para fazer isso, utilizaremos a primitiva de cada um destes termos separadamente. Precisamos da primitiva de dois vezes 𝑥 elevado a sete. Precisamos de saber qual a função que, quando tomamos a derivada, é igual a dois vezes 𝑥 elevado a sete. E para 𝑥 elevado a 𝑎, podemos determinar a primitiva fazendo 𝑥 elevado a 𝑎 mais um sobre 𝑎 mais um. E em seguida, na forma geral, adicionamos 𝑐 para representar qualquer constante. Vamos aplicar isso a dois vezes 𝑥 elevado a sete. Vamos deixar dois de lado e faremos 𝑥 elevado a sete mais um e dividiremos por sete mais um.

A primitiva de dois vezes 𝑥 elevado a sete é dois vezes 𝑥 elevado a oito sobre oito. E podemos reduzir isto para um sobre quatro. Dois vezes 𝑥 elevado a sete tem uma primitiva de 𝑥 elevado a oito sobre quatro. E repetiremos este processo com menos três 𝑥 elevado a cinco. Podemos manter o menos três e temos 𝑥 elevado a cinco mais um sobre cinco mais um. Menos três vezes 𝑥 elevado a seis sobre seis, que reduzirá para 𝑥 elevado a seis sobre dois. E garantiremos que continue negativo.

Vamos repetir o processo uma última vez. Estamos a lidar com menos 𝑥 ao quadrado, portanto, ponho de lado menos um. Então, teremos menos um vezes 𝑥 elevado a dois mais um sobre dois mais um, menos 𝑥 ao cubo sobre três. Como procuramos a forma mais geral, não podemos esquecer esta constante no final. O que torna a nossa primitiva 𝐹 de 𝑥 igual 𝑥 elevado a oito sobre quatro menos 𝑥 elevado a seis sobre dois menos 𝑥 ao cubo sobre três mais 𝑐.

Agora vamos ver um caso em que não queremos a forma mais geral.

Determine a primitiva 𝐹 maiúsculo da função 𝑓 minúsculo de 𝑥 igual a cinco 𝑥 elevado a quatro mais quatro 𝑥 ao cubo onde 𝐹 maiúsculo de um é igual a menos dois.

Antes de fazer qualquer outra coisa, calcularemos a primitiva geral. E isso significa que seguiremos o mesmo processo do exemplo anterior. Retiramos a constante, adicionamos um ao nosso expoente e depois dividimos pelo valor do novo expoente. Neste caso, teremos cinco vezes 𝑥 elevado a cinco dividido por cinco. E vamos reduzir isto para 𝑥 elevado a cinco. Agora, para o segundo termo, retiramos este quatro, elevaremos 𝑥 ao cubo para 𝑥 elevado a quatro e depois dividiremos por quatro. O que reduz a 𝑥 elevado a quatro. O quatro no numerador e o no denominador são anulados.

Se estivéssemos a determinar a forma geral, adicionaríamos uma constante 𝑐. E diríamos que 𝐹 maiúsculo de 𝑥 é igual 𝑥 elevado a cinco mais 𝑥 elevado a quatro mais 𝑐. E queremos juntar 𝐹 de um para nos ajudar a determinar o valor de 𝑐. 𝐹 de um é igual a menos dois. Um elevado a cinco mais um elevado a quatro. Um mais um igual a dois. Então dois mais 𝑐 tem que ser igual a menos dois. Subtraia dois a ambos os membros. E vemos que o valor constante é menos quatro. Vamos considerar estas informações e juntá-las ao que determinámos para a primitiva geral. Uma primitiva nestas condições é 𝑥 elevado a cinco mais 𝑥 elevado a quatro menos quatro.

Se a segunda derivada de 𝑓 de 𝑥 for igual a três 𝑥 elevado a cinco mais três 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑥 ao quadrado mais dois, determine 𝑓 de 𝑥.

Se temos uma segunda derivada, podemos utilizar a primitiva que nos dará a primeira derivada de 𝑓 de 𝑥. E, em seguida, tomaremos a primitiva desse valor que nos dará nosso 𝑓 de 𝑥 original. O processo não será diferente dos exemplos anteriores. Só precisamos de fazer isso duas vezes. Vamos tomar a primitiva de três 𝑥 elevado a cinco, que se tornará três vezes 𝑥 elevado a seis sobre seis. E o segundo termo, três vezes 𝑥 ao cubo, tem uma primitiva de três vezes 𝑥 elevado a quatro sobre quatro. Cinco 𝑥 ao quadrado torna-se cinco 𝑥 ao cubo sobre três. E a primitiva de dois é dois 𝑥. Certifique-se de adicionar o seu termo constante.

Agora, neste ponto, temos a primeira derivada desta função. E podemos simplificar alguns dos coeficientes aqui. Mas como tomaremos a primitiva novamente, esperarei e simplificarei na última etapa. Agora, precisamos da primitiva de três vezes 𝑥 elevado a seus sobre seis. Três sextos vezes 𝑥 elevado a sete sobre sete. Três quartos 𝑥 elevado a quatro é três quartos vezes 𝑥 elevado a cinco sobre cinco. Cinco terços vezes 𝑥 ao cubo. Cinco terços vezes 𝑥 elevado a quatro sobre quatro. Dois 𝑥 torna-se dois vezes 𝑥 ao quadrado sobre dois. A primitiva de uma constante é essa constante vezes 𝑥. E precisaremos de uma constante adicional no final, que podemos chamar de 𝐷.

Determinámos o nosso valor de 𝑓 de 𝑥, mas queremos simplificar. Podemos reduzi-lo de três sobre seis para um meio. E a seguir, teremos 𝑥 elevado a sete sobre 14. Multiplicamos os denominadores no nosso segundo termo. E chegamos a três vezes 𝑥 elevado a cinco sobre 20. O nosso terceiro termo é de cinco vezes 𝑥 elevado a quatro sobre 12. No nosso quarto termo, os dois anulam-se e temos 𝑥 ao quadrado. Os nossos dois termos finais, o 𝑐𝑥 mais 𝐷 não podem ser mais simplificados. O que significa que a primitiva geral da função que nos deram é 𝑥 elevado a sete sobre 14 mais três vezes 𝑥 elevado a cinco sobre 20 mais cinco vezes 𝑥 elevado a quatro sobre 12 mais 𝑥 ao quadrado mais 𝑐𝑥 mais 𝐷.

Nos dois últimos exemplos, consideraremos o que no início pode parecer uma forma irregular.

Determine a primitiva mais geral 𝐹 maiúsculo de 𝑥 da função 𝑓 minúsculo, dado que 𝑓 minúsculo de 𝑥 é igual a cinco sobre dois mais quatro sobre 𝑥.

Este primeiro termo, cinco sobre dois, atua como uma constante. E tomamos a sua primitiva fazendo cinco vezes dois vezes 𝑥. De início, pode não parecer muito claro o que podemos fazer com quatro sobre 𝑥. Mas e se a escrevêssemos assim, quatro vezes um sobre 𝑥? Agora estamos a dizer que função tem uma derivada um sobre 𝑥? O logaritmo natural de 𝑥 tem uma derivada de um sobre 𝑥. Isso significa que a primitiva de quatro vezes um sobre 𝑥 será quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥. Porque quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 tem uma derivada de quatro vezes um sobre 𝑥. Então, escrevemos quatro vezes o log natural de 𝑥. E como estamos a considerar uma forma geral, precisamos ainda de adicionar um valor constante 𝑐. 𝐹 maiúsculo de 𝑥 é igual a cinco sobre dois 𝑥 mais quatro vezes o logaritmo natural de 𝑥 mais 𝑐.

Considerando a regra do produto, determine a função 𝑓 tal que 𝑓 linha de 𝑥 seja igual a 𝑒 elevado a 𝑥 sobre a raiz quadrada de 𝑥 mais dois vezes 𝑒 elevado a 𝑥 vezes a raiz quadrada de 𝑥.

Primeiro, precisamos de recordar a regra do produto para derivadas. Esta regra do produto diz-nos que a derivada da função 𝑓 de 𝑥 vezes a função 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑥 vezes a derivada de 𝑔 de 𝑥 mais 𝑔 de 𝑥 vezes a derivada de 𝑓 de 𝑥. Antes de tentarmos determinar um 𝑓 de 𝑥 e um 𝑔 de 𝑥, vamos reescrever esta função. Temos 𝑓 linha de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥. E sabemos que está a ser multiplicado por um sobre a raiz quadrada de 𝑥. Podemos escrever isto como 𝑥 elevado a menos um meio. Estamos a multiplicar 𝑒 elevado a 𝑥 vezes 𝑥 elevado a menos um meio mais dois vezes 𝑒 elevado a 𝑥 vezes 𝑥 elevado a um meio mais.

Algo que sabemos é que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 é igual 𝑒 elevado a 𝑥. Se dissermos que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a 𝑥, então 𝑓 linha de 𝑥 também é 𝑒 elevado a 𝑥. Isso significa que 𝑥 elevado a menos um meio é igual a 𝑔 linha de 𝑥. E significa que 𝑔 de 𝑥 é igual a dois vezes 𝑥 elevado a um meio. 𝑔 de 𝑥 é igual a dois vezes 𝑥 elevado a um meio. Se verificarmos esta derivada, obtemos dois vezes um meio vezes 𝑥 elevado a um meio menos um, que é de facto 𝑥 elevado a menos um meio. Mas o que é que isto significa para nós? Bem, na regra do produto, este valor é a derivada de 𝑓 de 𝑥 vezes 𝑔 de 𝑥. E isto significa a primitiva será 𝑓 de 𝑥 vezes 𝑔 de 𝑥. Sabemos 𝑓 de 𝑥 e sabemos 𝑔 de 𝑥, o que significa que a primitiva é igual a dois vezes 𝑥 elevado a um meio 𝑒 elevado a 𝑥. E podemos colocar isto de volta na forma que nos foi dada. Dois vezes a raiz quadrada de 𝑥 vezes 𝑒 elevado a 𝑥.

Vamos recapitular brevemente este ponto-chave sobre as primitivas. Se lhe derem uma função 𝑓 linha de 𝑥, a sua primitiva será a função 𝑓 de 𝑥 cuja derivada seria então 𝑓 linha de 𝑥. O nosso primeiro exemplo foi quando 𝑓 linha de 𝑥 era igual a dois 𝑥, podemos fazer a primitiva que nos dá 𝑥 ao quadrado mais uma constante qualquer 𝑐. E 𝑥 ao quadrado mais constante qualquer 𝑐, se fizer a sua derivada, dar-lhe-á dois 𝑥.

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