Vídeo: Simplificando Expressões Trigonométricas Utilizando Identidades de Ângulo Duplo

Simplifique (1 − cos 2𝑥)/(1 + cos 2𝑥).

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Transcrição do vídeo

Simplifique um menos cos dois 𝑥 sobre um mais cos dois 𝑥.

Nós escrevemos a fração novamente. Para simplificar, parece que teremos que reescrever cos dois 𝑥. Existem basicamente três maneiras de reescrever cos dois 𝑥: uma envolvendo cos 𝑥 e sen 𝑥, outra envolvendo apenas cos 𝑥 e a última envolvendo apenas sen 𝑥. Qualquer uma dessas identidades funcionaria, mas usaremos a primeira delas. Podemos ver mais tarde como poderíamos ter tornado nossas vidas mais fáceis para nós mesmos, optando por reescrever cos 𝑥 de outras maneiras, mas no momento nós apenas substituímos cos dois 𝑥 por cos quadrado 𝑥 menos sen quadrado 𝑥.

Nós expandimos os parênteses, tomando cuidado para fazer com que o menos-menos sen ao quadrado 𝑥 no numerador se torne um mais sen ao quadrado 𝑥. O que temos agora não parece mais simples do que começamos, mas podemos aplicar outra identidade. sen ao quadrado 𝑥 mais cos ao quadrado 𝑥 é um; rearranjando isso, obtemos um menos cos ao quadrado 𝑥 igual ao sen ao quadrado 𝑥 e um menos sen ao quadrado 𝑥 igual ao cos ao quadrado 𝑥. Notamos que temos um menos cos ao quadrado 𝑥 no numerador de nossa fração, então podemos substituí-lo por um sen ao quadrado 𝑥. E podemos combinar este sen ao quadrado 𝑥 obtemos com o outro sen ao quadrado 𝑥 que vem do numerador para obter dois sen ao quadrado 𝑥.

É uma história semelhante no denominador, onde há um e menos sen ao quadrado 𝑥. Usando uma de nossas identidades, podemos substituir esses dois termos por cos 𝑥 ao quadrado. Então nós pegamos este cos 𝑥 ao quadrado e o adicionamos ao outro cos 𝑥 ao quadrado que obtemos do denominador da fração e juntos eles formam dois cos ao quadrado 𝑥. Agora, parece que temos algo mais simples, mas podemos ir além. Antes de continuarmos a simplificar, vamos notar que poderíamos ter chegado a este passo mais rapidamente reescrevendo cos 𝑥 de alguma outra forma.

Havido reescrito o cos dois 𝑥 no numerador como um menos dois sen ao quadrado 𝑥, teríamos o numerador dois sen quadrado 𝑥 imediatamente depois da simplificação. Não teríamos que usar a identidade adicional um menos cos ao quadrado 𝑥 igual ao sen quadrado 𝑥. Isto é porque a identidade sen ao quadrado 𝑥 mais cos ao quadrado 𝑥 igual a um já está embutido na identidade cos dois 𝑥 é igual a um menos dois sen quadrado 𝑥. Você pode obter essa identidade substituindo o cos quadrado 𝑥 na primeira identidade por um menos sen quadrado 𝑥.

De um modo similar, se tivéssemos reescrito cos 𝑥 como dois cos ao quadrado 𝑥 menos um, o denominador teria se tornado um mais dois cos ao quadrado 𝑥 menos um ou apenas dois cos ao quadrado 𝑥. Nós tivemos que fazer algum trabalho para encontrar este denominador, aplicando a identidade um menos sen quadrado 𝑥 igual a cos ao quadrado 𝑥. Quando fossemos um pouco mais espertos sobre qual identidade de cos dois 𝑥 tinha de ser aplicada, poderíamos ter conseguido isso imediatamente.

De qualquer forma, acabamos com a fração dois sen ao quadrado 𝑥 sobre dois cos ao quadrado 𝑥. Podemos cancelar o fator comum de dois no numerador e no denominador. Isso nos deixa com sen ao quadrado 𝑥 sobre cos ao quadrado 𝑥, que é o mesmo que sen 𝑥 sobre cos 𝑥 ao quadrado. E como sen 𝑥 sobre cos 𝑥 é tg 𝑥, isso é tg ao quadrado 𝑥. E como não podemos simplificar mais, esta é a nossa resposta final: um menos cos dois 𝑥 sobre um mais cos dois 𝑥 na forma mais simples é tg ao quadrado 𝑥.

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