Lesson Video: Padrões de Crescimento em Tabelas e Gráficos

Video Transcript

Neste vídeo, vamos ver as taxas de alteração nas tabelas de dados e nos gráficos lineares. Em particular, veremos por que é útil criar uma maneira de comparar as taxas de alteração entre dois conjuntos de dados, calculando a alteração em uma variável por unidade de outra variável.

Aqui está uma tabela mostrando o preço da ação de uma determinada empresa em um período de quatro dias. Se calcularmos o tamanho da mudança dia a dia, podemos ver que o valor aumenta em dois dólares e nove centavos por dia. Isso é exatamente a mesma quantia a cada dia. Nós chamamos essa diferença consistente de dia para dia, uma taxa constante de variação.

Agora, se traçamos os dados como um gráfico com o número do dia como a coordenada 𝑥 e o preço da ação como a coordenada 𝑦, obtemos algo assim. Agora, esses pontos de dados são instantâneos em um determinado ponto todos os dias, e não temos ideia do que aconteceu com os preços entre os períodos. Talvez o preço tenha subido e descido entre momentos como este, mas não temos esses dados. Nosso melhor palpite é que isso parece uma boa taxa de variação constante, que faz um padrão de linha reta no gráfico. Sem quaisquer outros dados para continuar, este é o nosso melhor palpite sobre o comportamento do preço das ações entre os períodos.

Agora podemos ver a taxa de variação na inclinação da reta. Toda vez que eu aumento a coordenada 𝑥 em um, então quando um dia passa, a coordenada 𝑦 aumenta em dois pontos vírgula nove; o preço sobe dois dólares e nove centavos. A taxa de variação do preço da ação seria então positiva em dois dólares e nove centavos por dia. Às vezes, porém, temos dados em um formato um pouco mais esporádico, talvez não todos os dias, ou semanas ou mesmo anos.

Dados de altura de Barry nos dizem que quando ele tinha doze anos de idade, ele tinha cinquenta e quatro polegadas de altura e quando ele tinha dezessete anos de idade, ele tinha sessenta e nove polegadas de altura. Agora, novamente, não temos ideia de como a altura de Barry variou entre as idades de doze e dezessete anos. Talvez ele tenha ficado com cinquenta e quatro polegadas de altura até o dia anterior ao seu décimo sétimo aniversário, e então milagrosamente cresceu quinze polegadas durante a noite quando completou dezessete anos. Sim, é bem improvável, mas realmente não temos ideia do que foi o padrão de crescimento entre as duas idades. No entanto, poderíamos calcular uma taxa média de crescimento, que nesse caso faria sentido medir em polegadas por ano. Poderíamos fazer algumas conversões e calcular a taxa de crescimento em centímetros por mês, ou pés por década, ou até mesmo attometros por picosegundo, se estivéssemos nos sentindo particularmente tolos, mas isso não faz sentido. Vamos trabalhar com as unidades de dados que temos.

Barry cresceu quinze polegadas ao longo de cinco anos. Um aumento de quinze polegadas levou cinco anos. Então, se estamos tentando calcular uma taxa de crescimento por ano, precisamos dividir o número de anos por cinco. E se estamos trabalhando com uma taxa média de crescimento, então estamos assumindo uma taxa constante de crescimento. Então, se ele está crescendo por um quinto da quantidade de tempo, ele vai crescer um quinto da altura. Então, em um ano, ele vai crescer quinze dividido por cinco, isso é apenas três polegadas. Portanto, a taxa de variação da altura de Barry é positiva em três polegadas por ano. Então, crescendo a uma taxa constante de três polegadas por ano, o gráfico de sua altura seria assim. E a taxa média de variação de altura por ano vai nos informar sobre a inclinação da reta no nosso gráfico. Quando aumentamos a idade em um ano, a altura sobe três polegadas, então a inclinação será três, três positivo.

Mas as taxas de variação se tornam particularmente úteis quando comparamos as coisas. Por exemplo, aqui estão alguns dados para dois carros. Isso nos dá a quantidade de combustível que resta em seus tanques depois de viajar um certo número de milhas. Assim, o carro A, quando viajou cento e cinquenta milhas, tinha nove galões de combustível restantes. E quando viajou quinhentas milhas, só restava um vírgula dois galões de combustível. Carro B, quando não havia percorrido nenhuma distância, tinha um tanque com onze galões. E quando viajou duzentos quilômetros, havia apenas seis vírgula cinco galões de combustível no tanque. Agora, não é óbvio imediatamente a partir das duas tabelas qual é o carro mais eficiente em termos de combustível, aquele que tem a menor taxa de variação de combustível restante no tanque. E isso é porque ambos usam diferentes quantidades de combustível e viajam diferentes distâncias. Mas se calcularmos a taxa média de variação para cada veículo, poderemos fazer comparações diretas entre eles.

Para o carro A, a distância aumentou de cento e cinquenta para quinhentos, de modo que é um aumento de trezentos e cinquenta milhas. E ao fazer isso, trezentos e cinquenta milhas, a quantidade de combustível restante caiu de nove para um vírgula dois galões, o que representa uma queda de sete vírgula oito galões. No carro B, viajou duzentas milhas e usou três vírgula cinco galões de combustível para fazê-lo. Agora vamos abordar essa questão de duas maneiras diferentes. Primeiro, vamos ver a taxa de variação de combustível restante no tanque por milha percorrida. E então nós vamos olhar para a taxa de variação de distância percorrida por galão de combustível usado.

Assim, para o carro A, quando aumentamos o número de milhas percorridas por trezentos e cinquenta, a quantidade de combustível restante no tanque caiu sete vírgula oito galões. Então, se eu quiser descobrir o quanto o combustível restante caiu por uma milha, eu precisaria percorrer trezentos e cinquenta de distância, então preciso dividir esses números por trezentos e cinquenta. Então, para o carro A, quando eu aumento o número de milhas que eu viajei por um, o número de galões de combustível deixados no meu tanque cai por zero vírgula zero dois dois três galões, para quatro casas decimais. E para o carro B, ao viajar duzentas milhas, o combustível cai em três vírgula cinco galões. Então, para calcular a queda de combustível por uma milha, preciso dividir ambos por duzentos. Se eu viajar apenas um dois centésimos da distância, vou usar apenas um dois centésimos da quantidade de combustível. Neste caso, recebo uma resposta precisa para o número de galões. Então, quando eu viajo uma milha no carro B, a quantidade de combustível que sobra no meu tanque cai em zero vírgula zero um sete cinco galões. Então eu posso ver que o nível de combustível está mudando a uma taxa negativa de zero vírgula zero dois dois três galões por milha no carro A e menos zero vírgula zero um sete cinco galões por milha no carro B. E isso significa que o carro B tem a menor magnitude da taxa média de variação no combustível restante. E isso significa que sua taxa de variação está mais próxima de zero, o que significa que está usando menos combustível para percorrer cada milha em média.

Se traçarmos esses dois conjuntos de dados nos mesmos eixos, obteremos uma boa representação visual da diferença de eficiência dos dois carros. A inclinação de cada uma das retas é diferente, e é razoavelmente fácil dizer que a quantidade de combustível restante está caindo mais rápido no carro A do que no carro B.

OK. Então agora vamos voltar e fazer o cálculo novamente, desta vez calculando quantas milhas o carro percorre por cada galão de combustível que ele usa. Assim, o carro A percorreu trezentas e cinquenta milhas usando sete vírgula oito galões. Agora, se dividirmos isso por sete vírgula oito, estamos usando um sete vírgula oito de combustível, então só conseguiremos um sete vírgula oito até o momento. Agora vemos que o carro A percorre quarenta e quatro vírgula oito sete um milhas com um galão de combustível. E se fizermos um cálculo semelhante para o carro B, poderemos ver que ele percorrerá cinquenta e sete vírgula um quatro três milhas com um galão de combustível. E desta forma, quando comparamos a eficiência de combustível dos carros, precisamos encontrar aquele com a maior taxa de variação, para encontrar o mais eficiente. O carro que percorre a maior distância com o mesmo galão de combustível é o mais eficiente, e esse é o carro B.

Portanto, pense com cuidado antes de interpretar seus números. Geralmente, existem duas maneiras de abordar problemas como esse. E em um caso, concluiríamos que a maior taxa de variação vem com os carros mais eficientes. E no outro caso, é a menor taxa de variação que diz que é um carro mais eficiente. Agora vamos dar uma olhada rápida em algumas taxas típicas de perguntas sobre variações.

Determine qual dessas duas funções tem uma taxa maior de variação. E para A, temos uma tabela de valores. Quando 𝑥 é doze, 𝑦 é três e quando 𝑥 é cinquenta e três, 𝑦 é cem. E para B, recebemos um gráfico em linha reta e temos dois pontos. O primeiro ponto à esquerda, quando 𝑥 é zero, 𝑦 é um. E quando 𝑥 é dez, 𝑦 é três, no ponto à direita.

Com a primeira função A, quando a coordenada 𝑥 aumenta em quarenta e um, a coordenada 𝑦 aumenta em noventa e sete. Agora podemos definir nossa taxa de variação, pois, se eu aumentar a coordenada 𝑥 em um, em que medida a coordenada 𝑦 varia? Bem, eu posso ver que se eu aumentar 𝑥 por quarenta e um, então 𝑦 aumenta em noventa e sete. Mas se eu só aumentar 𝑥 por um quarenta e um avos do valor, se eu dividir por quarenta e um, então o valor 𝑦 correspondente só vai aumentar em um quarenta e um avos do valor também. Então eu preciso dividir os noventa e sete por quarenta e um. Assim, a taxa de variação para A é positiva dois vírgula três sete.

E para B, vamos considerar a taxa de variação do primeiro para o segundo ponto. Se eu aumentar minha coordenada 𝑥 por dez, então a coordenada 𝑦 aumenta em dois. Lembre-se, minha taxa de variação é, se eu aumentar minha coordenada 𝑥 em um, pelo que minha coordenada 𝑦 aumentará? Bem, eu tenho o valor para aumentar 𝑥 por dez. Eu só quero aumentá-lo em um décimo. E correspondentemente, 𝑦 só aumentará em décimos, bem assim, dois dividido por dez. Portanto, a taxa de variação para B é de aproximadamente zero vírgula dois. E como dois vírgula três sete é maior que zero vírgula dois, A é a função que tem maior taxa de variação.

Agora, uma vez que você entende como tudo isso funciona, há um atalho que você pode fazer com o trabalho. Você pode calcular a taxa de variação nesse caso fazendo a diferença nas coordenadas 𝑦 dividida pela diferença nas coordenadas 𝑥. Bem 𝑦 aumentou em noventa e sete para a função A, então cem menos três é noventa e sete. E a coordenada 𝑥 varia por quarenta e um, então cinquenta e três menos doze é quarenta e um. Agora você precisa ser coerente sobre qual 𝑥 você tira e qual 𝑦 você tira. Eles precisam ser os correspondentes. Então eu tenho o ponto da mão direita e eu tirei o ponto da esquerda. E fiz a mesma coisa para 𝑥 e 𝑦.

Então agora vamos fazer o mesmo para o gráfico. E a diferença nas coordenadas 𝑦, a coordenada 𝑦 à direita é três, a esquerda é um e três menos um é dois. A coordenada 𝑦 aumentou em dois. E para as coordenadas 𝑥, a coordenada 𝑥 à direita é dez, a esquerda é zero, então vai ser dez menos zero, que é dez. A coordenada 𝑥 aumentou em dez. E dois dividido por dez é zero vírgula dois. Então, é sua escolha qual desses dois métodos você usaria. Ambos devem ter a mesma resposta, desde que você os faça corretamente.

Por último, então: Determine qual dessas duas funções tem uma maior taxa de variação. E recebemos uma tabela de valores para A e um gráfico para B. E você notará com a tabela de valores que, toda vez que eu aumentar minha coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 correspondente aumenta em dois. Então, para A, vamos usar a definição de taxa de variação. Por quanto 𝑦 varia quando eu aumento 𝑥 por um? E a resposta é claramente dois.

E para o gráfico da função B, vou usar a definição, é a diferença nas coordenadas 𝑦 divididas pela diferença nas coordenadas 𝑥. E novamente, eu vou fazer o ponto direito, este aqui, menos o ponto esquerdo, este aqui. Então a coordenada 𝑦 à direita menos a coordenada 𝑦 da esquerda dá menos cinco menos quatro, o que é menos nove. E a coordenada 𝑥 à direita menos a coordenada 𝑥 da esquerda dá um menos menos dois que é igual a um mais dois, que é três. E menos nove dividido por três é menos três. Então, para a função A, temos uma taxa de variação de dois positivo e, para a função B, temos uma taxa de variação de três negativo. Portanto, as coordenadas 𝑦 da função B estão variando mais rapidamente do que as coordenadas 𝑦 da função A. Quando eu aumentar a coordenada 𝑥 em um, a coordenada 𝑦 da função A aumentaria em dois, mas a coordenada 𝑦 da função B diminuiria em três.

Mas desculpe pessoal, isso é realmente uma questão um pouco enganosa. Acabamos de identificar que a magnitude da taxa de variação para a função B é maior que a da função A. Menos três é mais longe de zero do que dois positivo. Mas se olharmos para os números que representam as taxas de variação, dois é maior que menos três. Então, tecnicamente, a taxa de variação da função A é maior do que a taxa de variação da função B. Eu sei que é confuso, não é?

Agora não se preocupe muito com isso, mas é apenas um detalhe menor. Assim, neste caso, com A, a função A tendo uma taxa de variação de dois positivo e a função B tendo uma taxa de variação de três negativo, a magnitude da taxa de variação da função B é maior que a magnitude da taxa de variação da função A, porque menos três está mais longe de zero do que dois positivo. Mas a taxa real de variação da função A é maior que a taxa de variação da função B porque dois é maior que menos três.

Agora é muito improvável que você encontre perguntas como aquelas que acabamos de ver. Eu só queria que você estivesse ciente desse pequeno detalhe. Então vamos seguir em frente e fazer um resumo das taxas de variação. Podemos definir a taxa de variação de uma função de duas maneiras. Em primeiro lugar, por quanto a coordenada 𝑦 varia, se eu aumentar minha coordenada 𝑥 em um. E isso equivale à mesma coisa, mas outra definição é, a taxa de variação é a diferença nas coordenadas 𝑦 dividido pela diferença nas coordenadas 𝑥. Mas se você usar esse método, você deve ser consistente. Se você fizer a coordenada 𝑦 à direita, subtraia a coordenada 𝑦 à esquerda, então você deve fazer a coordenada 𝑥 à direita menos a coordenada 𝑥 à esquerda.