Vídeo: Calculando Expressões Algébricas Utilizando as Propriedades dos Números Irracionais Conjugados

Dado que 𝑥 = 5/(√7 − √2) e 𝑦 = √7 − √2, encontre 𝑥 + 𝑦 expressando sua resposta da forma mais simples.

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Dado que 𝑥 é igual a cinco dividido por raiz de sete menos raiz de dois e 𝑦 é igual a raiz de sete menos raiz de dois, encontre 𝑥 mais 𝑦 expressando sua resposta na forma mais simples.

Antes de podermos adicionar 𝑥 e 𝑦, precisamos racionalizar a fração 𝑥 — cinco dividido por raiz de sete menos raiz de dois. Para racionalizar isso, devemos multiplicar o topo — o numerador — e o inferior — o denominador — pela raiz de sete mais a raiz de dois. Isto nos dá cinco multiplicado por raiz de sete mais raiz de dois dividido por raiz de sete menos raiz de dois multiplicada por raiz de sete mais raiz de dois.

Expandindo o parêntese no numerador nos dá cinco raiz de sete mais cinco raiz de dois. Para expandir os parênteses na parte inferior, precisamos usar a distributiva. Multiplicar os primeiros termos raiz de sete multiplicada por raiz de sete nos dá sete. Multiplicar os termos externos raiz de sete multiplicada pela raiz de dois nos dá raiz de 14. A multiplicação dos termos internos nos dá menos raiz de 14. E, finalmente, multiplicar os últimos termos nos dá menos dois.

À medida que a raiz de 14 é cancelada, ficamos com sete menos dois, o que equivale a cinco. Portanto, o denominador é igual a cinco. Todos esses três termos são divisíveis por cinco. Isso significa que 𝑥 pode ser reescrito como raiz de sete mais raiz de dois, pois cinco raiz de sete dividido por cinco é raiz de sete e cinco raiz de dois dividido por cinco é raiz de dois.

Foi-nos dito na pergunta que 𝑦 era igual a raiz de sete menos raiz de dois. Agora precisamos adicionar essas duas expressões. Adicionar as duas expressões nos dá raiz de sete mais raiz de dois mais raiz de sete menos raiz de dois. Raiz de sete mais raiz de sete é igual a dois raiz de sete e raiz de dois menos raiz de dois é igual a zero.

Isso significa que a expressão para 𝑥 mais 𝑦 em sua forma mais simples é dois raiz de sete.

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