Video Transcript
Neste vídeo, veremos como relacionar a distância percorrida em linha reta por um objeto em constante aceleração às velocidades inicial e final desse objeto.
Então, vamos começar por recordar primeiro o que queremos dizer com aceleração. Aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade. E utilizando símbolos, podemos dizer que a aceleração, 𝑎, é dada pela variação da velocidade, Δ𝑣, dividida pelo intervalo de tempo necessário para que essa variação da velocidade ocorra, Δ𝑡. Por outras palavras, a aceleração de um objeto é dada pelo quanto essa velocidade varia dividida pelo tempo necessário para que essa variação ocorra. Agora, tudo está bem. Mas e se as coisas importantes não forem a quantidade de tempo necessária para que a variação da velocidade ocorra, mas a distância percorrida pelo objeto durante essa variação da velocidade?
Por exemplo, vamos considerar um carro. Digamos que este carro se move inicialmente a 30 metros por segundo para a direita. Agora, nesta estrada, o condutor vê um sinal à distância. Este sinal indica que o condutor deve diminuir para 20 metros por segundo quando passar o sinal. Agora, é claro, normalmente, no mundo real, os sinais de trânsito indicam limites de velocidade em milhas por hora ou quilómetros por hora ou unidades semelhantes. No entanto, para os nossos propósitos, vamos imaginar que este 20 esteja a referir-se a 20 metros por segundo como o limite de velocidade.
Portanto, o condutor que viaja num carro que se move a 30 metros por segundo deve mover-se a 20 metros por segundo quando passar o sinal. Então, naturalmente, carregam nos travões. Agora, estes travões proporcionam uma certa desaceleração ao carro ou, por outras palavras, uma aceleração, que chamaremos de 𝑎, em sentido oposto ao movimento do carro. Agora, esta aceleração, 𝑎, depende da força dos travões do carro e da força com que o condutor pressiona os travões. Portanto, para um valor específico de 𝑎, existe distância suficiente, uma distância que chamaremos de 𝑠, entre a posição do carro quando o condutor pressiona os travões e o sinal para que o carro diminua para 20 metros por segundo?
Ou, outra maneira de pensar sobre isto é que, para um determinado valor de 𝑎 ou, por outras palavras, uma determinada força dos travões para desacelerar o carro, até que ponto antes do sinal o condutor precisa de pressionar os travões para poder chegar a 20 metros por segundo quando passar o sinal? Bem, vamos primeiro dizer que a velocidade inicial do carro é chamada 𝑢. 𝑢 é igual a 30 metros por segundo. E digamos que a velocidade final do carro, que sabemos ser de 20 metros por segundo, seja chamada 𝑣. Então, 𝑣 é igual a 20 metros por segundo, após o carro ter passado o sinal.
Bem, tecnicamente, a velocidade do carro deve ser de 20 metros por segundo no momento em que passa no sinal, e não da maneira como o desenhamos aqui que já passou no sinal. Mas podemos supor que continue a 20 metros por segundo depois de passar o sinal, então não é grande coisa. A distância importante, portanto, ainda é 𝑠, que é a distância na qual o carro desacelera. Então, como vamos calcular essa distância? Bem, felizmente, existe uma equação que relaciona a velocidade inicial de um objeto — neste caso, o carro — a aceleração do objeto, a velocidade final do objeto e a distância percorrida na qual a aceleração ocorre.
A equação que procuramos é esta aqui: 𝑣 quadrado é igual a 𝑢 quadrado mais dois 𝑎𝑠. Por outras palavras, a velocidade final de um objeto ao quadrado é igual à velocidade inicial do objeto ao quadrado mais duas vezes a aceleração do objeto vezes a distância percorrida pelo objeto durante a sua aceleração. Se, neste caso, deram-nos um valor para 𝑎, disseram-nos que a aceleração é de cinco metros por segundo ao quadrado, então poderemos reorganizar esta equação para resolver em ordem a𝑠. Quando o fazemos, descobrimos que 𝑠 é igual a 𝑣 ao quadrado menos 𝑢 ao quadrado dividido por dois 𝑎. E, portanto, neste momento, poderemos inserir os valores.
Poderíamos dizer que a distância percorrida pelo carro, 𝑠, é igual à velocidade final do carro ao quadrado — então 𝑣 ao quadrado, que é de 20 metros por segundo ao quadrado — menos a velocidade inicial do carro ao quadrado, 30 metros por segundo ao quadrado, dividido por duas vezes a aceleração, que é menos cinco metros por segundo ao quadrado. E o motivo porque é negativa, é porque está no sentido oposta ao da velocidade do objeto. O objeto está a viajar neste sentido, enquanto a aceleração está neste sentido.
Agora, a razão pela qual não colocamos um sinal negativo aqui quando mencionámos a aceleração é porque esta seta já está a indicar isso. Disseram-nos que a aceleração é de cinco metros por segundo ao quadrado para a esquerda, como a desenhámos. No entanto, no nosso cálculo, precisamos de levar isto em conta. E, portanto, colocamos o sinal negativo. E é bom colocarmos este sinal negativo, porque podemos ver que o numerador será realmente negativo. Temos 20 metros por segundo ao quadrado menos 30 metros por segundo ao quadrado. Isso simplifica para 400 metros quadrados por segundo ao quadrado menos 900 metros quadrados por segundo ao quadrado ou, por outras palavras, menos 500 metros quadrados por segundo ao quadrado. E, portanto, este sinal negativo é anulado com este resultando num valor positivo da distância percorrida.
E olhando para as unidades, vemos que temos metros quadrados por segundo ao quadrado no numerador e metros por segundo ao quadrado no denominador. Portanto, o segundo por quadrado será anulado no numerador e no denominador. E um fator de metros será anulado no numerador com o fator de metros no denominador. No geral, o que nos resta são apenas metros. Isso é bom, porque estamos a tentar calcular uma distância que deve ter a unidade de metros. E assim, a nossa resposta final é calculada em 50 metros. Por outras palavras, este carro precisaria de uma distância de 50 metros para desacelerar de 30 metros por segundo para 20 metros por segundo, dada uma aceleração em sentido oposto de cinco metros por segundo ao quadrado. E é assim que vamos utilizar esta equação aqui.
No entanto, existem algumas ressalvas no uso desta equação. A primeira ressalva é que esta equação só funciona se a aceleração do objeto em questão for constante. Por outras palavras, o valor de 𝑎 pode ser positivo, pode ser negativo. Isso não importa. Mas deve ser um valor constante. Deve ser um valor constante em todo o intervalo que estejamos a considerar. Se em algum momento a aceleração mudar — por exemplo, por exemplo, tivemos um objeto inicialmente a acelerar com uma aceleração 𝑎 ao longo de uma distância 𝑠 um. Mas, assim que completar essa distância, acelerou ainda mais, por exemplo, em 𝑎 dois num intervalo 𝑠 dois. Então, teríamos que tratar destas duas situações separadamente.
Primeiro, teríamos que considerar as velocidades inicial e final neste intervalo utilizando um valor de 𝑎 um e depois as velocidades inicial e final neste intervalo utilizando um valor de 𝑎 dois. Por outras palavras, só podemos utilizar esta equação num intervalo em que a aceleração é constante. E esta é a primeira ressalva desta equação.
A segunda ressalva é que a distância 𝑠 deve ser a distância em linha reta. Isso acontece porque, tecnicamente, esta equação lida com deslocamento. Por outras palavras, o deslocamento de um objeto do início ao fim, quando está a acelerar a uma taxa 𝑎 um. E assim, dizemos que 𝑠 deve ser uma linha reta. Portanto, se tivermos uma situação em que estamos a lidar com as velocidades inicial e final de um objeto, bem como a sua aceleração, que é uma constante, e a distância que este percorre durante essa aceleração, que é em linha reta, então esta equação pode ser utilizada. E quando pode ser utilizado, é na verdade uma equação muito poderosa.
Já vimos como pode ser utilizada para calcular a desaceleração de um carro. De facto, esta é a equação utilizada para calcular as distâncias de travagem dos carros. Digamos que um carro, desta vez muito mal desenhado, esteja a viajar para a direita a uma certa velocidade. E mais à frente, o condutor vê uma obstrução que significa que precisa de travar e parar antes de chegar a essa obstrução. Bem, se o carro precisar de travar, quando chegar às obstruções, o carro deverá estar parado. Por outras palavras, a velocidade final do carro deve ser zero. Agora, esta equação ajudar-nos-á a calcular qual deve ser a distância percorrida pelo carro, dada a velocidade inicial do carro, qualquer que seja, e o condutor pisar o travão o máximo que puder para dar o valor máximo da aceleração do carro no sentido oposto à sua velocidade.
Ou, outra maneira de pensar é que, se o condutor estiver a viajar a uma velocidade inicial 𝑢, teria espaço suficiente para parar antes de chegar à obstrução? Portanto, esta é uma situação em que esta equação é realmente útil. Outra é considerar um avião prestes a descolar. Começa em repouso, 𝑢 é igual a zero. E está a mover-se ao longo de uma pista que tem apenas uma certa distância de comprimento. Esta equação pode ser utilizada para calcular: a pista é comprida o suficiente para que o avião atinja a velocidade necessária para descolar? Vamos chamar esta velocidade de 𝑣, qualquer que seja, sabendo que o avião pode acelerar a uma taxa 𝑎. E, portanto, a pista é segura para o avião descolar? Portanto, esta equação é realmente muito poderosa. Vejamos um exemplo de questão para vermos por nós mesmos.
Um objeto tem uma velocidade inicial de três metros por segundo e acelera no sentido da sua velocidade em linha reta a uma taxa de quatro metros por segundo ao quadrado. A sua velocidade atinge 11 metros por segundo quando está no final da linha. Qual é o comprimento da linha?
Ok, então nesta questão, temos um objeto. Digamos que comece aqui. E vamos dizer que está a mover-se neste sentido para a direita com a sua velocidade inicial que nos foi dada que é de três metros por segundo. Agora, disseram-nos que este acelera no sentido da sua velocidade em linha reta a uma taxa de quatro metros por segundo ao quadrado. Portanto, o objeto está a viajar em linha reta para a direita, como o desenhámos. E no momento em que chega ao fim da linha, disseram-nos que está a mover-se a 11 metros por segundo. E disseram-nos para determinar o comprimento desta linha, desde a posição inicial do objeto até a posição final.
Digamos que o comprimento desta linha seja 𝑠. E é o que estamos a tentar determinar. Além disso, vamos rotular a velocidade inicial do objeto como 𝑢, três metros por segundo. Digamos que a velocidade final do objeto seja 𝑣, 11 metros por segundo. E digamos que a aceleração do objeto seja 𝑎, quatro metros por segundo ao quadrado. Agora, a equação que relaciona 𝑢, 𝑣, 𝑎 e 𝑠 é esta aqui: 𝑣 ao quadrado é igual a 𝑢 ao quadrado mais dois 𝑎𝑠. Ou, a velocidade final do objeto ao quadrado é igual à sua velocidade inicial ao quadrado mais duas vezes a velocidade de aceleração da distância percorrida.
Agora, é importante saber que, para que esta equação seja aplicada, a aceleração deva ser um valor constante. E, neste caso, disseram-nos que são quatro metros por segundo ao quadrado, o que é uma constante. Além disso, a distância que o objeto percorre para que esta equação seja aplicada deve estar em linha reta. E é este o caso, como nos foi dito na questão. Portanto, podemos utilizar esta equação para resolver o nosso problema. Já sabemos os valores de 𝑣, 𝑢 e 𝑎. Tudo o que precisamos de fazer é reorganizar para resolver em ordem a 𝑠. Podemos começar por subtrair 𝑢 ao quadrado em ambos os membros da equação. Desta forma, anula-se no segundo membro. E o que nos resta é 𝑣 ao quadrado menos 𝑢 ao quadrado à esquerda e dois 𝑎𝑠 à direita. Então, podemos dividir os dois membros da equação por dois 𝑎. Desta forma, o dois à direita anula-se e o 𝑎 à direita anula-se. E temos 𝑣 ao quadrado menos 𝑢 ao quadrado dividido por dois 𝑎 é igual a 𝑠.
Portanto, nesta altura, tudo o que precisamos de fazer é substituir os valores. 𝑠 é igual a 𝑣, que é a velocidade final ao quadrado, portanto, 11 metros por segundo ao quadrado, menos 𝑢, que é a velocidade inicial ao quadrado, que é de três metros por segundo ao quadrado inteiro, dividido por duas vezes a aceleração, que é quatro metros por segundo ao quadrado.
Expandindo os parênteses no numerador, temos 121 metros ao quadrado por segundo ao quadrado menos nove metros ao quadrado por segundo ao quadrado. E assim, o numerador torna-se 112 metros quadrados por segundo ao quadrado. Em seguida, dividimos isso por duas vezes quatro, ou seja, oito metros por segundo ao quadrado. E assim, o por segundo ao quadrado no numerador e o do denominador são anulados. E um fator de metros no numerador é anulado com o fator de metros no denominador. Em geral, ficamos com uma unidade de metros, o que é bom porque estamos a calcular uma distância que tem unidades de metros. E, portanto, ficamos com a resposta final para a nossa questão. O comprimento da linha ao longo da qual o objeto se move é de 14 metros.
Ok, agora vamos resumir o que falámos neste vídeo. Aprendemos como utilizar a equação 𝑣 ao quadrado é igual a 𝑢 ao quadrado mais dois 𝑎𝑠 para um objeto que viaja inicialmente a uma velocidade 𝑢, acelerando a uma taxa constante 𝑎 e movendo-se ao longo de uma linha reta 𝑠, o que resulta no objeto ter uma velocidade final 𝑣.
